교류 등가회로 모델링 AC Equivalent Circuit Modeling
목차 1.1 모델링이란 1.2 기본 교류 모델링 방법 1.3 Flyback 컨버터의 모델링 1.4 상태공간 평균 모델링 1.5 회로 평균 및 SPDT 스위치 평균 모델 1.6 PWM 모델링
1.1 Modeling이란? 물리적인 동작을 수학 도구에 의해 표현 중요하지 않은 현상은 무시하고 중요한 부분만 모델 간단한 모델만이 물리적인 관찰을 가능케 한다. 작고 복잡한 현상을 무시하여 근사화 한다. 기본적인 특성이 파악되면 무시되었던 현상에 대한 모델을 포함할 수 있다.
스위칭 맥동 무시하기 가 정 시비율: 변조 주파수 m 이 스위칭 주파수 s =2f s 보다 매우 작다
출력전압의 스펙트럼(정현파 시비율) 3종류의 주파수 발생 변조 주파수 및 고조파 스위칭 주파수 및 고조파 스위칭 주파수의 sidebands 스위칭 맥동이 작으면 스위칭 고조파 및 sideband는 작다. 따라서, 변조 주파수 및 그 고조파만 고려해도 됨
평균 등가회로 모델링의 목적 시비율이 저주파수로 변할 때 컨버터의 출력 전압과 전류가 어떻게 변하는가를 예측하기 위함. 고주파수의 스위칭 맥동을 무시함 복잡한 스위칭 고조파와 sideband 고조파를 무시함 방법 한 스위칭 주기에서 모든 파형을 평균하여 스위칭 고조파를 제거함
평균자(Averaging operator)-정의 성질 x(t)의 최대 주파수 성분이 보다 작을 때 성립
평균자(Averaging operator)-성질 스위칭 맥동이 제거된다
평균자(Averaging operator)-미분 양 변을 적분 한편,
소신호 모델(small signal model)의 목적 일반적으로 평균이 된 전압과 전류는 컨버터 시비율의 비선형 함수로 주어진다. 따라서 위 식은 비선형 미분방정식이 된다. 해석이 어렵다 한 동작점에서 비선형 방정식을 선형방정식으로 변환 소신호 모델(small signal model)
소신호 모델 동작 D=0.5에서 선형화
예제: Buck Converter-대신호 평균모델 평균화 Nonlinear, time-varying system Nonlinear, time-invariant system Large-signal(대신호모델)
예제: Buck Converter- 소신호 평균모델 평균 변수를 직류 성분과 소신호 교류성분으로 표시 이 식을 대신호 평균 모델에 대입하여 2차 이상은 무시하면 선형 항만 존재 예: 정상상태 (DC)모델 소신호 동적 (AC)모델
예제: Buck Converter-소신호 평균모델 Linear, time-invariant system Small-signal(소신호모델) Input - 시비율 변동: 입력 전압 변동 : 부하 변동: Output 출력전압 변동:
AC Equivalent Modeling 방법 State-space averaging model 제어이론 이용 Circuit averaging model Average switch modeling
1.2 기본 AC 모델링 방법 예) Buck-boost converter 대신호 평균모델 소신호 평균모델
벅-부스트 컨버터의 대신호 모델링(1) <Switch in 1> 미소맥동 근사화: 고조파성분 무시
벅-부스트 컨버터의 대신호 모델링(2) <Switch in 2> 미소맥동 근사화: 고조파성분 무시
인덕터 파형 평균 Averaging inductor waveforms 시간에 따라 변하는 저주파 성분만을 표현한다.
평균화의 특징 스위칭 맥동은 무시됨. 한 스위칭 주기동안의 변화량을 표시 정상상태에서는 0 과도상태에서는 값이 존재 한 스위칭 기간 내의 변화 상태에는 관계 없다.
커패시터 파형의 평균 Averaging capacitor waveforms 시간에 따라 변하는 저주파 성분만을 표현한다.
