Engineering Mechanics: Statics Chapter 2: Force Vectors Engineering Mechanics: Statics

Objectives 평행사변형 법칙을 사용하여 힘들을 더하거나 성분들로 분해하는 방법을 보임. 힘과 위치를 직교벡터(Cartesian vector) 형태로 표시하고 벡터의 크기와 방향을 결정하는 방법을 설명함. 두 벡터 사이의 각도나 한 벡터의 다른 벡터로의 투영을 결정하기 위한 내적(dot product)을 소개함.

2장의 개요 스칼라 및 벡터 벡터 연산 힘의 벡터 합 동일평면에 작용하는 힘들의 합 직교벡터

2장의 개요 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 위치 벡터 선을 따라 작용하는 힘 벡터 내적

2.1 스칼라와 벡터 스칼라 Scalar – 양수 또는 음수에 의해 규정되는 양 – A와 같이 이탤릭체로 표시한다. 예: 질량, 부피 및 길이

2.1 스칼라와 벡터 벡터 – 크기와 방향을 가지는 양 예: 위치, 힘 및 모멘트 – 표시방법: 또는 A – 본 강의에서는 벡터를 A , 크기(양수)를 A로 표시

2.1 스칼라와 벡터 벡터 – 도식적으로 화살표로 표시 – 화살표의 길이= 벡터의 크기 – 기준축과 화살표의 작용선사이의 각도 = 벡터의 방향 – 화살표의 머리 = 벡터의 센스

2.1 스칼라와 벡터 예 벡터의 크기= 단위(유닛) 벡터의 방향= 수평 축에서 반시계 방향으로 측정하여 20° 벡터의 센스(작용방향)=오른쪽 위 O점은벡터의 꼬리(tail ), P점은 머리(tip or head)라 부름

2.2 벡터 연산 스칼라에 의한 벡터의 곱셈과 나눗셈 - 벡터 A 와 스칼라 a = aA - 크기 =

2.2 벡터연산 스칼라에 의한 벡터의 곱셈과 나눗셈 - (-1 ) 벡터의 음(negative)은 벡터에 (-1)을 곱하면 됨. - 나눗셈은 곱셈의 법칙으로부터 정의됨 예: A/a = (1/a ) A, a≠0

2.2 벡터연산 벡터의 합 - 두 벡터 A 와 B 의 합은 편행사변형 법칙(parallelogram law)에 의해 합벡터 R 이 된다. - 합벡터 R은 삼각형 작도(triangle construction)로 구해짐. - Communicative (교환법칙) 예: R = A + B = B + A

2.2 벡터연산 벡터 덧셈

2.2 벡터연산 벡터 덧셈 - 특별한 경우: 벡터A 와 B가 동일직선상에 있는경우 (모두 동일한 작용선을 갖고 있다) - 대수합 A+B

2.2 벡터연산 벡터 뺄셈 - 덧셈의 특별한 경우 예: R’ = A – B = A + ( - B ) - 벡터의 덧셈 규칙이 적용됨

2.2 벡터연산 벡터의 분해(resolution) - 어느 벡터든지 평행사변형법칙에 의해서 두 성분으로 분해할수 있다. - 두 성분A 와 B는 R의 꼬리로부터 교차점까지 연장되도록 그린다.

2.3 힘의 벡터 합 둘 이상의 힘을 합할 때, 연속적으로 평행사변형법칙을 적용하여 합력을 구한다. 구한다. 예: O 에 작용하는 힘들 F1, F2와 F3 - 먼저, F1 + F2 의 합력을 구하고 - 합력, FR = ( F1 + F2 ) + F3를 구한다.

2.3 힘의 벡터 합 예 Fa와 Fb 는 후크에 가해지는 힘이다. 합력, Fc는 평행사변형법칙을 사용하여 구한다. Fa와 Fb 의 머리로부터 a와 b에 평행한 선들을 그어 평행사변형을 그린다. 마찬가지로, 주어진 Fc에 대해, Fa와 Fb를 구할 수 있다.

