퍼지 시스템 (요약)

01_퍼지 사고란? 퍼지 논리 퍼지 논리는 영어 단어 퍼지(fuzzy)가 뜻하는 것처럼 모호한 논리가 아니라, 모호한 대상을 다루는 논리임. 퍼지 논리는 퍼지 집합, 즉 모호한 정도를 조절할 수 있는 집합에 대한 이론. 퍼지 논리는 만물에는 어떤 정도를 나타낼 여지가 있다는 생각에서 시작한다. 온도, 높이, 빠르기, 거리, 미모, 모두 경계가 불분명한 척도를 나타냄. 모터가 정말 뜨겁게 돈다. 톰은 매우 키가 큰 친구다. 경계가 불분명한 척도로는 어떤 등급에 속하는 것과 그렇지 않은 것을 구분할 수 없음. 언덕이 얼마나 높으면 산이 될까?

01_퍼지 사고란? 불 논리 불 논리(Boolean Logic), 즉 전통적인 논리는 참과 거짓이 확실하게 구분됨. 어떤 등급에 속하는 것과 그렇지 않은 것 사이에 선을 긋는 것과 같다. 불 논리의 불합리 ‘키가 180cm 이상이면 큰 키, 아니면 작은 키’라 가정하자. 톰의 키가 181cm이라면 크다고 할 수 있다. 키가 179cm인 데이비드는 작은 편이다. 데이비드의 키가 정말 작은 것일까? 아니면 우리가 모래 위에 임의로 줄을 그었기 때문에 생기는 결과일 뿐일까? 퍼지 논리를 사용하면 불 논리의 불합리를 피할 수 있음. 퍼지 논리는 사람들이 생각하는 방식을 반영. 퍼지 논리는 낱말, 의사결정, 상식에 대한 인간의 인식을 모델링 함.

01_퍼지 사고란? 퍼지의 장점 자데가 말했듯이, 퍼지라는 용어는 구체적이고 직접적이며 설명적이어서 무엇을 의미하는지 쉽게 이해할 수 있음. 왜 논리일까 모호성은 퍼지 집합론에 항상 존재하고, 퍼지 논리는 이 이론의 일부분일 뿐이다. 그러나 자데는 퍼지 논리라는 용어를 좀 더 넓은 뜻으로 사용했음. 2치 논리인 불 논리와 달리 퍼지 논리는 다치 논리(multi-valued logic)임. 퍼지 논리는 소속도(degrees of membership)와 진리도(degrees of truth )를 다룬다.

01_퍼지 사고란? 왜 논리일까 퍼지 논리는 0(완전한 거짓)과 1(완전한 참) 사이에 있는 연속된 논리값을 사용함. 퍼지 논리는 검정과 하양만 다루는 대신 다양한 색깔을 사용함. 즉 어떤 대상이 동시에 참이면서도 거짓인 경우를 허용함. [그림 4-1]에서 볼 수 있듯 퍼지 논리는 불 논리에 논리값 범위를 더한 것임. 고전적인 이진 논리는 다치 퍼지 논리의 특수한 경우로 볼 수 있음.

02_퍼지 집합 퍼지 집합론 ‘이 남자는 키가 클까?’라는 질문이 주어졌을 때. [표 4-1] 참조. 크리스프 집합의 답변 ‘이 남자는 키가 클까?’라고 질문한 다음, 180cm 같은 기준선을 긋는다. 키가 큰 남자는 180cm 이상, 키가 작은 남자는 180cm 미만으로 나눈다. 만약 톰의 키가 181cm이면 톰은 키가 크다. 펴지 집합의 답변 퍼지 집합은 ‘이 남자는 키가 얼마나 클까?’라고 질문한다. 이에 대한 답변은 퍼지 집합의 부분적인 소속도가 된다. 톰의 카가 181cm이면, 톰은 0.82만큼 크다.

02_퍼지 집합 퍼지 집합론

02_퍼지 집합 퍼지 집합론 퍼지 집합은 경계를 넘을 때 점진적으로 전이함. [그림 4-2] ‘매우 키가 작은 남자’, ‘키가 작은 남자’,‘키가 보통인 남자’, ‘매우 키가 큰 남자’ 같은 집합도 생각할 수 있음.

02_퍼지 집합 퍼지 집합론 퍼지 집합은 단순히 경계가 모호한 집합으로 정의할 수 있음. X를 논의 영역, x를 이 영역의 원소라 하자. 고전적인 집합론에서 X상의 크리스프 집합 A는 A에 대한 특성 수 fA(x)를 써서 정의한다. 여기서 fA(x) 는 다음과 같다. 이 집합은 영역X를 두 원소로 이루어진 집합에 대응시킨다. 영역X의 특정 원소 x가 있을 때, 특성함수 fA(x)는 x가A의 원소면1이고, x가 A의 원소가 아니면 0이다.

