[ 예제 ] 시장수익률의 확률분포 확률변수의 분포

목적 내년 시장수익률의 확률분포에 대한 평균, 분산, 표준편차 계산

배경설명  투자자 A 씨는 내년의 시장수익률을 분석하려고 한다. 시장수익률 (market return) 은 투자한 자금으로부터 얻은 연간이득 ( 또는 손실 ) 의 백분율을 의미한다.  A 씨는 내년의 국가경제가 다음과 같은 다섯 가지 시나리오 중 하나가 될 것으로 믿고 있다. 1) rapid expansion, 2) moderate expansion, 3) no growth, 4) moderate contraction, 5) serious contraction  A 씨는 각 시나리오에서의 시장수익률을 0.23, 0.18, 0.15, 0.09, 0.03 으로 추정하였다.

배경설명 -- 계속  A 씨는 내년의 국가경제에 대한 시나리오의 발생확률을 각각 0.12, 0.40, 0.25, 0.15, 0.08 으로 평가하였다.  이러한 정보로부터 A 씨는 시장수익률 확률분포의 기대값, 분산, 표준편차 등을 계산하고자 한다.

확률변수의 유형  이산확률변수 (discrete random variable) 는 유한개의 결과값을 갖는다.  연속확률변수 (continuous random variable) 는 결과값이 연속체로 되어있다.  수학적으로 이산확률변수와 연속확률변수는 매우 큰 차이가 있다. 연속확률변수를 정확히 설명하려면 미분적분학이 필요하다. 여기서는 이산확률변수를 중심으로 설명한다.

이산확률변수  확률변수 X 의 확률분포 (probability distribution) 는 X 가 취할 수 있는 값 x i 과 그 발생확률 P(X=x i ) 을 나열해 놓은 것을 의미한다.  발생확률은 항상 0 과 1 사이의 값이어야 한다. 즉 0 ≤ P(X=x i ) ≤ 1  발생확률의 합은 1 이 되어야 한다. 즉 Σ i P(X=x i ) = 1

확률분포의 요약  확률분포 (probability distribution) 는 둘 또는 세 개의 숫자로 요약될 수 있다. – 기대값 (expected value) 으로 부르기도 하는 평균 (mean) 은 확률을 가중치로 사용하여 계산한 가중합계이다. –E(X) = Σ i x i P(X=x i ) – 분포의 변동성 (variability) 은 분산 (variance) 또는 표준편차 (standard deviation) 로 측정한다. 분산은 평균으로부터 편차를 제곱하고 이 값에 확률을 가중치로 사용하여 계산한 가중합계이다. 표준편차는 분산의 제곱근이다. 분산은 확률변수의 단위의 제곱으로 표현되므로 표준편차가 더 자연스러운 변동성의 측정수단이다. –Var(X) = Σ i (x i – E(X)) 2 P(X=x i ) –Std(X) = (Var(X)) 1/2

MarketReturn.xls  이 파일에는 투자자가 추정한 시장수익률과 확률이 포함되어있다.  Mean, Probs, Returns, Var, Sqdevs 등은 범위이름으로 설정된 것이다.

확률분포의 요약지표 계산  확률분포의 요약지표 계산 –Mean return: =SUMPRODUCT(Returns,Probs) –Squared Deviations: =(C4-Mean)^2 –Variance: =SUMPRODUCT(SqDevs,Probs) –Standard Deviation: =SQRT(Var)  평균 (mean) 은 15.3%, 표준편차 (standard deviation) 는 5.3% 이다. 이 값이 의미하는 바는 ?

요약지표에 대한 분석  First, the mean or expected return does not imply that the most likely return is 15.3%, nor is this the value that the investor “expects” to occur. The value 15.3% is not even a possible market return.  We can understand these measures better in terms of long-run averages.  If we can see the coming year repeated many times, using the same probability distribution, then the average of these times would be close to 15.3% and their standard deviation would be 5.3%.