2.3 힘의 벡터 합 분석 절차 평행사변형 법칙 - 평행사변형법칙를 사용하여 스케치를 그린다. - 합력을 이루도록 두 힘 성분을 더한다. - 합력은 평행사변형의 대각선으로 표시된다. - 힘의 성분은 평행사변형의 변으로 나타난다.

분석절차 2.3 힘의 벡터 합 평행사변형 법칙 힘의 꼬리로부터 두 축 방향의 성분으로 분해하려면 - 힘의 머리에서 시작하여 축에 평행한 선들을 긋는다. - 모든 기지 및 미지의 힘의 크기와 각도들에 라벨을 붙인다. - 두 미지의 성분을 찾아낸다.

2.3 Vector Addition of Forces 분석절차 삼각법 - 평행사변형의 반쪽부분을 다시 그린다. - 여현법칙(law of cosines)에 의해 합력의 크기가 구해진다. - 합력의 방향은 정현법칙 (law of sines) 으로 구해진다.

2.3 힘의 벡터합 분석절차 삼각법 - 두 성분의 크기는 정현법칙으로부터 결정된다.

2.3 힘의 벡터합 예제 2.1 The screw eye is subjected to two forces F1 and F2. Determine the magnitude and direction of the resultant force.

2.3 힘의 벡터합 해 평행사변형 법칙 미지수: FR 의 크기와 각도 θ

2.3 힘의 벡터합 해 삼각법 여현법칙

2.3 힘의 벡터합 해 삼각법 정현법칙

2.3 힘의 벡터합 해 삼각법(Trigonometry) 수평선에서 측정한 FR 의 방향 Φ

2.3 힘의 벡터합 예제 2.2 파이프에 작용하는 1000 N ( ≈ 100kg) 의 힘을 다음의 방향에 대한 성분들로 분해하라 (a) x 및 y 방향, (b) x’ 및 y’ 방향.

2.3 힘의 벡터합 해 평행사변형법칙 From the vector diagram,

2.3 힘의 벡터합 해 (b) 평행사변형 법칙

2.3 힘의 벡터합 해 (b) 정현법칙 NOTE: A rough sketch drawn to scale will give some idea of the relative magnitude of the components, as calculated here.

2.3 힘의 벡터합 에제 2.3 The force F acting on the frame has a magnitude of 500N and is to be resolved into two components acting along the members AB and AC. Determine the angle θ, measured below the horizontal, so that components FAC is directed from A towards C and has a magnitude of 400N.

2.3 힘의 벡터 합 해 평행사변형법칙

2.3 힘의 벡터합 해 정현 법칙

2.3 힘의 벡터합 해 여현법칙에 의해서 FAB 의 크기는 561N 이 구해진다.

2.3 힘의 벡터합 해 F 는 수평선 위로 θ 의 각도로 작용하여 성분 FAC 를 만들 수 있다. θ = 16.1° 이고 FAB = 161N임을 보여라.

2.3 힘의 벡터 합 예제 2.4 링이 두 힘 F1과 F2 를 받고있다. 만일 합력의 크기가 1kN 이어야 하고 방향이 아래로 수직이어야한다면 , 다음을 결정하라. (a) magnitude of F1 and F2 provided θ = 30°, and (b) the magnitudes of F1 and F2 if F2 is to be a minimum.

2.3 힘의 벡터 합 해 (a) 평행사변형 법칙 미지수(Unknown): Forces F1 and F2 Free Body Diagram을 보라.

2.3 힘의 벡터합 해 정현법칙

2.3 힘의 벡터합 해 (b) F2 의 최소길이는 작용선이 F1에 수직일때 발생한다. 따라서, 일 때 F2 가 최소이다.

