8. 보 부재의 응력 8.1 휨모멘트에 의한 응력도 휨모멘트(Bending Moment)를 받는 캔틸레버 보의 휨거동과 휨변형(곡률)

휨이론(bending theory): Bernoulli-Euler의 가정 재축에 직각인 단면은 휨에 의하여 변형한 후에도 재축에 직각인 평면을 유지한다.

중립축(neutral axis) :단면내에서 변형이 없는 면을 이루는 축 ρ :중립면의 곡률 반경 y :중립축에서 단면의 각충까지의 거리 dA :중립축에서 y만큼 떨어진 거리에서의 층면 ε :중립축에서 y만큼 떨어진 위치에서의 변형도 σ :중립축에서 y만큼 떨어진 위치에서의 응력

휨모멘트에 의한 휨응력도 휨모멘트에 의한 단면의 휨응력을 나타내는 휨공식(flexure formula)은 또한 부재의 곡률은   (EI : 휨강성 Flexural rigidity)       

(예제 8.1.1) 그림과 같은 단순보에 등분포하중이 작용할 때, 중립축으로부터 y=+5cm, -6cm, +8cm, -8cm만큼 떨어진 위치에서의 휨응력도를 구하고, 단면의 상, 하 끝단에서의 최대 인장 및 압축 휨응력도를 구하시오 단면의 크기 b=8cm, h=20cm이다. 등분포하중 q=5kN/m, 스팬 L=6m이다.

(예제 8.1.2) 그림과 같은 내민보에 등분포하중이 작용할 때, 중립축으로부터 +5cm, -5cm 만큼 떨어진 위치에서 휨응력도를 구하고, 단면의 상,하 끝단에서의 최대 인장 및 압축 휨응력도를 구하시오. 단면의 크기 b=10cm, h=18cm이다.

(예제 8.1.3) 그림과 같은 내민보에 등분포하중이 작용할 때, 단면의 상,하 끝단에서의 최대 인장 및 압축 휨응력도를 구하시오. 10cm 4cm 20cm x y

(예제 8.1.4) 그림과 같이 스팬 ℓ =5m인 캔틸레버 보에 등분포하중w=5kN/m이 작용할 때, 단면의 상,하 끝단에서의 최대 인장 및 압축 휨응력도를 구하시오. 2cm 10cm 12cm w ℓ

8.2 전단력에 의한 응력도 부재내에 휨 모멘트 M가 균일하게 작용하지 않을 때는 단면에 전단력 V가 발생된다.     즉, dM/dx=V 따라서 재축에 수직인 면에는 휨응력도 외에 전단응력도가 생긴다.

Shear stresses in a beam of rectangular cross section.

Shear stresses in a beam of rectangular cross section. b:중립축으로 부터 거리 y 만큼 떨어진 거리에 있는 층의 부재폭 I  :단면 2차 모멘트 S1:중립축으로 부터 거리 y 만큼 떨어진 층의 외측에 있는 단면의 중립축에 대한 단면 1차 모멘트 V :단면의 전단력

(a)직사각형 단면

(예제 8.2.1) 그림과 같은 단순보에 등분포하중이 작용할 때, 최대 전단력이 작용하는 단면의 중립축으로부터 y=1, 3cm만큼 떨어진 위치에서 전단응력도를 구하고, 단면 중앙부에서의 최대 전단응력도를 구하시오. 단, 단면의 크기 b=8cm, h=16cm이고, 등분포하중 q=3kN/m, 스팬 L=4m이다.

(예제 8.2.2) 그림과 같은 내민보에 등분포하중이 작용할 때, 최대전단력이 생기는 단면의 중립축으로부터 1, 2, 4, 5cm 만큼 떨어진 위치에서 전단응력도를 구하고, 단면 중심에서의 최대 전단응력도를 구하시오. 단면의 크기 b=10cm, h=16cm이다.

( b) I형 단면 Web에서의 전단응력도 Flange에서의 전단응력도

(예제 8.2.3) 그림과 같이 스팬 ℓ =5m인 캔틸레버 보에 등분포하중w=5kN/m이 작용할 때, 최대 전단력이 생기는 단부 단면의 다음 각 위치에서의 전단응력도를 계산하시오. (1)flange의 상, 하 끝단에서의 전단응력도를 계산하시오. (2)Web와 flange가 만나는 접합부에서의 전단응력도를 계산하시오. (3)Web의 중앙부(도심)에서 상,하 1cm, 5cm, 10cm, 15cm에서의 전단응력도를 계산하시오. (4)flange 중앙부에서의 최대 전단응력도를 계산하시오, 20cm 2cm 40cm w ℓ