[ 예제 ] GM 주식과 금에 대한 투자 포트폴리오 분석 두 확률변수의 분포

목적 결합확률분포 (joint distribution) 를 구하고 이를 이용해 주어진 두 가지 투자안 수익률의 공분산 (covariance) 과 상관계수 (correlation) 를 계산함

배경설명  투자자 A 씨는 GM 주식 (General Motors stock) 과 금에 투자할 것을 계획하고 있다.  이러한 투자안의 수익은 내년의 전반적인 경제상태에 따라 달라질 것이다.  A 씨는 경제상태를 depression, recession, normal, boom 등의 4 가지로 구분하고 각 상태의 확률을 0.05, 0.30, 0.50, 0.15 으로 보고 있다.

배경설명 -- 계속  A 씨는 두 가지 투자안 수익률의 결합분포를 분석하고자 한다.  또한 A 씨는 GM 주식과 금에 대한 투자 포트폴리오의 분포를 분석하고자 한다.

GMGold.xls  이 파일에는 GM 주식과 금의 추정수익률과 확률이 수록되어 있다.

두 가지 확률변수의 관계  두 가지 확률변수는 결합확률접근법 (joint probability approach) 또는 시나리오접근법 (scenario approach) 으로 관계는 나타낼 수 있다.  이들 두 방법은 확률을 각 결과치 (outcome) 에 부여하는 방법이 다르다.  두 가지 변수의 관련성은 공분산 (covariance) 또는 상관관계 (correlation) 로 측정할 수 있다.

관련성 요약지표  확률변수 X 의 결과값이 x i 가 되고 확률변수 Y 의 결과값이 y i 가 될 확률 p(x i, y i ) 을 결합확률 (joint probability) 이라고 한다.  공분산 (covariance) Cov(X,Y) = Σ i (x i – E(X)) (y i – E(Y)) p(x i, y i )  상관관계 (correlation) Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / [ Std(X)  Std(Y) ]

관련성 요약지표 -- 계속  공분산과 상관관계 모두 X 와 Y 간의 선형관계 (linear relationship) 의 강도를 나타낸다. X 와 Y 가 같은 방향으로 변하면 공분산과 상관관계는 양의 값을 갖고 반대방향으로 변하면 음의 값을 갖는다.  공분산은 X 와 Y 의 측정단위 (measurement units) 에 따라 값이 달라지기 때문에 해석하기 어렵다. 그러나 상관관계는 항상 -1 과 +1 사이의 값을 갖는다.

시나리오접근법  주어진 경제상태가 GM 주식 및 금의 수익률을 결정하므로 4 가지 결과값 (outcome) 이 가능하다.  가능한 결과값은 과 0.05, 0.10 과 0.20, 0.30 과 -0.12, 0.50 과 0.09 이다. 각 결과값은 결합확률을 갖는다.  GM 주식과 금 수익률의 평균, 분산, 표준편차를 각각 계산한다.

공분산과 상관관계 계산  공분산과 상관관계를 다음과 같이 계산한다. 1 평균편차 (Deviations from means): 공분산을 계산하기 위해서는 평균편차를 계산해야 한다. 평균편차를 계산하기 위해 B14 에 =C4-GMMean 을 입력하고 이를 B17 까지 복사한다. 같은 방식으로 금 수익률의 평균편차를 계산한다. 2 공분산 (Covariance): GM 주식 수익률과 금 수익률간의 공분산을 계산하기 위해 B23 에 수식 =SUMPRODUCT(GMDevs,GoldDevs,Probs) 을 입력한다.

공분산과 상관관계 계산 -- 계속 3 상관관계 (Correlation): GM 주식 수익률과 금 수익률간의 상관관계를 계산하기 위해 B24 에 수식 =Covar/(GMStdev*GoldStedev) 를 입력한다.  공분산이 음수인 것은 GM 주식 수익률과 금 수익률이 반대방향으로 움직이는 경향을 가지고 있음을 나타낸다. 그러나 공분산으로 움직이는 경향의 정도를 판단하기는 어렵다.  상관관계가 인 것은 반대방으로 움직이며 보통수준의 관련성이 있음을 나타낸다. 그런데 GM 주식 수익률과 금 수익률의 관계가 선형관계가 아니기 때문에 상관관계를 분석에 사용하기는 어렵다.