2.3 힘의 벡터합 해 (b) 벡터 도형

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 둘 이상의 힘들의 합력에 대하여: 주어진 축에서의 성분들을 구한다. 성분들을 대수적으로 합한다. 합력을 만든다. 이 절에서는 각 힘을 x 및 y 축을 따라서 직교성분으로 분해한다.

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 스칼라 표기법 - x와 y 축들은 양과 음으로 표시된다. - 힘의 성분들은 대수적 스칼라로 표현된다. 예: 작용방향 양의 x와 y 축을 따라서

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 스칼라 표기법 예: 작용방향 양의 x와 음의 y 축을 따라서

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 스칼라 표기법 - 벡터 화살의 머리= 도시적인 벡터의 방향(대수적 부호는 사용 안함) - 벡터는 볼드체로 표기 - 크기(항상 양(+)의 값)는 이탤릭체 심볼로 표기함 - 음(-)의 부호는 볼드체로 표기된 기호에만 사용. 크기는 동일하고 방향이 반대

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 직교벡터 표기법 - 직교 단위벡터 i와 j는x 와 y 방향을 나타냄. - 그들이 센스는 양(+)이나 음(-)의 부호로 나타낸다 (양이나 음의 x or y 축을 향함) - 크기는 언제나 양(+)의 양으로 스칼라 Fx 및 Fy로 표시함

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 직교벡터 표기법 F = Fxi + Fyj F’ = F’xi + F’y(-j)

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 동일평면 힘의 합력 동일평면상의 여러 힘의 합력을 구하기 위해: - 힘을 x와 y 성분으로 분해한다. - 스칼라 대수적으로 각 성분들을 합한다. - 평행사변형 법칙으로 합력을 구한다.

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 동일평면 힘의 합력 예: 다음의 세 동일평면 힘을 생각해보자. 직교 베터 표시 F1 = F1xi + F1yj F2 = - F2xi + F2yj F3 = F3xi – F3yj

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 동일평면 힘의 합력 벡터 합은 다음과 같다. FR = F1 + F2 + F3 = F1xi + F1yj - F2xi + F2yj + F3xi – F3yj = (F1x - F2x + F3x)i + (F1y + F2y – F3y)j = (FRx)i + (FRy)j

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 동일평면 힘의 합력 스칼라 표기법으로 FRx = (F1x - F2x + F3x) FRy = (F1y + F2y – F3y) 모든 경우에 , FRx = ∑Fx FRy = ∑Fy * 부호 규약을 주의할것

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 동일평면 힘의 합력 - 양(+)의 스칼라 = 양의 좌표축을 따라가는 작용방향 - 음 (-) 의 스칼라 = 음의 좌표축을 따라가는 작용방향 - FR 의 크기는 피타고라스의 정리로 구할수 있다.

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 동일평면 힘의 합력 - 방향각 θ (힘의 방위(orientation)) 는 삼각법으로 구한다.

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 예제 2.5 boom(기중기의 팔 )에 작용하는 F1 and F2 의 x 와 y 성분을 구하라 . 각 힘을 직 벡터로 나타낼 것.

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 해 스칼라 표기 따라서, 빗변삼각형으로부터

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 해 F2의 경우도, 삼각형의 기울기를 이용하면 마찬가지로,

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 스칼라 표기 직교벡터 표기 해 F1 = {-100i +173j }N

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 예제 2.6 링크가 두힘 F1 과 F2 를 받고있다. 합력의 크기와 방위를 구하라.

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 Solution 스칼라 표기

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 Solution Resultant Force From vector addition, Direction angle θ is

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 Solution해 Cartesian Vector Notation F1 = { 600cos30°i + 600sin30°j } N F2 = { -400sin45°i + 400cos45°j } N 그러므로, FR = F1 + F2 = (600cos30°N - 400sin45°N)i + (600sin30°N + 400cos45°N)j = {236.8i + 582.8j}N

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 Example 2.7 The end of the boom O is subjected to three concurrent and coplanar forces. Determine the magnitude and orientation of the resultant force.

