5장,11장(Viscous Flow and Pipe Flow) 유체역학 Final Exam (2008) 5장,11장(Viscous Flow and Pipe Flow) 환경공학과 20051481 윤지훈

5.1 Derive the equation of the velocity profile in the pipe for the case of laminar and turbulent flow using the contents of Brebbia textbook. 마찰력(전단력) = 압력에 의한 힘 = 수두손실(압력손 실) 위의 식을 정리하면 다음과 같다. or <관로 내부에서의 유속, 압력, 전단응력>

<관류의 전단응력 및 유속 분포> 뉴턴의 제1점성법칙은 다음과 같다. 위의 식을 에 대입하면 다음과 같다. 위의 유속에 대한 식을 관의 내경에 대하여 적분하면 다음과 같다. 위의 식의 적분상수 C는 다음과 같이 구할 수 있다. at r=R

최대유속은 r=0인 점에서 발생하며, 다음과 같다. 평균유속은 다음과 같이 유속의 유한단면적을 곱한 다음 전체를 적분하여 전체 단면적으로 나누어준다. 다음과 같이 평균유속은 최대유속의 1/2이다. 층류의 경우에는 난류인 경우에는 실험 결과로부터

5. 2 Derive the equations of the head loss for the problem 5 5.2 Derive the equations of the head loss for the problem 5.1 such as Darcy-Weisbach equation. Darcy-Weisbach 공식 관류유동에 있어서 난류인 경우의 수두손실은 DarcyWeisbach식으로 다음과 같다. 여기서, 는 마찰상수이다. 개수로 유동에서의 Darcy-Weisbach식은 다음과 같 다 관의 형상에 따른 국부 수두손실은 다음의 식으로 평 가된다. 압력과 마찰력의 평형 관계로부터 다음의 식을 구성 할 수 있다. 마찰력(전단력) = 압력에 의한 힘 = 수두손실(압력손 실)

위의 식을 정리하면 다음과 같다. or , 난류에 대한 실험에 의하면 마찰력은 다음과 같다. 층류에 대한 뉴턴의 제1점성법칙은 다음과 같다. 따라서, 수두손실은 다음과 같다.

5.3 Derive the equations of the velocity from the head loss equation for the problem 5.2 such as Manning's, Chezy's, and Hagen-William's formula. 1) Manning 공식 for turbulent regions of rough pipes, or for canals. R = 동수반경 = 윤변/단면적 = perimeter/area n = 조도계수 = roughness coefficient  R: hydraulic radius ( for a circular pipe) 2) Hazen-Williams 공식 천이영역에 대해서는 다음과 같이 Hazen-Williams 공식을 적용한다.

, , →

5.4 Explain the concept of Reynold's number and hydraulic radius. 영국의 유체역학자 O.레이놀즈가 발견한 것으로 움 직이는 유체 내에 물체를 놓거나 유체가 관속을 흐를 때 난류와 층류의 경계가 되는 값을 말한다. 물체가 정지유체 속을 진행하는 경우 그 물체의 길이 또는 관지름을 L, 진행속도 또는 평균속도를 U,ρ을 유체 의 밀도라 할 때 R=ρUL/μ이며 R이 레이놀즈 수이 다. 2)동수반경 흐르는 물의 단면을, 물길 옆으로 스며든 물의 길이 로 나눈 값. 동수반경 = 단면적 / 윤변

5.5 Explain the computational algorithm of the pipe network using the concept as shown in the section of 4.3-4.5 in the Brebbia's textbook. 상수관망내의 모든 요소와 절점이 정의되면, 각 요소 에 대하여 수두손실과 유량과의 관계를 정의하여야 한다. 다음의 I 요소에 대한 관경 D, 조도계수 C, 길 이 L을 나타내었다. 각 요소별 절점의 연결도와 유량의 정의 여기서, k, j는 절점번호, i는 요소번호를 나타낸다. i 요소로 연결되는 각 절점 k, j의 수두차이는 요소내 유량은 수두손실로부터 유량을 평가하기 위하여 층류에 대 한 Poiseuille의 공식을 사용하면 다음과 같다(마찰 력과 압력).

