Numerical Analysis Homework(part2) 환경공학과 20041486 최정용

I.1 물질이동식을 해석하기 위한 범용적 유한차분법 알고리즘을 유도하라.

I.2 교과서에서 제시된 일반적 유한차분법에 대한 해를 Fortran 및 Basic 프로그램으로 개발한 전산모형과 Excel을 이용한 Excel 모형으로 구하여라. 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라. 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라.

그림 2.4 M1.FOR 모형의 계산 결과 (유속에 의한 이동이 지배적인 경우)

그림 2.5 M1.FOR 모형의 계산 결과 (확산 및 유속 이동이 존재하는 경우)

그림 2.6 M1.FOR 모형의 계산 결과 (확산에 의한 이동이 지배적인 경우)

그림 2.7 M1-Excel 모형의 운영

그림 2.8 M1-Excel 모형의 계산 결과

I.3 편미분방정식의 특성식을 설명하고 이 특성식의 근의 수에 따라 편미분방정식을 분류하는 방법을 서술하고, 공학 및 자연과학 문제에 있어서 지배방정식을 이러한 분류된 편미분방정식의 어느 범주에 속하는지 서술하라.

편미분 방정식은 특성식에 따라 쌍곡형(hyperbolic), 포물형(parabolic), 타원형(elliptic)으로 나누어진다. 편미분방정식은 특성식의 속성에 따라 다음과 같이 분류된다.

위의 편미분방정식중 쌍곡선형인 경우에는 수치해석 불안정성과 오차가 심하기 때문에 격자망을 작게 사용하거나, 특성법을 사용하여야 한다. 특성법은 다음과 같이 설명된다. 연속방정식에 전방차분법을 적용하면 다음과 같다. 위의 전방차분 아날로그에 대하여 특성법에서는 주변수가 유속을 따라 이동한다고 가정한다. 즉. 시간과 공간격자의 크기를 특성선상의 유속에 따라 다음과 같이 결정한다.

따라서, 다음의 식으로 전개된다. 즉, 주변수가 격자망을 따라서 유속에 의하여 이동하는 것을 알 수 있다. 물질이동식에 GCA의 알고리즘을 적용하기 위해서는 유속항은 중앙차분법을, 확산항은 특성법을 적용한다. 즉 분산이 유속에 따라 이동된 격자에서 일어난 것으로 가정한다. 따라서, 분산항은 다음과 같이 평가된다.

일반적으로 지하수 흐름의 지하수 유동 방정식 및 오염물 이동에 관계된 물질이동방정식은 포물형의 편미분 방정식 유형에 속한다 일반적으로 지하수 흐름의 지하수 유동 방정식 및 오염물 이동에 관계된 물질이동방정식은 포물형의 편미분 방정식 유형에 속한다. 이러한 일차원 물질이동방정식에 대하여 여러 수치해석 기법을 적용하여 일차원 모형을 개발하였다. Excel을 사용하여 모형을 개발함으로서 수치해석 알고리즘에 대하여 계산결과를 상세히 확인할 수 있었다. 이러한 계산결과는 저자가 기존에 개발한 BASIC 및 FORTRAN을 이용한 수치해석모형과 비교하여 수치해석 기법의 타당성을 검증하였다. 또한 모든 수치해석 기법의 결과는 이론해와 비교하였다. 수치해석 알고리즘으로 유한차분법 방법중 범용적 Crank-Nicholson 해법 (GCN : Generalized Crank-Nicholson Method)과 범용적 특성 평균법 (GCA : Generalized Characteristic Averaging Method)를 사용하였다.

I.4 GCA 방법에 의한 물질이동식의 수치해석 기법을 설명하고, 해를 Fortran 및 Basic 프로그램으로 개발한 전산모형과 Excel을 이용한 Excel 모형으로 구하여라. 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라. 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라.

GCA방법에 의한 알고리즘은 다음과 같이 특성법(Characteristic Method), 중앙차분평균법(Centered Difference (Averaging) Method), 범용적(Generalized) Crank Nicholson 법의 결합에 의해 유도된다.  

1)특성법 편미분방정식은 특성식의 속성에 따라 다음과 같이 분류된다.