(c) T형 단면

(예제 8. 2. 4) 그림과 같은 내민보에 등분포하중이 작용할 때, 최대 전단력이 작용하는 단면에서 다음 값을 구하시오 (예제 8.2.4) 그림과 같은 내민보에 등분포하중이 작용할 때, 최대 전단력이 작용하는 단면에서 다음 값을 구하시오. (1)T형 단면의 밑변에서부터 y=1, 5, 10, 15, 20, 22cm되는 위치에서의 전단응력도를 계산하고, 전단응력도 분포를 그림으로 표시하시오. (2)최대 전단응력도를 계산하고 그 위치를 나타내시오. 10cm 4cm 20cm x y

(예제 8.2.5) 그림과 같이 스팬 ℓ =4m인 캔틸레버 보에 등분포하중w=8kN/m이 작용할 때, 최대 전단력이 생기는 단부 단면의 다음 각 위치에서의 전단응력도를 계산하시오. (1) flange 중앙부에서의 전단응력도를 계산하시오. (2)Web와 flange가 만나는 접합부에서의 전단응력도를 계산하시오. (3)단면의 중심(도심)에서의 전단응력도를 구하시오. 2cm 10cm 12cm w ℓ

8.3 보 부재의 주응력도 Fig. 8-13 Stresses in a beam of rectangular cross section: simple beam with points A, B, C, D, and E on the side of the beam; (b) normal and shear stresses acting on stress elements at points A, B, C, D, and E; (c) principal stress; and (d) maximum shear stresses.

보에서의 주응력선도 Fig. 8-14 Principal-stress trajectories for beams of rectangular cross section: (a) cantilever beam, and (b) simple beam. (Solid lines represent tensile principal stresses and dashed lines represent compressive principal stresses.)

H형강 보에서의 주응력 Fig. 8-16 Stresses in a wide-flange beam.

8.4 비틀림 모멘트에 의한 응력도 비틀림모멘트에 의한 변형 형상

비틀림 파괴 예 Fig. 3-24 Torsion failure of a brittle material by tension cracking along a 45° helical surface. Fig. 3-3 Deformations of a circular bar in pure torsion.

비틀림 변형도

비틀림 변형도(전단변형도)와 응력도 관계 Fig. 3-4 Deformation of an element of length dx cut from a bar in torsion. (b)반지름 r에서의 전단변형도 (c)중심에서 거리ρ에서의 전단변형도

비틀림 변형도(전단변형도)와 응력도 관계

(예제 8.4.1) 지름d=16cm, 길이L=3m인 봉 부재가 비틀림 모멘트 MT=80kN-m를 받을 때, 최대전단응력과 비틀림 변형율θ 은 얼마인가? 단 전단탄성계수 G=75GPa이다. ©2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under license.

(예제 8.4.2) 지름d=10cm, 길이L=5m인 봉 부재가 비틀림 모멘트 MT=100kN-m를 받을 때, 최대전단응력τ과 비틀림각θ, 그리고 고정단에 대한 자유단의 회전각ф 은 얼마인가? 단 전단탄성계수 G=75GPa이다. L d

(i)원통형 단면 τ

(iii)Box형 단면 τ

8.5 조합하중에 의한 응력도 8.5.1 2축 방향 휨모멘트의 예

8.5.1 2축 방향 휨모멘트의 예

8.5 조합하중에 의한 응력도 8.5.1 2축 방향 휨모멘트 My Mx B D B D My Mx a b c d n β x y

(예제 8.5.1) 직사각형 단면(BxD=40x50cm)을 갖는 기둥 부재에 2축 방향의 휨모멘트 Mx=80kN-m와 My=100kN-m가 작용할 때, 중립축의 방향 β과 각 모서리 a, b, c, d에서의 수직 응력도의 크기를 계산하시오. B D My Mx a b c d

8.5.2 축력과 휨모멘트 P ex

(예제 8.5.2) 직사각형 단면(BxD=40x60cm)을 갖는 기둥 부재에 압축력 P=100kN이 편심거리 ey=20cm 에 작용할 때, 각 모서리 a, b, c, d에서의 응력도의 크기를 계산하시오. P ey y x B D ey a b c d P y x

(예제 8.5.3) 그림과 같이 T형 단면을 갖는 캔틸레버 보가 경사하중 P=50kN을 받을 때, 고정단 단면의 a, b, c, d에서의 수직응력도의 크기를 계산하시오. 10cm 4cm 20cm x y a b c d P=50kN ℓ=4m Θ=30

(예제 8.5.4) 그림과 같은 기둥에 수직하중P=20kN이 작용할 때, 고정단의 단면에 생기는 최대 및 최소 수직 응력도를 구하시오. 기둥의 단면은 bxh=10x20cm 이다.