02_퍼지 집합 퍼지 집합론 퍼지 이론에서 영역X에 속한 퍼지 집합 A는 함수 μA(x)를 써서 정의함. 이 함수를 집합A에 대한 소속 함수(membership function)라 함. 여기서 μA(x) 는 다음과 같다. 이 집합에서 가능한 선택지는 연속적인 값이 될 수 있다. 영역 X의 특정 원소 x가 있을 때, 소속함수 μA(x)는 x가 집합A에 속하는 정도다. 이는 0~1 사이의 값으로 소속도를 나타내며, 집합A에서 원소 x의 소속값이라고도 한다.

02_퍼지 집합 퍼지 집합 크리스프 집합과 퍼지 집합 [그림 4-3]

02_퍼지 집합 퍼지 집합 퍼지 집합의 예 참조 초집합(reference super set)이라고도 하는 논의 영역 X가 원소 다섯 개를 포함하는 크리스프 집합 X = {x1, x2, x3, x4, x5} 라고 하자. X의 크리스프 부분 집합 A가 원소 두개로 이루어져 있다고 하자. A = {x2, x3} 부분 집합 A는 이제 A = {(x1, 0), (x2, 1), (x3, 1), (x4, 0), (x5, 0)}를 {(xi, μA(xi))} 쌍의 집합으로 나타낼 수 있음 μA(xi)는 부분 집합 A의 원소xi에 대한 소속 함수다. 문제는 ‘μA(x)가 0 또는 1이라는 두 값만 취할 수 있는가, 아니면 0~1 사이의 어떤 값이라도 취할 수 있는가’다. 이는 1965년에 자데가 연구한 퍼지 집합의 기본 문제기도 하다. X가 참조 초집합이고 A가 X의 부분 집합이라면, A가 X의 퍼지 부분 집합일 필요충분조건은 다음과 같다. 특수한 경우로, X → [0, 1] 대신X → { 0, 1}을 사용하면 퍼지 부분 집합A는 크리스프 부분 집합 A가 된다.

02_퍼지 집합 퍼지 집합 퍼지 집합과 크리스프 집합은 [그림4-4]와 같이 나타낼 수도 있다

02_퍼지 집합 퍼지 집합 유한한 참조 초 집합X의 퍼지 부분 집합A는 다음과 같이 나타낼 수 있음 연속적인 퍼지 집합을 컴퓨터로 나타내려면 이를 함수로 나타내고 집합의 원소를 소속도에 대응 시켜야 함 이때 쓸 수 있는 전형적인 함수로는 시그모이드(sigmoid) 함수, 가우스(gaussian) 함수, 파이(pi) 함수가 있다. 이 함수들은 퍼지 집합의 실수 데이터를 나타낼 수 있으나 계산 시간을 증가시킨다. 따라서 실제 응용에서는 대부분 [그림4-3]에서 본 것과 같은 선형 적합 함수를 쓴다

02_퍼지 집합 퍼지 집합 이를테면, [그림 4-3]의 키가 큰 남자에 대한 퍼지 집합은 다음과 같은 적합 벡터(fit-vector)로 나타낼 수 있음. 이를테면, [그림 4-3]의 키가 큰 남자에 대한 퍼지 집합은 다음과 같은 적합 벡터로 나타낼 수 있음.

04_퍼지 집합 연산 퍼지 집합 연산 여집합(complement) 집합의 여집합은 해당 집합의 반대를 의미한다. 크리스프 집합: 어떤 원소가 그 집합에 속하지 않을까? 퍼지 집합: 원소들이 그 집합에 얼마만큼 속하지 않을까? 집합의 여집합은 해당 집합의 반대를 의미한다. 키가 큰 남자 집합의 여집합은 키가 크지 않은 남자집합이다. 논의 영역에서 키가 큰 남자 집합을 빼면 여집합을 얻는다. A가 퍼지 집합 이라면 여집합 ¬A는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이를테면, 키가 큰 남자 퍼지 집합이 있다면 키가 크지 않은 남자 퍼지 집합을 다음과 같이 쉽게 구할 수 있다.

04_퍼지 집합 연산 퍼지 집합 연산 교집합(intersection) 크리스프 집합: 어느 원소가 두 집합 모두에 속할까? 퍼지 집합: 원소가 두 집합 모두에 얼마만큼 속할까? 고전 집합론에서 두 집합의 교집합은 집합들이 공유하는 원소들을 포함한다. ‘키가 큰 남자’와 ‘뚱뚱한 남자’의 집합이 있다면 교집합은 이 집합들이 겹치는 영역을 말한다. 즉, 톰은 키가 크고 뚱뚱할 때만 이 교집합에 속한다. 그러나 퍼지 집합에서는 한 원소가 두 집합에 서로 다른 정도로 부분적으로 속할 수 있다. 그리고 각 원소의 퍼지 교집합에 대한 소속값은 두 집합에 대한 소속 값 중 낮은 값이 된다. 논의 영역 X에서 두 퍼지 집합A와 B의 교집합을 만드는 퍼지 연산.

