진리 나무 Truth-tree ∧ ∨ → ↔ =
분석 규칙(Decomposition rules)(1) F∧G F G F∨G F G ~(F∧G) ~F ~G ~(F∨G) ~F ~G ~F V ~G ~F∧~G
분석 규칙(Decomposition rules)(2) F→G ~F G ~G ~(F→G ) F F ↔G ~F ~G F G ~(F ↔G) ~F G F ~G F∧~G (F∧~G) V (~F∧G) (F∧G) V (~F∧~G)
(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))
진리나무 만들기 ~((A→B)→(B→C)) ~((A→B)→(B→C)) A→B 1 A→B 2 ~(B→C) 2 ~(B→C) 1
~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))] 4 A→(B→C) 1 ~((A→B)→(A→C)) 3 A→B 2 ~(A→C) A ~C ~A B B→C ~A B→C ~A ~B ~B C C
~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))] 4 A→(B→C) 1 ~((A→B)→(A→C)) 3 A→B 2 ~(A→C) A ~C ~A B B→C ~A B→C ~A ~B ~B C C
X X X X X X ~F = ~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))] 4 A→(B→C) 1 3 A→B 2 ~(A→C) A ~C ~A B B→C ~A B→C ~A X X ~B ~B C C X X X X
결과: ~F 의 나무는 닫힌 나무 따라서 F 는 논리적 진리이다 X X X X X X ~F = ~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))] 4 A→(B→C) 1 ~((A→B)→(A→C)) 결과: 3 A→B ~F 의 나무는 닫힌 나무 2 ~(A→C) 따라서 A F 는 논리적 진리이다 ~C ~A B B→C ~A B→C ~A X X ~B ~B C C X X X X
논증의 타당성 검증 [연습] 다음의 논증은 타당한 논증들이다. 이를 진리나무의 해법으로 확인해 보라!(주의: 진리나무를 만드는 과정 중에 어떤 경로에 이미 모순이 발생했을 때는 이 경로를 0을 부쳐 닫는 것이 좋다.) (1)A→B, ꍃA→B ⊢ B (문장 예: A=“네가 결혼한다”, B=“너는 후회할 것이다”) (2) A→B, B→C, C→D ⊢ A→D (3) A→B, A'→B', A∨A'⊢B∨B' (문장예; A="네가 옳은 말을 한다“, A'=”네가 옳지 않은 말을 한다“ B=“사람들이 너를 싫어 할 것이다.” B'=“하느님이 너를 싫어할 것이다.” (4) ￢(A→B), A'→B', A∨A'⊢B∨B' (주목: (3)과 유사한 명제!) [생각해보기] 위의 논증 중 (1)과 (3),(4)를 보통 ‘양도논법’이라고 부른다. 이 논증의 내용상의 문제점은 무엇인가?
(3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' A→B, A'→B’ A∨A‘ 1 ~(B∨B‘) ~B ~B’
(3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' A→B, A'→B’ 2 A∨A‘ 1 ~(B∨B‘) ~B ~B’ A A’
(3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' A→B, 3 A'→B’ A∨A‘ ~(B∨B‘) ~B ~B’ A A’ ~A' 2 A∨A‘ ~(B∨B‘) 1 ~B ~B’ A A’ ~A' B ~A' B X X X
(3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' 4 A→B, 3 A'→B’ A∨A‘ ~(B∨B‘) ~B ~B’ A A’ 2 A∨A‘ ~(B∨B‘) 1 ~B ~B’ A A’ ~A' B ~A' B X X X ~A B X X
결과: 논증(3)은 타당함 (3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' 4 A→B, 3 A'→B’ A∨A‘ ~(B∨B‘) 2 A∨A‘ ~(B∨B‘) 1 논증(3)은 타당함 ~B ~B’ A A’ ~A' B ~A' B X X X ~A B X X