제 6 장 확률변수들의 함수
표본(샘플)에 포함된 정보에 의거 모집단에 대한 추론을 하는 것 • 통계학을 배우는 목적 표본(샘플)에 포함된 정보에 의거 모집단에 대한 추론을 하는 것 • 무엇으로 추론을 하는가? 표본으로 부터 얻은 n개의 관측값들의 함수, 즉 확률변수 들의 함수로 추론을 한다. ⇒ 함수의 분포를 알아야 추론이 가능 <예> 표본자료 표본자료의 함수 추정오차 - i -
표본추출 전 (확률변수) 표본추출 후 (수치) 표본을 얻을 때마다 수치들은 변한다. - ii -
확률변수들의 함수의 분포를 구하는 방법 • 분포함수 방법 : § 6.1 • 변수변환 방법 이산형의 경우 : § 6.2 • 분포함수 방법 : § 6.1 • 변수변환 방법 이산형의 경우 : § 6.2 연속형의 경우 : § 6.3 • 적률생성함수 방법 : § 6.4 - iii -
§6.1 분포함수 방법 <예> <예제 6.1> 동전 2번 던지기에서 X=앞면과 뒷면이 나올 횟수의 차 X 의 함수 Y=3X-2 도 확률변수인가? - 1 -
- 2 -
① ② ③ <예제 6.2> (a) Y= 2 X+1 의 분포 - 3 -
- 4 -
<예제 6.3> (a) Y= 2 X+1 의 분포 - 5 -
- 6 -
<예제> - 7 -
이산형 연속형 <예제 6.4> - 8 -
(a) U = X + Y 의 분포 (b) V = X – Y 의 분포 - 9 -
<예제 6.5> (a) U = X + Y 의 분포 - 10 -
· 그림에서와 같이 1 x + y = u ( ) (u<0) - 11 -
y 1 u x + y = u A x u 1 y 1 B A x 1 - 12 -
(b) V = X - Y 의 분포 - 13 -
y 1 · 그림에서와 같이 x 1 y 1 A -v x 1 - 14 -
y 1 A B x v 1 - 15 -
분포함수 방법의 요약 - 16 -
• 특정분포함수 F 를 갖는 모집단으로부터의 모의실험(simulation) 자료는 어떻게 얻는가? · <정리 4.2> 에서 “ Y ~ U(0,1) 이고, 관심있는 분포함수가 F 일 때 X=F-1(Y ) 의 분포함수는 F ” - 17 -
· 그런데 확률(밀도)함수는 분포함수로부터 구한다. · 그런데 확률(밀도)함수는 분포함수로부터 구한다. · 그러나 분포함수 방법으로 분포함수를 구하는 것은 번거롭다. ⇒ 변수변환 방법 § 6.2 ~ § 6.3 적률생성함수 방법 § 6.4 - 18 -
§ 6.2 이산형 확률변수들의 변수변환방법 <예제 3.5>, <예제 5.2> : 이산형의 경우 분포함수 표현이 복잡, 쓰기 불편 분포함수 잘 안 쓴다 (1) 1변량 확률변수의 변수변환 - 19 -
<예제 6.6> <예제 6.2> (a) (b) - 20 -
(a)의 경우에는 RX 와 RY 의 점들이 모두 1:1 대응 <예제 6.7> - 21 -
* <예제 6.7>의 <예제 6.6> (b)의 (2) 2변량 확률변수의 변수변환 - 22 -
(i) 1:1 변환일 경우 <예제 6.8> - 23 -
(ii) 1:1 변환이 아닐 경우 <예제 6.9> -2 1 2 -1 1 1/6 1/6 1/12 y -2 1 2 -1 1 1/6 1/6 1/12 1/12 1/12 0 x - 24 -
U=X과 V=Y2 의 결합확률함수? (u,v) 역변환 (x,y)들 (0,1) (0,4) (1,1) (1,4) (0,-2) (0,2) (-1,1) (1,1) (-1, -2) (-1,2) (1, -2) (1,2) - 25 -
(4) 실제 응용에서는 변환하여 얻은 새로운 다변량 확률변수의 결합분포 보다는 그 중 한 변수의 분포가 주로 관심의 대상 (3) n 변량 확률변수의 변수변환 2변량 확률변수의 변환과 비슷한 방법을 적용 <예제 6.10> (4) 실제 응용에서는 변환하여 얻은 새로운 다변량 확률변수의 결합분포 보다는 그 중 한 변수의 분포가 주로 관심의 대상 - 26 -
<예제 6.11> U의 주변확률함수 : - 27 -
<정리 5.2>에 의해 U 와 V 는 서로 독립 (5) <정리 5.2>에 의해 U 와 V 는 서로 독립 <예제 6.12> - 28 -
v 2 pu(u) 1/4 1/2 1 pV(v) u U 와 V 는 서로 독립 - 29 -
§ 6.3 연속형 확률변수들의 변수변환방법 § 6.3.1 1변량 확률변수 : (1) y y = h(x) x = h-1(y) § 6.3.1 1변량 확률변수 : (1) y y = h(x) x = h-1(y) - 30 -