04_퍼지 집합 연산 퍼지 집합 연산 키가 큰 남자와 키가 보통인 남자의 퍼지 집합. (4.13)에 따르면 이 두 집합의 교집합은 다음과 같다. 즉, 다음과 같다. 이를 도식으로 나타내면 [그림4-3]과 같다.

04_퍼지 집합 연산 퍼지 집합 연산 합집합(union) 크리스프 집합: 원소가 두 집합 어느 쪽이든 속할까? 퍼지 집합: 원소가 두 집합 어느 쪽이든 얼마만큼 속할까? 두 크리스프 집합의 합집합은 두 집합에 속하는 모든 원소들로 이루어진짐. 이를테면, 키가 큰 남자와 뚱뚱한 남자의 합집합은 키가 크거나 뚱뚱한 모든 남자들로 이루어진다. 즉, 톰은 키가 크기 때문에 이 합집합에 속하는데, 이때 톰이 뚱뚱한지 아닌지는 상관이 없다. 퍼지 집합에서 합집합은 교집합의 반대dla. 다시 말해서, 각 원소의 합집합에 대한 소속 값은 두 집합에 대한 소속 값 중 높은 값이다. 전체 집합X에 속하는 두 퍼지 집합A와B의 합집합을 만드는 퍼지 연산은 다음과 같음.

05_퍼지 규칙 퍼지 규칙 1973년에 자데는 자신의 두 번째 영향력 있는 논문을 발표했다. 이 논문은 컴퓨터 시스템을 분석하는 새로운 접근법의 개요를 약술하였다. 여기서 자데는 인간의 지식을 퍼지 규칙으로 포착할 것을 제안했다. 퍼지 규칙이란 무엇일까 퍼지 규칙은 다음과 같은 형태로 된 조건문으로 정의할 수 있다. 여기서x와 y는 언어변수고, A와 B는 각각 논의 영역 X와 Y의 퍼지 집합에서 결정된 언어 값이다.

05_퍼지 규칙 퍼지 규칙의 추론 방법 퍼지 집합들은 가중치 추정 모델의 기반을 제공함. 이 모델은 사람의 키와 몸무게의 관계에 바탕을 두며, 이는 퍼지 규칙 하나로 나타낼 수 있다. 규칙 후건의 출력 값이나 소속도는 전건의 소속도에서 직접 추정할 수 있음. 퍼지 추론 형식은 단조 선택이라는 방법을 이용함. [그림 4-9]에서는 남자의 키를 나타낸 다양한 값으로 다양한 몸무게를 유도하는 과정을 보여준다.

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method) 맘다니형 추론 예 입력 2개, 출력 1개, 규칙 3개로 된 문제

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method) 맘다니형 퍼지 추론의 기본 구조

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method)

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method) 1단계: 퍼지화 크리스프 입력 첫 단계인 퍼지화(fuzzification )에서는 크리스프 입력 x1과 y1(프로젝트 자금과 프로젝트 인력)을 받고, 이를 적합한 퍼지 집합 각각에 어느 정도로 속할지를 결정한다. 크리스프 입력 크리스프 입력은 언제나 논의 영역으로 한정된 수치값 이다. 이 예에서 x1과 y1의 값은 각각 논의 영역 X와 Y로 한정된다. 논의 영역의 범위는 전문가의 판단에 따라 결정된다. 이를테면, ‘퍼지’프로젝트를 개발하는 데 수반하는 위험을 조사해야 한다면 전문가에게 프로젝트 자금과 프로젝트 인력을 각각 0~100% 사이 값으로 제시하라고 요청할 수 있다. 다시 말해서 전문가에게 어느 정도의 프로젝트 자금과 프로젝트 인력이 실제로 적절한지 답하도록 요청한다. 크리스프 입력 x1과 y1를 얻으면 적절한 언어 퍼지 집합에 대해 퍼지화한다. 크리스프 입력 x1(전문가가35%로 평가한 프로젝트 자금)은 소속 함수 A1과 A2 (부족하다와 한계 수익점에 있다)에 각각 0.5와 0.2만큼 대응한다. 그리고 크리스프 입력 y1(전문가가60%로 평가한 프로젝트 자금)은 소속 함수 B1과 B2(적다와 많다)에 각각 0.1과 0.7만큼 대응한다. 각 입력을 퍼지 규칙이 사용하는 모든 소속 함수를 퍼지화한다.