따라서, 다음의 식으로 전개된다. 즉, 주변수가 격자망을 따라서 유속에 의하여 이동하는 것을 알 수 있다. 물질이동식에 GCA의 알고리즘을 적용하기 위해서는 유속항은 중앙차분법을, 확산항은 특성법을 적용한다. 즉 분산이 유속에 따라 이동된 격자에서 일어난 것으로 가정한다. 따라서, 분산항은 다음과 같이 평가된다.

2) 중앙차분(평균)법 (Centered Difference (Averaging) Method) 물질이동식중 유속에 의한 항은 중앙차분법으로 평가된다. 즉, 시간도함수는 공간절점에 대하여 평균치를 취하고, 공간도함수는 시간절점에 대하여 평균치를 취한다.

위의 식을 정리하면 다음과 같다. 여기서 , , 이다. 만약 평균을 취하지 않는 다면, 위의 식은 다음과 같다 (전방차분특성법). 인 경우, 두 평균 차분 특성법이나 전방 차분 특성법 모두 다음과 같이 유속에 따라 주변수를 추적하는 알고리즘이 되므로 특성법을 입자추적법이라고도 한다.

물질이동식의 수치해석기법 유한요소법은 수치해의 오차를 최소화하도록 해를 구하는 방법이다. 즉, 수치 해에서는 좌변과 우변이 다르므로, 좌변과 우변의 차이를 잔차라고 정의한다. 물질이동식의 잔차의 미분운영함수 L(C)는 다음과 같이 정의된다.

위의 잔차를 해석하려는 전체 공간에 대하여 최소화하기 위하여 각 격자 혹은 요소에 대한 가중화된 잔차를 다 더한 후에 잔차의 합을 0이 되게끔 식을 구성한다. 시간에 대한 미분식은 일반적인 차분법을 적용하므로 잔차는 공간에 대해서만 해석한다. 물질이동식의 가중잔차의 최소해를 구하기 위한 가중잔차식은 다음과 같다.

위의 방법을 가중잔차법(Weighted Residual Method)이라고 하며, 유한요소법의 근본원리가 된다 위의 방법을 가중잔차법(Weighted Residual Method)이라고 하며, 유한요소법의 근본원리가 된다. 즉, 공간 및 시간영역에 대하여 격자화된 각 계산점에서 수치해의 오차가 최소화되도록, 각 격자점의 수치해에 가중치를 곱하여 합한 다음, 전체 오차가 0이 되게끔 알고리즘을 설정하는 방법인 것이다. 가중잔차식은 부분적분과 Green의 정리를 이용하여, 확산의 이차 미분항이 일차 미분항으로 변환되고, 유출경계조건과 결합된다. 일반적으로 컴퓨터를 사용한 미분 혹은 편미분 방정식의 해법에 있어서 수학적 혹은 이론적인 엄밀해와는 달리 컴퓨터는 공간적, 시간적인 전체 문제영역을 연속적으로는 생각할 수가 없기 때문에 오직 이산화 혹은 격자환된 점(요소내의 절점)에서의 변화에 대해서만 계산이 가능하다. 따라서, 어떤 수치해석 기법(유한차분법, 유한요소법 등)을 사용하던 간에 지배방정식에 관계되는 모든 주변수, 매개변수, 독립변수, 자료 등을 이산화하여야 한다. 유한요소법에서는 다음과 같이 대표적인 변수, 파라미터 등을 기저함수(Basis Function) 혹은 형상함수(Shape Function)를 이용하여 이산화한다.

기저함수는 공간영역의 격자화에만 관계되므로 현상자체의 과정에는 의존하지 않으므로, 각 요소의 형상에 의해서만 결정된다 기저함수는 공간영역의 격자화에만 관계되므로 현상자체의 과정에는 의존하지 않으므로, 각 요소의 형상에 의해서만 결정된다. 따라서, 기저함수는 계산시간을 크게 감소시킬 수 있도록, 격자점의 좌표계만 주어지면 프로그램 운영 시 초기에 1회 평가된다. 즉, 물질이동식의 물리적, 화학적, 생물학적 기작을 평가하기 이전에 입력 자료로서 주어지는 격자망의 구성 방법 혹은 좌표계로서 평가되는 것이다. 기저함수는 모든 Gauss 지점에서 구해진 후, 요소행렬들의 적분이 수행될 때 조합된다.