, 여기서, 계수는 유체와 요소 의 특성에 따라 결정 된다. 위의 식은 선형방정식으로 간단하지만 정확하 지는 않다. 천이영역 및 난류에 대해 Hazen-Williams 공식을 사용하면 다음과 같다 (비선형 문제). , : 비선형 위의 식의 계수는 에 따라 결정되므로 비선형식 이다 . 요소행렬식(각 관의 절점별 유량과 수두와의 관계) 절점의 유량은 다음의 식과 같이 자기중심적으로 평 가된다.

확산, 지하수 유동의 개념도 마찬가지이다. 위의 식을 수두차이로 표시하기 위하여, 절점별 유량 은 다음과 같이 절점에서 요소로 유입되는 경우에는 “+”, 요소에서 절점으로 유출되는 경우에는 “-” 부호 를 가진다(요소 중심적인 관점). 위의 식을 수두차이 에 대한식으로 정리하면 다음과 같다. 행렬과 벸터로 표시하면 다음과 같다.

여기서, 는 요소내 절점별 유속 벸터, 는 요소별 특성 행렬, 는 요소별 절점 수두 벸터이다. 전체 시스템 방정식    관망 해석은 전체 절점에 대한 유량 및 수두를 계 산하는 것이 주 알고리즘이다. 따라서, 전체 절점에 대하여 각 요소별 행렬식을 합해 주어야 한다. 이때, 각 절점별로 연속방정식 즉, 유량의 물질수지가 유지 되어야 한다. 따라서, 관망해석은 각 관로(요소)별로 에너지손실과 흐름을 해석하고(왜냐하면 관로 내부 에서는 실제 흐름에 의해 마찰이 발생하고, 이러한 마찰과 흐름의 관계를 평형 상태에 도달했다고 가정), 전체 절점에 대한 물질수지를 고려하는 것(여러 관로 에서 유입되는 유량이 평형상태에 도달함)이라 할 수 있다. 이러한 관로의 유동 해석은 상수, 하수, 기타 가스유동도 마찬가지이다. 각 절점의 물질수질를 고 려한 각 절점별 연속방정식은 다음과 같다. 여기서, 는 j 절점에서의 소비나 공급유량이다.

5.6 Determine the discharge through the system as shown below by using the concept of the equivalent pipe where, =0.5, =300m, =600mm, = 2mm, =240 m, =1m, =0.3mm, , and H=6m. 에너지방정식으로부터 정리하면 = 0.0033 , = 0.0003의 값과 그림 5.21로부터 f 의 값을 완전난류 범위에 대해서 가정하면, 이 값들로 을 구함으로써 = 2.848 m/s, = 1.025 m/s

그림에서 = 0.0265, = 0.0168, = 에 대해 다시 풀면 =2.819m/s 그리고

5.7 Determine flow through each pipe and the pressure at B as shown below for a total flow of 12 cfs. Where, =3000ft, =1ft, =0.00 ft; =2000ft, =8in, =0.0001ft; =4000ft, =16in, =0.0008ft; =2.00 slugs/, =0.00003/s, =8psi, =100ft, =80ft. = 3cfs라고 가정한다. 그러면 = 3.82, =3.82(1/0.00003) = 127,000, = 0.001, = 0.022이고 다음과 같다. 파이프 2에 대해서는

그리고 = 0.00015이다. 파이프 3에 대해서는, 가정된 조건에 대한 총 유량은 여기서 평균 수두손실이 사용되었으므로 다음과 같 이 된다.

5.8 Find the discharges for water at 20°C with the following pipe data and reservoir elevations as shown below. Where, , , , , , , , , , , ,이라고 가정하면 이므로 유입이 유출보다 다음 양만큼 더 크다.

라고 가정하면 유입이 아직도 0.029m3/s만큼 크다. 선형적으로 외 삽 함으로써 가 된다.