시뮬레이션 (Simulation)  GM 주식 수익률과 금 수익률에 대한 시뮬레이션으로 이들의 공분산과 상관관계를 설명할 수 있다.  GM- 금 수익률 시뮬레이션에서는 다음의 두 가지 사항이 핵심이다.  첫째, GM 주식과 금 수익률 자체를 시뮬레이트하는 것이 아니라 경제상황을 시뮬레이트해야 한다. –A21 에 RAND 함수를 입력하고 B21 에 VLOOKUP(A21,LTable,2), C21 에 VLOOKUP(A21,LTable,3) 를 입력한다. – 이 방식은 같은 난수를 사용해서 수익률을 생성하는데 같은 시나리오를 사용하게 된다.

시뮬레이션 -- 계속  둘째, 수익률이 모의로 만들어졌으면 이 수익률로 공분산과 상관관계를 계산할 수 있다. –B8 에 COVAR(SimGM,SimGOLD) 를 입력하고 B9 에 CORREL(SimGM,SimGold) 를 입력하여 공분산과 상관관계를 계산한다. COVAR 과 CORREL 은 built-in 함수이다. – 확률분포에서 계산한 관련성 요약지표와 시뮬레이션결과에서 계산한 관련성 요약지표가 매우 유사한 값을 나타내고 있다. 두 지표값이 완벽하게 일치하지는 않고 있지만 모의로 만들어지는 수익률의 수가 많아질 수록 점점 더 일치하게 된다.

GM 과 Gold 수익률 시뮬레이션

포트폴리오 분석  투자자 A 씨가 $10,000 중 일부는 GM 주식에 투자하고 나머지는 금에 투자하고 한다.  경제상태에 대한 시나리오가 4 개이므로 포트폴리오 수익률의 결과치도 4 개가 된다.  포트폴리오수익률 (portfolio returns) 은 일반적인 방법으로 계산하였다. 포트폴리오수익률 = Σ i 투자비율 i  수익률 i

포트폴리오 분석 -- 계속  투자자가 GM 주식에 더 많이 투자할 수록 포트롤리오의 기대수익률과 포트폴리오 수익률의 표준편차가 어떻게 변화하는가를 보자. – 이를 위해 포트폴리오수익률의 평균 및 표준편차를 GM 주식에 대한 투자비율의 함수로 나타내었다 (B24 와 C24 에 각각 =C18 과 =C20 을 입력하고 A24:C35 를 범위로 선택한 후 ‘ 데이터 ’ 메뉴의 ‘ 표 ’ 부메뉴를 선택한다. 그리고 ‘ 열 입력 셀 ’ 에 B6 을 입력하고 엔터를 누른다 ).  포트폴리오수익률의 평균 및 표준편차의 그래프를 살펴보면 GM 주식에 대한 투자비율이 높아질 수록 일정하게 기대수익률이 높아지는 것을 알 수 있다.

포트폴리오 분석 -- 계속  그러나 위험수준의 지표로 사용되는 표준편차는 감소하다가 일정 부분 이후에서 증가하고 있다.  이는 포트폴리오의 기대수익률과 ( 표준편차로 측정된 ) 위험간에 교환관계 (trade-off) 가 있음을 의미한다.  투자자 A 씨가 GM 주식에 대한 투자비율을 높일 수록 기대수익률이 높아지지만 0.4 를 지나면서 위험도 함께 증가한다.

Distribution of Portfolio Return

[ 예제 ] Describing Investment Portfolio Returns 확률변수의 선형함수 ( 가중합계 )

목적 포트폴리오의 연평균수익률과 위험을 결정할 수 있다.

Invest.xls  투자자 B 씨는 투자자금으로 $100,000 를 가지고 있으며 8 개 주식에 분산투자를 하고자 한다.  B 씨는 이들 주식의 과거 수익률자료를 수집하여 평균, 표준편차, 상관관계 등을 추정하였다.  Invest.xls 에는 이들 8 개 주식의 과거자료로부터 추정한 평균, 표준편차, 상관관계 자료들이 수록되어 있다. B 씨는 이들 요약지표가 미래의 수익률에 관한 정보로서 역할을 할 것으로 믿고 있다.