<연습문제 #1> (a) - 31 -
y = h(x) x = h-1(y) y <연습문제 #2> (b) - 32 -
i)과 ii)를 합하면 <정리 6.1> - 33 -
㈜ 확률변수의 변수변환은 정적분에서 변수변환과 같은 것 <예> ① 그런데 ② ①과 ②를 비교하면, - 34 -
<예제 6.13> (2) - 35 -
y = h(x) y x1 = h1-1(y) x2 = h2-1(y) x0 <예> - 36 -
<예제 6.14> - 37 -
(3) 1변량 변수변환 방법으로 2변량 확률변수 (X,Y)의 함수 <예제 6.15> - 38 -
XY : 화학약품 전체 중 type 1 불순물의 비율 <예제> X : 화학약품 중 불순물의 비율 Y : 불순물 중 type 1 불순물의 비율 XY : 화학약품 전체 중 type 1 불순물의 비율 - 39 -
- 40 -
(a) (U,V)의 결합 pdf에 관심이 있을 경우 § 6.3.2* 다변량 확률변수 (1) 2변량 확률변수의 1:1 변환 : (a) (U,V)의 결합 pdf에 관심이 있을 경우 1. 변환 2. 역변환 3. ............ 4. ① - 41 -
2중적분에서의 변수변환법 적용하면 ............ ② ①과 ②를 비교하면 여기서 쟈코비안(Jacobian) J 는 - 42 -
<예제> 예: <예제 5.21> 에서 - 43 -
<예제> - 44 -
N(0,2)의 pdf N(0,2)의 pdf <예제 6.17> - 45 -
앞의 <예제>와 비슷한 방법으로 y u-v=0 (y=0) u+v=2 (x=1) u+v=0 (x=0) u-v=2 (y=1) u v 1 2 1 x = 0 x = 1 1 x - 46 -
(b) U=h(X,Y) 의 분포에만 관심이 있을 경우 <예제 > - 47 -
- 48 -
여기서 - 49 -
(2) 다변량 확률변수의 1:1 변환 2변량 함수의 2중 적분에서의 변수변환 방법을 <정리 6.2> n 변량의 경우로 단순히 확장한 것 <정리 6.2> <예제 6.18> 결합 pdf 의 역변환 - 50 -
- 51 -
미사일 목표지점 (0,0) 과 낙하지점 (X,Y) 간의 거리 (3) 1:1 변환이 아닐 경우 <예제 6.19> 미사일 목표지점 (0,0) 과 낙하지점 (X,Y) 간의 거리 - 52 -
① ② 여기서 는 - 53 -
<정리 6.3> - 54 -
(증) (i) (ii) ~ (iv) (연습문제 #20) <예제 6.20> - 55 -
중지수분포 (double exponential distribution) ① ② 중지수분포 (double exponential distribution) - 56 -
코시분포 (Cauchy distribution) <예제 6.21> 코시분포 (Cauchy distribution) - 57 -
§ 6.4 선형결합과 적률생성함수 § 6.4.1 선형결합의 기대값과 분산 (1) - 58 -
<예제 6.22> (a) (b) - 59 -
(2) - 60 -
(BLUE) - 61 -
(3) 선형결합의 공분산 (연습문제 #4) <예제 6.24> - 62 -
<예제 6.25> - 63 -
§ 6.4.2 적률생성함수 방법 (1) 적률생성함수(mgf) 방법 - 64 -
<예제> 식 (4.44) - 65 -
서로 독립인 확률변수들의 선형결합인 확률변수의 분포를 구하기가 변수변환법보다 수월하다. (2) 서로 독립인 확률변수들의 선형결합인 확률변수의 분포를 구하기가 변수변환법보다 수월하다. - 66 -
<예제 6.26> <예제 6.11> <예제> <예제 6.26> <예제 6.11> - 67 -
간격 (0,t] 동안에 서비스 카운터에 도착하는 손님수 N <예제> 간격 (0,t] 동안에 서비스 카운터에 도착하는 손님수 N 번째 손님과 i 번째 손님의 도착시간 사이의 간격 inter-arrival times - 68 -
식 (4.65) <예제 6.27> 식 (4.44) - 69 -
(3) 재생성 (reproductive property) - 70 -
<정리 6.4> (연습문제 #12) (증) 식 (4.11) - 71 -
식 (4.27) 식 (4.19) - 72 -
식 (4.65) (v) <예제 6.27> - 73 -