5.9 Explain the algorithm of the Hardy Cross Method for the pipe network analysis.  국부손실은 각 파이프의 등가길이로서 포함된다. 지 수방정식은 보통 의 형태로 사용되며, 여기서 r은 식 이다. r의 값은 각각 관로에서 일정한 값이 며 (Darcy-Weisbach의 식이 사용되지 않는 한), 루 프-균형(loop-balancing) 과정에 앞서서 결정된다. 보정함은 아래와 같이 얻어진다.

임의 파이프에 대해 초기유량 가 가정될 때, 이다. 여기서 Q는 보정된 유량이고 는 는 보정 량이다. 이때 각각의 파이프에 대해 만일, 가 Q에 비해 작다면 두 번째 항 이외의 모 든 항은 무시될 수 있다. 지금 하나의 회로에 대해 이다. 는 회로내의 모든 파이프에서 동일하기 때 문에 ∑로부터 밖으로 나왔고, 절대값 기호는 회로에 따른 합의 방 향을 고려하기 위해 부가되었다. 마지막 식을 풀면 관망중의 각 회로에 대한 를 구할 수 있다. 를 식 (11.7.1)에 따라 회로내의 각 파이프에 적용 할 때 방향이 매우 중요하다.

5.10 The distribution of flow through the network as shown below is desired for the inflows and outflows as given. For simplicity n has been given the value 2.0. Implement the Hardy Cross Method for this problem. 그림에는 가정된 유동분포가 표시되어 있다. 위쪽 좌 측에는 아래쪽의 1번회로에 대한 의 항이 계 산되어 있다. 그 옆에는 같은 회로에 대한 를 계산한 것이다. 그림의 우측 위편에는 제2회로에 대 한 것이 같은 형식으로 나타나 있다. 첫 번 단계에서 보정된 유량은 맨 위쪽 수평 관에서 15 + 11.06 = 26.06이 결정되고, 대각선 파이프는 35 +  (-21.17) + (-11.06) = 2.77이다.

5.11 The program in Fig. 11.18 in the text book is used to solve the network problem displayed as below. The pump data are as follows  Implement the pipe network modeling for this problem by using the suggested program of Hardy Cross Method. 그림 5.1과 같이 압력수두의 높이가 여러 곳에서 고 정되어 있는 시스템의 경우는 수조에서의 미지의 유 입량과 유출량을 고려하기 위해, 그리고 균형을 이를 때까지 연속식을 만족시키기 위해 가요소(pseudo elements)를 도입한다.        0          0.03        0.06             0.09           30          29         26               20

이의 요소에 의해 각 쌍의 고정압력수준 사이를 연결 하면 가상적인 또는 인위적인 회로가 형성된다 이의 요소에 의해 각 쌍의 고정압력수준 사이를 연결 하면 가상적인 또는 인위적인 회로가 형성된다. 이의 요소들은 유동을 수반하지는 않지만, 수조들의 높이 차와 같은 크기만큼의 수력구매선의수준을 강하시 킨다. 만일의 요소에서 수두강하가 가정된 양의 방향 으로 양의 값을 갖는다면 루프 3의 보정량은 다음과 같다. 이 보정량은 단지 파이프 1과 4에만 적용된다. 만일 실제 관로가 가상루프 내에 추가로 존재한다면, 각각 은 루프균형의 반복에 따라서 적절하게 조절될 것이 다.  시스템내의 펌프는 그것을 통과하는 유량에 대응하 는 펌프의 수두상승과 같은 크기의 음의 수두손실을 나타내는 유동요소로서 취급된다. 그림 5.1에서 요 소 8의 펌프 양정-유량 곡선은 3차방정식으로 표시 될 수 있다. 이때 는 점프의 차단양정이다. 루프 4의 보정량은

 보정량은 루프 중의 파이프 5와 펌프 8에 적용된 다.  펌프를 가진 관망을 만족스럽게 균형 시키기 위 해서는, 양정-유량곡선의 기울기가 0보다 작거나 같 아야만 한다. 모든 파이프에 대해 Hazen-Williams의 관로계수가 100이다.