Lecture #6 제 4 장. 기하학적 객체와 변환 (1)

강의 내용 (1) 어떻게 기본적인 기하학적 형들을 표현 표현 사이의 변환 특정 표현 방식에 독립적인 방식으로 기본적인 기하학적 객체를 표현할 수 있는가? 표현 사이의 변환 컴퓨터 그래픽스 = 변환 모델 좌표계  세계 좌표계  카메라 좌표계  이미지 좌표계  장치 좌표계

강의 내용 (2) 1. 스칼라, 점, 벡터 2. 3-D 기본요소 3. 좌표계와 프레임

스칼라, 점, 벡터 기본적인 기하학적 객체 스칼라 (, , ) : 실수 벡터(u, v, w) 점 (P, Q, R) 점 방향과 크기를 가진 선분 점 (P, Q, R) 근본적인 기하학적 객체 공간에서의 위치 점 vector space - closed under the scalar-vector multiplication - closed under the vector-vector addition - no geometric concept such as location and distance. affine space - additional operations: point-point subtraction (or point-vector addition) - affine addition - undefined operations: - point-point addition - scalar-point multiplication 벡터 동일한 세 벡터

벡터 공간과 어파인 공간 기본적인 기하학적 객체에 대한 수학적 해석 벡터 공간(Vector Space) 기본적인 객체에 대한 수학적 정의 기본적인 객체에 대한 연산 정의 벡터 공간(Vector Space) 스칼라 + 벡터 어파인 공간(Affine Space) 벡터 공간 + 위치 스칼라 + 벡터 + 점 유클리드 공간(Euclidean Space) 벡터 공간 + 거리 거리가 정의된 공간

기하학적 추상 자료형 (1) 스칼라(Scalar) 벡터(Vector) 점(Point) 수학적 모델 실수 – 양 또는 크기의 측정 단위 덧셈, 곱셈, 항등원, 역원 벡터(Vector) 공간에서의 방향성 성분 점(Point) 공간에서의 점 수학적 모델 어파인 공간에서의 스칼라, 벡터, 점

기하학적 추상 자료형 (2) 점과 벡터를 관련 짓는 연산 점과 점의 뺄셈 = 벡터 v = P – Q 점과 벡터의 덧셈 = 점 P = v + Q

기하학적 추상 자료형 (3) 벡터의 덧셈 (P - Q) + (Q - R) = P - R 수미연결규칙(head-to-tail rule) (P - Q) + (Q - R) = P - R

직선(Lines) 직선(Lines) d P ( a ) = P + a d 직선의 매개변수 형식

어파인 가산(Affine Addition)

컨벡스 헐(Convex Hull) 볼록한(convex) 객체 컨벡스 헐(convex hull) 객체 내부의 임의의 두 점을 연결하는 선분상의 점들이 객체 내에 있는 객체 컨벡스 헐(convex hull) 주어진 점들의 어파인 가산에 의해서 만들어진 점들의 집합

벡터의 점적과 교적 (1) 두 벡터의 점적(내적 : dot product, inner product) 벡터 u와 v가 이루는 각이 일때 벡터 u와 v가 다음과 같을 때 두 벡터 사이의 각 두 벡터가 직교한다(Orthogonal)  =0  u•v=0

벡터의 점적과 교적 (2) 두 벡터의 교적(cross product) v n u

평면(Planes) 컨벡스 헐 정의와 일치

삼차원 기본요소 (1) 2D에서 3D로 넘어갈 때 고려할 점 기본요소로 선택될 객체는 다음의 특징을 가져야 한다 구현이 효율적인 객체만 관심을 갖는다 기본요소로 선택될 객체는 다음의 특징을 가져야 한다 객체는 표면에 의해 기술되고, 속이 비었다고 간주한다 객체는 삼차원 공간 내의 정점의 집합으로 명시될 수 있다 객체는 평면 볼록 다각형으로 구성되거나 근사될 수 있다

삼차원 기본요소 (2) 가장 적절한 기본요소는 다각형 다각형 - 다각형은 정점들의 집합으로 구성된다. (파이프라인에 적합) 가장 적절한 기본요소는 다각형 다각형 - 다각형은 정점들의 집합으로 구성된다. (파이프라인에 적합) 평면 ( 면과 법선의 정의가 가능) 볼록 ( 채우기 용이) 삼각형 ( 렌더링이 효율적)

삼차원 기본요소 (3) 임의의 다각형 삼각형 예외 분할(tesselation) 입체표현 임의의 다각형 삼각형 예외 입체표현 구성입체기하(constructive solid geometry ;CSG) 입체 객체들의 작은 집합으로부터 합집합, 교집합 같은 집합연산으로 객체를 구축 체소(voxel) 표현 분할(tesselation)

좌표계와 프레임 (1) 좌표계 - 기저 벡터들에 의해서 정의된다 1 e v 3 2 3 2 1 e v a + =

å å 좌표계와 프레임 (2) 벡터 v = a e v 점 P = P + a e 프레임 - 기저벡터 + 원점 e e e i i 3 i i v å 점 P = P + a e i i e 2 e 1

동차 좌표(Homogeneous Coordinate Representation) 동일한 표현으로 혼란 야기 이동 변환을 행렬의 곱셈으로 나타낼 수 없다 동차 좌표 표현