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 View Free Body Diagram Solution 스칼라표기

2.4 동일 평면에 작용하는 힘들의 합 Solution 합력 벡터합으로부터 , 방향각 θ 는

2.5 직교벡터 오른손 좌표계 직교좌표계(Cartesian coordinate system)는 다음의 경우 오른손 좌표계가 된다: - 오른손의 손가락들을 z 축에 대하여 양의 x 축에서 양의 y 축을 향하여 감아쥐고 오른손의 엄지가 양의 z 축을 향할 때

2.5 직교벡터 오른손 좌표계 - 2D 문제에서 z-axis는 종이면에서 수직으로 밖으로 나가는 방향이다.

2.5 직교벡터 벡터의 직교성분 - 벡터 A는 방향에 따라 x, y 및 z 축을 따라서 하나, 둘 또는 세 개의 직교성분을 가질 수 있다. - 평행사변형 법칙을 연속으로 두 번 사용하여 A = A’ + Az A’ = Ax + Ay - 두 식을 결합하면 A = Ax + Ay + Az 로 나타낼 수 있다.

2.5 직교벡터 단위벡터 - A의 방향은 단위 벡터를 사용하여 나타낼수 있다. - 단위 벡터는 1의 크기를 갖는다. - 만일 A 가 A ≠ 0 의 크기를 갖는다면 , A 와 같은 방향의 단위벡터는 uA = A / A로 표시된다. 그리하여 A = A uA

2.5 직교벡터 단위벡터 - A가 힘 벡터와 같이 어떤 특정한 형식이므로, 그것을 묘사하기 위해 적절한 단위가 사용된다. - 크기 A 는 동일한 단위를 가지며 따라서 단위벡터는 무차원(dimensionless)이다 - A (양의 스칼라)는 A의 크기를 정의한다. - uA는 A의 방향과 센스를 정의한다.

2.5 직교벡터 직교 단위벡터 - 직교 단위벡터들, i, j and k 는 x, y 및 z 축의 방향을 나타내기 위해 사용한다. - 이 벡터들의 센스(또는 arrowhead)는 플러스나 마이너스 부호로 묘사된다. (양 또는 음축을 가르키는가에 따라)

2.5 직교벡터 직교벡터의 표시 - A 의 세 성분들이 i, j와 k의 양의 방향으로 작용한다. A = Axi + Ayj + AZk * 주: 각 성분의 크기와 방향이 구분되어 벡터의 대수적 연산이 쉽다.

2.5 직교벡터 직교벡터의 크기 - 파란 삼각형으로 부터, - 회색삼각형으로부터, - 두 식을 합치면 A의 크기가 나온다.

2.5 직교벡터 직교 벡터의 방향 - A 의 방위 (Orientation)는 A의 꼬리와 양의 x, y 및 z 축 사이에서 측정한 좌표방향각 α, β 및 γ 로 정의한다. - 0° ≤ α, β 및 γ ≤ 180 °

2.5 직교벡터 직교벡터의 방향 - 각도 α에 대하여, A의 방형여현 (direction cosine)은 다음과 같다:

2.5 직교벡터 직교벡터의 방향 - 각도 β 에 대하여, A의 방향여현은 다음과 같다:

2.5 직교벡터 직교벡터의 방향 - 각도 γ 에 대하여, A의 방향여현은 다음과 같다:

2.5 직교벡터 직교벡터의 방향 - α, β 및γ는 역여현(inverse cosines)에 의해 구해진다. - 주어진 A = Axi + Ayj + AZk - 그러면, uA = A /A = (Ax/A)i + (Ay/A)j + (AZ/A)k where

2.5 직교벡터 직교벡터의 방향 - uA 는 다음과 같이 표현될수 있다: uA = cosαi + cosβj + cosγk A = AuA = Acosαi + Acosβj + Acosγk = Axi + Ayj + AZk