확률변수의 기대값, 분산 등

기대값 분산 표준화 과정 공분산과 상관계수 조건부 기대값과 조건부 분산 (6. 누적확률분포함수) 7. 종합 8. 적률과 적률모함수

1. 기대값 어느 확률 변수 X 의 기대값 Notation : E[X] 혹은 혹은 Expectation

주사위를 던져 나오는 수 : X X의 기대값 ? 1 2 3 4 5 6 f(x) 1/6 E[X]=1*(1/6)+2*(1/6)+ . . . .+6*(1/6) =3.5 즉 X: DRV일 때 확률변수 X의 기대값은 이와 비슷하게 X : CRV 이라면

주사위를 던져 나오는 수의 제곱에 10배를 상금으로 준다고 할 때 상금의 기대값은 ? 기대값 계산의 예(DRV의 경우) 주사위를 던져 나오는 수의 제곱에 10배를 상금으로 준다고 할 때 상금의 기대값은 ? 주사위를 던져 나오는 수 : X 상금 : Y x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1/6 y 10 40 90 160 250 360 f (y)

확률변수 X의 확률함수 가 주어져 있고 의 관계가 있을 때

기대값 계산의 예 : x y 1 3 2 1/8 3/8 1/2 4 1/4 3/4 (1) 두 확률변수가 독립 ? Yes ! (2) E[X] = 2*(1/2)+4*(1/2) = 3 (3) E[Y] =1*(1/4)+3*(3/4) = 2.5

기대값 계산의 예 : CRV의 경우 답 : 4/3

기대값 계산의 예 (1) 두 확률변수가 독립 ? 두 확률변수는 서로 독립 !

(2) E[X] = ? (3) E[Y] = ?

기대값 계산의 예 :

기대값 계산의 예 : CRV의 경우 (1차 적률) (2차 적률) (3차 적률) . . . . . . . . (k차 적률)

기대값의 몇 가지 성질 E[a] = a (2) E[a X] = a E[X] (3) E[a X + b] = a E[X] + b

일 때 답 : 3

2. 분산 , Variance 어느 확률변수 X의 분산 Notation : Var[X] 혹은 혹은 로 정의된다. Note : = 표준편차(standard deviation)

또한 일 때 다음의 사실을 이미 알고 있다. 이라고 할 때,

분산의 몇 가지 성질 1. 혹은 2. 3.

E[X]=10, Var[X]=100 그리고 Y = 2X - 3 답 : 17 E[Y ] = ? Var[Y ] = ? 답 : 400

분산 계산의 예 : DRV 경우(앞서 예) x y 1 3 2 1/8 3/8 1/2 4 1/4 3/4 E[X]=3, E[Y]=2.5를 이미 알고 있다. E[X ] = 4*(1/2)+16*(1/2)=10 2 Var [X] = 10 – 9 = 1

분산 계산의 예 : CRV 경우(앞서 예) 앞서 E[X] = 2/3를 계산하였다. Var[X] = 1/18

Var[X]=1/18 일 때 Var[X+10]=1/18 Var[5X]=25/18 Var[5X+10]=25/18 그리고 E[X]=2/3 라고 한다면 =1/18+(4/9) = 1/2

3. 표준화 과정 평균을 0, 분산을 1로 전환시키는 방법 확률변수 X의 평균이 이고, 분산이 표준화 :

확률변수 X의 평균이 이고, 분산이 새로운 확률변수 Z는 평균이 0, 분산이 1이 된다. 예 : 표본평균 는 평균이 이고, 분산이 이다. (이에 대한 증명은 추후 할 것임) 의 평균은 0이고 분산이 1이 된다.

4. 공분산과 상관계수 Notation : 공분산 Covariance Cov[X, Y] 혹은 상관계수 correlation coefficient

(1) 공분산 혹은 (해 볼 것) 혹은

E[X]와 E[Y]를 구하는 방법에 대해서는 앞서 공부 만약 E[X], E[Y], E[XY]를 계산할 수 있다면 를 계산할 수 있을 것이다.

공분산 계산의 예 : 앞의 예(DRV의 경우) x y 1 3 2 1/8 3/8 1/2 4 1/4 3/4 앞서 E[X]= 3, E[Y]= 2.5 를 이미 계산하였다 Cov[X,Y] = 15/2 - 3*(5/2) = 0 Note: 앞서 두 변수 간에 독립관계가 성립한다고 하였다.

만약 두 변수 X, Y : 독립이면 이 성립하고, 이 성립한다. (해 볼 것)

Note: 두 변수 X,Y : 독립 Cov[X,Y]=0

Cov[X,Y]=0 그러나 독립이 아닌 예: 교재 96쪽 1/3 1/9 3 2/9 2 3/9 1 x y E[XY] = 24/9, E[X] = 2, E[Y] = 4/3 Cov[X,Y]=0 : 독립이 아님 따라서 공분산=0 독립

공분산 계산의 예 : CRV의 경우

분산 및 공분산의 성질 (풀어 볼 것) 0 만약 모두 독립

일반화 : 확률변수들 만약 모든 확률변수들이 독립

Var[X]=10, Var[Y]=20, Cov[X,Y]=5 Var[3X-2Y]=110

(2) 상관계수 만약 X, Y: 독립 Cov[X,Y]=0 앞서 표준편차, 공분산이 계산되면 상관계수를 계산

5. 조건부 기대값과 조건부 분산 혹은 를 알고 있다면 조건부 기대값을 다음과 같이 구한다 로 표기하기도 한다

조건부 분산을 다음과 같이 구한다 를 알고 있다면 혹은 분산은 편차의 제곱의 기대값인데, Y = y라는 정보를 알고 있는 경우에는 이 정보를 이용하여야 할 것이다. 편차 = 편차의 제곱의 기대값에서도 Y = y라는 정보를 이용

이와 비슷하게 X=x로 주어져 있을 때, Y의 분산은 로도 표기한다

조건부 기대와 분산 계산의 예: CRV의 경우 (1)

(2)

조건부 기대와 분산 계산의 예: DRV의 경우 1/3 1/9 3 2/9 2 3/9 1 x y (1) x 1 2 3 f(x|0)

(2) (해 볼 것)

6. 누적확률분포함수 확률(밀도)함수 f(x)가 주어져 있을 때 : F는 non-decreasing function of x

Note (1) DRV의 경우 그리고 (2) CRV의 경우

예 : DRV의 경우 x 1 2 f(x) 1/4 1/2 f(x) 1 2 1/4 3/4 x

예 : CRV의 경우

의 예 : DRV의 경우

의 예 : CRV의 경우

결합누적확률분포함수

7. 종합 독립 ?

예 : DRV의 경우 x y -1 2 1 2/9 3/9 5/9 4/9 독립이 아니다 공분산이 영이 아니다

8. 적률과 적률 모함수 (moment & moment generating function;MGF) K차 적률 : Note: and Moment Generating Function

따라서 적률모함수를 구할 수 있다면 k차 적률을 . . . . . . . . . . . 따라서 적률모함수를 구할 수 있다면 k차 적률을 쉽게 구할 수 있게 된다

적률모함수의 예

적률모함수의 예 : 이항분포의 적률모함수 이용