Invest.xls Invest.xls -- 계속  B 씨는 이들 8 개 주식으로 구성된 포트폴리오를 분석하고자 한다.  포트폴리오의 연평균수익률은 얼마인가 ? 그리고 분산 및 표준편차는 어느정도인가 ?

입력자료

가중합계의 기대값과 분산  가중합계 Y = a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + a n X n  가중합계의 기대값 E(Y) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) + … + a n E(X n )  상호독립적인 확률변수의 가중합계의 분산 Var(Y) = a 1 2 Var(X 1 ) + a 2 2 Var(X 2 ) + … + a n 2 Var(X n )  가중합계의 분산 Var(Y) = a 1 2 Var(X 1 ) + a 2 2 Var(X 2 ) + … + a n 2 Var(X n ) + 2a 1 a 2 Cov(X 1,X 2 ) + 2a 1 a 3 Cov(X 1,X 3 ) + … + 2a n-1 a n Cov(X n-1,X n )

Solution  확률변수 X 는 주식의 연간수익률이고, 가중치 a 는 주식에 투자된 금액 ($) 이다. X 에 대한 요약지표 ( 평균, 표준편차, 상관관계 ) 는 rows 12,13, 에 수록되어 있다.  포트폴리오 Y = a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + a 8 X 8  포트폴리오의 평균수익률은 B49 에 =SUMPRODUCT(Weights, Means) 를 입력하여 구할 수 있다.

Solution -- 계속  포트폴리오수익률 (Y) 의 분산을 계산하기 위해서는 준비가 필요하다.  분산, 표준편차, 상관관계, 공분산 등은 다음의 관계를 갖는다. Var(X i ) = (Stdev(X i )) 2 Cov(X i, X j ) = StDev(X i ) X Stdev(X j ) X Corr(X i,X j )

Solution -- 계속  공분산을 Excel 에서 계산할 때 TRANSPOSE 함수를 사용해서 L 열에 표준편차를 나타내어 두면 편리하다.  이렇게 하려면 먼저 L12:L19 범위를 선택하고 선택된 범위에 =TRANSPOSE(Stdevs) 를 입력한 후 Ctrl-Shift- Enter 를 누른다.  이제 B28:I35 범위에 X’s 의 분산 및 공분산 테이블을 만든다 (B28 에 =$L12*B$13*B17 를 입력하고 이를 범위의 나머지 셀에 복사한다 ).

Solution -- 계속  마지막으로 포트폴리오의 분산을 B50 에 계산한다.  B50 에 분산을 계산하기 위해 먼저 필요한 가중 분산 - 공분산 테이블을 다음과 같은 방법으로 만든다. – 가중치행 (Row of weights) 범위 B38:I18 을 선택한 후 =Weights 을 입력하고 Ctrl-Enter 를 누름 – 가중치열 (Column of weights) A39:A46 를 선택한 후 =TRANSPOSE(Weights) 를 입력하고 Ctrl-Shift-Enter 를 누름

Solution -- continued – 가중 분산 - 공분산 테이블 (Table of Weighted Variance- Covariance) 포트폴리오의 분산을 구성하는 가중 분산 - 공분산 테이블을 만든다 (B39 에 =$A39*B28*B$38 을 입력하고 이 수식을 B39:I46 에 복사한다 ). – 포트롤리오 분산 및 표준편차 (Portfolio variance and standard deviation) B50 에 =SUM(PortVarTerms) 를 입력하여 포트폴리오 분산을 계산한다. 포트폴리오 수익률의 표준편차는 B51 에 분산의 제곱근으로 계산한다.  계산결과는 다음 slide 에 나타낸 것과 같다.

Solution -- 계속  약 $11,200 의 표준편차는 비교적 큰 값이다. 표준편차는 포트폴리오의 위험을 나타내는 지표이다.  투자자는 항상 높은 기대수익률을 기대하면서 동시에 낮은 위험을 원한다.  그러나 높은 수익을 얻으려면 항상 더 많은 위험을 감수해야 한다.

