신 현용 한국교원대학교 수학교육과 수학으로 즐기는 아름다움 : 대칭 (symmetry)
Francisco Tarrega ( )
스페인 그라나다
“ 알함브라 궁전의 추억 ” (Recuerdos de la Alhambra )
(Alhambra, music )Alhambra
비 내리는 옛 궁전에서 눈이 보이지 않는 이 음악가는 무엇을 추억하고 있을까요 ? 그러나 그곳에는 그가 들을 수 없는 것이 있었습니 다. 많은 화가와 수학자로 하여금 그 곳을 찾게 하는 그 무엇이 있었습니다.
“The Palace of Symmetry” 온갖 “ 아름다운 ” 무늬로 장식 “ 아름다움 = 대칭 ”
“ 대칭 ” 이라고 하면 무엇이 떠오르나요 ? “ 좌우대칭 ” ?
회문 ( 回文, palindrome) eye madam Was it a cat I saw? “ABBA” : “SOS”
Sator Arepo Tenet Opera Rotas (The farmer, Arepo, sows the seeds.)
“ 좌우대칭 ” 도 중요하지만 더 중요한 대칭이 있습니다.
대칭 (symmetry) 반사 (reflection) 회전 (rotation) 평행이동 (translation)
퀴즈 1 : 위 그림에서 평행이동 대칭은 어디 있는가 ? 위 그림에서 회전대칭은 어디 있는가 ?
대칭 질서 (order) 균형 (balance) 조화 (harmony) 불변 (invarince) 규칙 (regularity) … 아름다움의 핵심입니다.
선, 직선
폐곡선, 원
삼각형, 정삼각형
다각형, 정다각형
입체, 다면체, 정다면체, 구 ( 球 )
자연에서의 대칭
퀴즈 2 : 매미는 생김새에 대칭이 있지만, 매미의 일 생은 소수 (prime number) 와 관계가 있다고 한다. 어떤 상황인가 ?
미술에서의 대칭
음악에서의 대칭 청각적 대칭 시각적 대칭
퀴즈 3 : 위 네 개의 악보 모두를 생각할 때 그와 관 련된 유한군은 무엇인가 ?
물리법칙에서의 대칭 이론적 ( 물리학적 ) 대칭
에너지 보존 (conservation of energy) : 시간평행이동 열역학 제 1 법칙 선운동량 보존 (conservation of linear momentum): 공간평행이 동 각운동량 보존 (conservation of angular momentum): 회전 하나의 보존법칙에는 하나의 대칭성 ( 연속 ) 이 대응된다.
퀴즈 4 : 보존의 법칙과 대칭과의 관계를 밝힌 수학 자는 누구인가 ?
퀴즈 5 : 선운동량 보존 (conservation of linear momentum) 과 각운동량 보존 (conservation of angular momentum) 각각에 대응하는 대칭은 무엇인가 ?
보존의 법칙 : 뉴트리노 등 새로운 입자의 발견
수학에서의 대칭
일차함수의 그래프 반사, 회전 이차함수의 그래프 반사 삼차함수의 그래프 회전 …
? 동차식 대칭식
아름다움의 수학적 이해 Group Theory( 군론 ) “Language of Symmetry( 대칭의 언어 )” Galois Theory
정다면체 대칭의 정도 ( 수준 ) 정사면체 : 정육면체와 정팔면체 : 정십이면체와 정이십면체 :
퀴즈 6 : 정육면체와 정팔면체 의 치환군은 ? 정십이면체와 정이십면체의 치환군은 ?
답 정육면체와 정팔면체 : 정십이면체와 정이십면체 :
정 n 각형의 경우 원의 경우 구 ( 球 ) 의 경우 …
퀴즈 7 : 원의 치환군은 지수가 2 인 정규부분군을 가진다. 그 정 규부분군은 무엇인가 ?
띠군 ( frieze group) 벽지군 (wall paper group)
다항식의 근의 공식
1 차, 2 차, 3 차, 4 차 다항식은 근의 공식 이 있습니다. 그러나 5 차 이상의 다항식 에 관한 근의 공식은 없습니다. 이 사실 을 발견한 노르웨이 수학자는 누구일까 요 ?
군론에 중요한 공헌을 한 수학자가 많 이 있습니다. 이 중에서 군론의 창시자 라고 할 수 있는 사람으로서 20 대 초반 에 어떤 결투에서 죽은 프랑스 수학자 가 있습니다. 누구일까요 ?
자, 기대하세요. 반전입니다.
대칭이 깨지면 ? 대칭이 파괴되면 ?
대칭이 완전히 깨지면 망가집니다.
그러나 대칭이 “ 쬐끔 (?)” 깨지면, “ 약간 ” 파괴되면 ?
변화 ? 긴장 ? 단조롭지 않습니다. 따분하지 않습니다.
새로운 창조 ? 아름다움의 극대화 ?
위의 원 띠를 한 번 꼬아 만든 것을 무엇 이라고 부르나요 ?
대칭의 파괴 에셔 (M. C. Escher)
창의력 예술
퀴즈 8 : 피댓줄을 꼬아서 연결하면 두 바퀴의 회 전 방향이 달라진다. 뫼비우스띠 피댓줄 을로 연결하면 두 바퀴의 회전방향은 어 찌되면 피댓줄에 어떤 좋은 영향이 있을 까 ?
위의 삼각대를 누구의 삼각대라고 하나 ?
펜로즈 계단 (Penrose stairs) 수학자, 이론물리학자 영화 : LABYRINTH
퀴즈 9 : 다음은 어떤 영화의 포스터인가 ?
INCEPTION
피카소 : 화가와 모델 (1932)
축복송
물리법칙에서의 대칭 깨짐 반사 (reflection) : 이산 (discrete) 대칭 T. D. Lee & C. N. Yang C. S. Wu
빅뱅 (BIG BANG) 대칭의 깨짐 우주의 탄생 시공간의 탄생
새로운 대칭의 생성 허블망원경.avi 허블망원경.avi
멋진 아름다움 대칭과 깨짐의 조화 큰 대칭 속의 작은 깨짐
인간의 성장 대칭과 깨짐의 반복 깨짐 ? 삶에서의 꼬임과 전환 성숙의 계기
아름다움에의 추구
아름다움 소리 ( 음악 ) 색 ( 미술 ) 미각 ( 미식 ) ‘ 손 맛 ’( 낚시 ) 향수 ( 취각 ) 다수가 공유할 수 있는 아름다움
아름다움을 수학으로 말할 수 있을까 ? 그렇다. 수학은 아름다움을 정확히 설명한다. 수학은 그 자체가 ‘ 아름다움 ’ 이기도 하다.
수학적 아름다움 mathematical beauty mathematical power mathematical joy mathematical fantasy 이성적 아름다움 소수에게 허락된 아름다움
보통의 다른 사람에게는 허락되지 않은 아름다움을 알게 된 사람 ! 복 받은 사람 ! 그에게 따르는 책임 ? “ 노블레스 오블리주 ” noblesse oblige
아름다움을 인식하는 고도의 기술 가장 효율적인 언어 수학
퀴즈 10 : 년 우리나라에서 세계에서 가장 크고 중요한 수학교육대회가 열립니다. 이 대회의 이름은 무엇이며 몇 차 대회 인가요 ?
ICME 년 7 월 8 일 – 2012 년 7 월 15 일 COEX, Seoul, Korea 제 12 차국제수학교육대회 The 12 Th International Congress on Mathematical Education 100 개 국가 5000 명의 수학자와 수학교육자
Heartful ICME-12, Joyful ICME-12 !
Welcome to ICME-12 !