입력 전류의 평균 Averaging input current
대신호 평균 모델 Converter average equation d(t)와 상태변수가 곱해져 있으므로 비선형 방정식 한 동작점 (정상상태 지점)에서 선형화 필요 - 변동과 선형화(perturbation & linearization)
소신호 모델링 절차 1단계 2단계 3단계 정상상태의 한 동작점( 또는 직류 값)을 선택 각 변수에 변동(또는 교류 값)을 준다 변동의 크기가 동작점의 크기보다 매우 작다고 가정 3단계 2단계의 식을 대신호 평균모델의 식에 대입 직류항만을 모아 정상상태 모델을 유도 1차 항(변동이 하나만 곱해진 항)만을 모아 소신호 교류모델(선형 방정식)을 유도 또는 Taylor 급수 이용 선형 시불변 미분 방정식이 얻어진다.
변동을 준 인덕터 전류 방정식 인덕터 전류 평균모델: 변동을 준 방정식 직류 항은 직류 항끼리 방정식 성립 직류 항은 상수이므로 미분은 0 정상상태 값을 유도 2차항은 작은 값끼리 곱했으므로 더욱 작아져 무시함 1차항만을 모아 선형 미분방정식을 만든다. 소신호 모델
인덕터의 대신호 및 소신호 모델 대신호 평균모델: 소신호 모델
Perturbed capacitor equation
커패시터의 대신호 및 소신호 모델 대신호 평균모델: 소신호 모델
Perturbed input current
입력 전류의 대신호 및 소신호 모델 대신호 평균모델: 소신호 모델
벅-부스트 컨버터 모델: 방정식 대신호 평균모델 소신호 모델
벅-부스트 컨버터 모델: 회로
Taylor series를 이용한 소신호 모델 유도 평균 인덕터 방정식 에서 Taylor series로 전개
Taylor series를 이용한 소신호 모델 유도 직류 동작점 1차 선형 항 소신호 모델
다른 컨버터 모델
1.3 Flyback 컨버터의 모델링
Flyback 컨버터의 동작
세부구간 1
세부구간 2
인덕터 파형
커패시터 파형
입력 전류 파형
Flyback 컨버터의 평균 모델
Flyback 컨버터의 직류 및 교류 소신호 모델
Flyback 컨버터의 교류 소신호 모델회로
1.4 상태공간 평균(State-Space Averaging) State-space form K는 inductance, capacitance, mutual inductance, inertia 등을 포함한다.
State-Space Averaging
State-Space Averaging 회로 방정식
State-Space Averaging-예
State-Space Averaging-예
기본 평균 상태방정식 유도
기본 평균 상태방정식 유도
기본 평균 상태방정식 유도
기본 평균 상태방정식 유도
예: 비이상적인 벅-부스트 컨버터의 상태공간 모델링
세부구간 1
세부구간 2
상태 방정식의 행렬 계산
직류 상태 값
소신호 교류 상태방정식
1.5 회로 평균 및 SPDT 스위치 평균 모델
스위치 네트워크와 선형회로를 분리하여 평균 모델링
SPDT 스위치의 평균모델링 ≡ 외부 조건에 의해 주어지는 변수(독립 변수) Throw voltage (capacitor voltage) Pole current (inductor current) Control (duty ratio)
SPDT 스위치 네트워크의 4단자 평균 모델링 or 앞의 식을 4단자 변수로 나타내면 독립 변수를 선택하는 방법에 따라 옆의 그림과 같은 등가회로를 얻는다
스위치 네트워크의 변형-벅 형 + 능동소자- 종속전압원, 수동 소자- 종속 전류원으로 모델링: 교과서 참조 능동소자- 종속전류원, 수동 소자- 종속 전압원으로 모델링 평균 모델 + 소신호 모델
스위치 네트워크의 변형-부스트 형 + 능동소자- 종속전류원, 수동 소자- 종속 전압원으로 모델링 부스트 컨버터의 평균 모델 부스트 컨버터의 소신호 모델
예: 부스트 컨버터 소신호 모델 및 제어-출력 전달함수 정상상태 해 L 단락, C 개방
1.6 PWM 모델링
PWM 변조기 주) d(t)는 vc(t)의 선형함수이다.
PWM 변조기의 소신호 모델링
PWM 소신호 모델의 제약조건
예