[ 예제 ] Battery Life Experiment The Binomial Distribution

목적 Excel 함수 BINOMDIST 와 CRITBINOM 을 사용해서 이항분포의 확률과 백분위수를 계산하는 방법에 대해서 살펴봄

문제  100 개의 전등에 100 개의 배터리가 들어있다.  배터리는 연속적으로 8 시간을 사용한 후에도 작동할 확률이 0.6 이고 작동을 멈출 확률이 0.4 인 것으로 가정한다.  100 개의 전등 중에서 8 시간 후에도 사용할 수 있는 전등 ( 성공 ) 의 수를 X 라고 하자.

문제 -- 계속  다음과 같은 각 사건의 확률을 구하고자 한다. – 정확하게 58 개가 성공 –65 개 이하가 성공 –70 개 미만이 성공 – 적어도 59 개 성공 –65 개 초과해서 성공 –55~65 개 성공 (inclusive) – 정확하게 40 개 실패 – 적어도 35 개 실패 –42 개 미만 실패  X 의 분포에서 95 번째 백분위수를 찾으시오.

이항분포  이항분포 (binomial distribution) 는 다음과 같은 두 가지 상황에서 나타날 수 있는 이산확률분포이다 : – 모집단으로부터 두 가지의 결과 ( 예를 들면, 남자와 여자 ) 로 표본을 추출할 때 – 두 가지 결과만을 갖는 동일한 실험을 반복하여 수행할 때  시행 (trial) 은 실험을 반복할 때의 각 실험을 의미한다.

Excel 에서 이항분포의 확률  Excel 에서 이항분포 확률의 계산은 =BINOMDIST(k,n,p,cum) 으로 할 수 있다.  The arguments are: –n is the number of trials –p is the probability of success –k is the integer number of successes that we specify –cum is either 0 or 1. It is one if we want the probability of less than or equal to k successes and it is 0 if we want the probability of exactly k successes.

BinomFns.xls  This file contains the solutions to all of the problems:

Solutions  The key to solving the probabilities is in the wording of the phrases such as “no more than”, “greater than” and so on.  In particular we have to pay close attention to the possibility in some that X = k.

Solutions -- continued  We can translate the first six probabilities requested to the following: –P(X = 58) –P(X < = 65) –P(X < 70) = P(X < = 69) –P(X  59) = 1 - P(X < 59) = 1 - P(X < = 58) –P(X > 65) = 1 - P(X < = 65) –P(55 < = X < = 65) = P(X < = 65) - P(X < 55) = P(X < = 65) - P(X < = 54)  Note that we have converted these so that they include only terms of the form P(X = k) and P(X < = k).

Solutions --continued  The last three probabilities involve failures instead of successes.  Since each trial results in either a success or failure, the number of failures is also binomial distributed with parameters n and 1 - p = 0.4.  Therefore, we substitute 1-P for P in the BINOMDIST function.

Solutions -- continued  Finally, we calculate the 95th percentile of the distribution of X by using the entering the requested probability, 0.95, in cell B27 and the formula: =CRITBINOM(Ntrials,Psucc,B27) in cell A27.

Binomial Distributions and Sampling  Another aspect of binomial distributions to consider is how this distribution applies to sampling from a population with two type of members.  If sampling is done without replacement, then each member of the population can be sampled only once.  If sampling is done with replacement then it is possible, although may or may not be likely, to select a given member of the population any number of times.

Binomial Distributions and Sampling -- continued  Most real world sampling is done without replacement. There is no point in obtaining information from the same person another time.  The binomial distribution, however, only applies when sampling is done with replacement. It is only an approximation if sampling is done without replacement.  It turns out that the appropriate distribution for sampling without replacement is the hypergeometric distribution, a distribution we will not discuss here.

Binomial Distributions and Sampling -- continued  However, if n is small relative to N, then the binomial distribution is a very good approximation to the hypergeometric model, so it works well when sampling is without replacement.  A rule of thumb is that if n is no greater than 10% of N, that is, no more than 10% of the population is sampled, then the binomial model can be used safely.  The bottom line is that in most real-world sampling contexts, the binomial model is perfectly adequate.