II. 유한요소법 II.1 Green의 정리를 설명하라.

그린 정리는 적분을 하기에 좀 어려운 구간들이 있을때 사용한다. 그린정리는 부분적으로도 적용 가는하죠 그래서 면적분을 선적분 형태로 바꾸어서 적용할수 있습니다. 실생활 예로 시작점 과 끝점을 같이 하고 난다음 움직이면 알아서 면적을 계산에 주는 기계도 있구요. 여기서 꼭 시작점과 끝이 만나는 닫힌곡선 폐곡선일경우입니다

II. 2 일차원 물질이동식을 해석하기 위한 일차원 유한요소법을 설명하라

II.3 삼차원 물질이동식을 해석하기 위한 다차원 유한요소법을 설명하라.

따라서, 파라미터만 조정하면 적용이 가능하도록 프로그램을 고도로 범용화할 수 있다 따라서, 파라미터만 조정하면 적용이 가능하도록 프로그램을 고도로 범용화할 수 있다. 이러한 점을 고려하여, 본 모형의 개발에 있어서 다음과 같이 프로그램의 구조를 고도로 모듈화하였다. 입, 출력 모듈 공간 영역에 관련된 모듈 기저 및 가중함수를 위한 모듈 절점별 계수의 요소별 평가를 위한 모듈 요소 행렬 계산 모듈 요소 행렬 조립 모듈 비선형 시스템 해석 모듈 계수 및 생성항의 구성식을 위한 모듈 경계유입농도 및 유출율을 위한 모듈

II.4 수치해석적인 적분법의 하나의 방법인 Gauss 적분법을 설명하라. (인터넷 자료 참조).

4. 수치해석적인 적분법의 하나의 방법인 Gauss 적분법을 설명하라. Gauss 적분법은 선택점의 위치를 결정할 때 함수값을 잘 나타낼 수 있도록 결정하여야 하는데, 본 모형에서는 기저함수가 선형이므로 계산시간과 해의 수렴상 선택점의 위치가 2일 때가 가장 적절하여 이를 선택하였다. Gauss 적분법은 다음의 식으로 나타낼 수 있다.

식에 조합된다. 우측부하벡터는 각각의 요소별로 평가된 이후에 부하벡터행렬로 조합된다 식에 조합된다. 우측부하벡터는 각각의 요소별로 평가된 이후에 부하벡터행렬로 조합된다. 따라서 우측벡터와 좌측행렬은 선형연립방정식이 되어 이 행렬식을 풀면 각 절점별 농도가 구해진다. 요소 행렬의 조합 절차는 전체의 행렬 형태가 비대칭 행렬식을 사용할 수 있고, 변수의 기억용량을 줄이는 방향으로 수행된다.

II.5 다차원 유한요소법의 경계조건 해석 알고리즘을 설명하라.

II. 6 일차원 유한요소법을 이용한 물질이동식의 수치해석 기법을 설명하고, 해를 Fortran 프로그램(m1 II.6 일차원 유한요소법을 이용한 물질이동식의 수치해석 기법을 설명하고, 해를 Fortran 프로그램(m1.for)으로 개발한 전산모형과 Excel을 이용한 Excel 모형으로 구하여라. 확산계수 및 유속은 교과서에 있는 값을 사용하여라. 모델링 값을 비교 분석하여 그림에 나타내어라.

기저함수는 선형기저함수를 이용하였다. 각 요소행렬의 적분은 수치적분이 아닌 수계산으로 이루어졌다 기저함수는 선형기저함수를 이용하였다. 각 요소행렬의 적분은 수치적분이 아닌 수계산으로 이루어졌다. 다음에 구체적인 수치해석 알고리즘을 서술하였다. 다음과 같은 유한 요소에 대하여 각 절점별로 선형 보간 함수를 고려하면 기저함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.

II. 7 유한차분법(gcn. bas, gca. bas, gcn. xls, gca II.7 유한차분법(gcn.bas, gca.bas, gcn.xls, gca.xls)을 이용한 물질이동식의 해와 유한요소법(m1.for, m1.xls)을 이용한 물질이동식의 해를 비교하여 분석하여라 (교과서에 있음).

범용적 Crank-Nicholson법을 사용하는 유한차분법의 해와 유한요소법의 해를 비교하기 위하여 다음과 같이 유한차분법에 있어서의 경계조건을 살펴보았다. GCN 방법에 대해서는 이미 유한차분법장에서 서술하였다. 삼대각행렬의 삼대각 요소를 로, 부하벡터를 로 나타내면 경계조건을 다음과 같이 설명될 수 있다.