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method) 2단계: 규칙 평가(rule evaluation) 규칙 평가 단계에서는 퍼지 입력 μ(x=A1) = 0.5, μ(x=A2) = 0.2, μ(x=B1) = 0.1,μ(x=B2) = 0.7을 받아 퍼지 규칙의 전건에 적용한다. 주어진 퍼지 규칙에 전건이 여러 개 있다면 퍼지 연산자(AND나OR)를 사용하여 전건의 평가 결과를 나타내는 숫자 하나를 얻는다. 그리고 이 숫자(진리값)를 후건의 소속 함수에 적용한다. 규칙 전건의 논리합을 평가하려면 OR 퍼지 연산을 사용한다. 일반적으로 퍼지 전문가 시스템 은 고전적인 퍼지 연산인 합집합을 사용한다. 이를 [그림4-10]의 규칙 1에서 보여준다. 그러나 OR 연산은 필요하면 동작을 쉽게 바꿀 수 있다. 이를테면, MATLAB Fuzzy Logic Toolbox는 두 가지 내장 OR 함수를 제공한다. max와 확률적 OR인 probor다.

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method) 2단계: 규칙 평가 확률적OR은 대수합(algebraic sum)이라고도 하며 다음과 같이 계산된다. 비슷하게 규칙 전건의 논리곱을 평가하려면 AND 퍼지 연산인 교집합을 사용한다. 이 역시 [그림4-10]의 규칙2에서 보여준다. Fuzzy Logic Toolbox 역시 두 가지 AND 함수를 지원한다. min과 곱(product)인 prod다. 곱은 다음과 같이 계산된다.

06_퍼지 추론 2단계: 규칙 평가 - 서로 다른 퍼지 연산 함수는 다른 결과를 낼까 또는 퍼지 연구자들은 AND와 OR 퍼지 연산을 수행하는 여러 가지 방법을 제안하고 적용했다. 물론 각기 다른 방법은 서로 다른 결과를 낼 수 있다. 퍼지 패키지 대부분은 사용자가AND와OR 퍼지 연산의 동작을 바꿀 수 있게 한다. 규칙을 다시 살펴보자. 또는

06_퍼지 추론 2단계: 규칙 평가 - 서로 다른 퍼지 연산 함수는 다른 결과를 낼까 또는 이제 전건의 평가 결과를 후건의 소속 함수에 적용할 수 있다. 후건의 소속 함수는 규칙 전건의 진리값 수준으로 클리핑(clipping) 되거나 스케일링(scaling)된다.

06_퍼지 추론 2단계: 규칙 평가 - ‘클리핑되거나 스케일링된다’는 말은 무슨 뜻일까 [그림 4-12] 클리핑된 소속 함수와 스케일링된 함수

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method) 3단계: 출력으로 나온 규칙을 통합 통합은 모든 규칙의 출력을 단일화하는 과정이다. 다시 말해서, 앞 단계에서 클리핑되거나 스케일링된 모든 규칙 후건의 소속 함수를 퍼지 집합 하나로 결합한다. 따라서 통합 과정의 입력은 클리핑되거나 스케일링된 후건 소속 함수의 목록이고, 출력은 출력 변수 각각에 대한 단일 퍼지 집합이다. [그림 4-10]은 규칙 각각의 출력이 어떻게 모든 퍼지 출력에 대한 단일 퍼지 집합으로 통합되는지를 보여준다.

06_퍼지 추론 맘다니형 추론 (Mamdani method) 4단계: 역퍼지화 통합된 퍼지 집합을 어떻게 역퍼지화할까 퍼지 추론 과정의 마지막 단계는 역퍼지화(defuzzification)다. 퍼지성은 규칙을 평가하는 데 도움이 되지만, 퍼지 시스템의 최종 출력은 분명한 숫자여야 한다. 역퍼지화 과정에서 입력은 통합된 출력 퍼지 집합이고, 출력은 숫자 하나다. 통합된 퍼지 집합을 어떻게 역퍼지화할까 역퍼지화 방법은 여러 가지가 있다(Cox, 1999). 그러나 무게 중심법(centroid technique)을 가장 많이 사용한다. 이 방법은 수직선이 통합된 집합을 무게가 같은 두 부분으로 가르는 지점을 찾는다. 수학적으로 무게 중심(COG, Centre Of Gravity)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

06_퍼지 추론 4단계: 역퍼지화 [그림 4-13]에서 보듯 무게 중심법은 퍼지 집합의 무게 중심을 나타내는 점 A를 구간 [a, b]에서 찾아낸다. 이론적으로 무게 중심은 통합된 출력 소속 함수에 있는 점들의 연속체에 대해 계산된다. 그러나 실제로는 [그림 4-13]에서 보듯 점들의 표본을 추출하여 계산함으로써 합리적인 추정치를얻는다.

06_퍼지 추론 4단계: 역퍼지화 이 경우에는 (4.18)을 적용한다. 이제 우리 문제에서 무게 중심을 구해보자. [그림4-14]에서 결과를 확인해보자.

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