4장 보의 해석과 설계 4.1 철근콘크리트 보의 역학적 성질 보(Girder or Beam) : (휨모멘트+전단력)에 저항하는 부재 보에는 휨모멘트에 의해 부재축 방향으로 압축 및 인장 응력이 발생하고, 전단력에 의해 단면에 전단응력 발생 압축응력-콘크리트가 부담 인장응력-부재축 방향의 인장철근인 주근이 부담 전단응력-부재축 방향에 수직방향으로 배근된 전단보강근(stirrup)이 부담 부착응력-철근과 콘크리트가 합성거동을 발휘하기 위해서는 철근과 콘크리트의 부착이 충분해야 한다.

보의 설계 : 극한강도 설계법 극한한계상태에 대한 검토 휨강도 - øMn ≥ Mu ø=0.85 : 강도감소계수                   ø=0.85 : 강도감소계수                   Mn : 보부재의 공칭저항 휨강도                   Mu : 하중계수를 고려한 작용하중에 의한 소요 휨강도        전단강도 - øVn ≥ Vu                  ø=0.75 : 강도감소계수                  Vn : 보부재의 공칭전단강도                  Vu : 하중계수를 고려한 작용하중에 의한 소요전단강도    사용한계상태에 대한 검토(5장: 보의 사용성)        처짐 : 허용 처짐 이하        균열 : 허용 균열 폭으로 제한

4.2 철근 콘크리트 보의 휨(bending) 해석 해석(Analysis):부재의 저항강도를 계산 ← known :단면 및 배근 설계(Design) : (설계강도>소요강도)가 되도록 부재단면의 크기 및 배근을 결정     ← known :외력 및 설계하중 (1) 휨 해석(analysis)을 위한 가정 ①Euler-Bernoulli의 평면유지의 가정-전단스팬(span)비가 큰 보에서는 성립 안됨    평면유지 가정:변형 전에 부재축에 수직한 단면은 변형 후에도 부재축에 수직이다  ②철근과 콘크리트의 일체화 거동   철근에 생기는 변형도와 콘크리트의 변형도는 같다.  ③철근과 콘크리트 응력은 아래와 같은 각각의 응력-변형도 곡선에서 얻어진다.

철근의 응력-변형도 곡선 콘크리트의 응력-변형도 곡선

(2) 철근콘크리트 보 설계(design)를 위한 가정 ①콘크리트는 인장응력을 지지할 수 없다. ②콘크리트의 압축변형도가 εu=0.003에 도달했을 때 압축파괴한다. ③콘크리트 압축응력도-변형도 관계는 실험결과에 따라 직사각형, 사다리꼴,  포물선 등으로 가정할 수 있다. 콘크리트 응력- 변형도 관계

휨부재의 변형률 한계 철근의 항복변형률 : εy=fy/Es=400MPa/200,000MPa≒0.002 순인장변형률 εt : 프리스트레스트, 크리프, 건조수축 및 온도의 영향을 제외한 계수하중에 의하여 인장철근에 생기는 변형률 순인장변형률 εt 의 값에 따라 변형률 한계는 다음과 같다. (1)압축지배 변형률 한계 εt=εy (2)인장지배 변형률 한계 εt=(0.005, 2.5εy) 중 큰 값 압축지배 단면 : 압축 콘크리트가 극한변형률 0.003에 도달할 때 εt 가 압축지배 변형률 한계 이하인 단면-기둥부재 인장지배 단면 : 압축 콘크리트가 극한변형률 0.003에 도달할 때 εt 가 인장지배 변형률 한계 이상인 단면-보와 슬래브 부재 변화구간 단면 : 압축 콘크리트가 극한변형률 0.003에 도달할 때 εt 가 압축지배 변형률 한계와 인장지배 변형률 한계 사이인 단면 - 수평하중의 작용으로 큰 휨모멘트를 받는 기둥부재

철근콘크리트 부재의 연성(ductility) 연성 : 구조물이 외력에 의하여 파괴될 때까지 큰 변형을 할 수 있는 능력 변형을 하는 동안 충격에너지를 흡수하고 구조물의 파괴가 가까워졌음을 예고하기 때문에 구조설계에서 부재의 강도와 함께 고려하여야 할 중요한 요소임 구조설계기준의 최소 허용변형률 (0.004 또는 2εy)중 큰 값 공칭 축하중강도에서 최외단 인장철근의 순인장변형률 εt 가 최소 허용변형률 이상이어야 한다 순인장변형률은 (그림4-2)에서 다음과 같이 계산 εt=0.003(dt/c-1)

4.3 단근 직사각형 보의 휨거동 특성 (1) 보의 휨 거동 Euler-Bernoulii의 평면유지의 가정 -변형도는 선형의 분포 응력도 최대 응력도

철근콘크리트 보의 휨거동

철근콘크리트 보의 휨모멘트-곡률 관계

(1) 균열전의 철근콘크리트 보의 거동 그림 (b)의 변형도 분포에서 인장철근과 인장콘크리트의 변형도εs, εt라 하고 압축측 콘크리트의 변형도 εc 라 할 때 (εc+εs):h=εt :(d-x) εt={(εc+εs)/h}(d-x) εs =fr/Ec = =0.134x10-5

(1) 균열전의 철근콘크리트 보의 거동 철근의 단면적을 등가 콘크리트 단면적으로 치환 : (n-1)As n=Es/Ec : 탄성계수비 ≒8~15 콘크리트의 탄성계수 : ≒20,000MPa 중립축의 위치 : 철근의 단면적을 콘크리트의 등가단면적으로 치환하여 계산, 즉, 그림의 (b)와 같은 단면을 갖는 부재에 대하여 도심의 위치를 구한다. 단면 최상단으로부터 도심까지의 거리 x는 중립축에 대한 단면 2차 모멘트 I는

(1) 균열전의 철근콘크리트 보의 거동 단면 상단의 콘크리트 압축응력도 단면 하단의 콘크리트 인장응력도 철근의 인장응력도 철근의 인장응력도 균열 모멘트 여기서, Cc = :압축측 콘크리트응력의 총합 Ct = :인장측 콘크리트응력의 총합 Ts=Asσs≒ nAsσt : 인장철근의 인장력의 총합 약산식 :

(2) 극한응력 상태 압축측 콘크리트의 변형도가 εu=0.003에 도달한 상태 극한응력 상태 등가응력Block

등가응력블록 철근콘크리트 보의 휨강도를 산정하기 위하여, 콘크리트의 압축응력분포를 등가응력블록의 모양으로 가정하여 나타낸다. [전제조건] 1)실제 압축응력분포 면적과 사각형 등가응력분포 면적은 같아야 한다. 2)실제 압축응력의 중심과 가정한 응력블록의 중심은 같은 위치에 있어야 한다. 등가응력블록 응력의 크기 σc= 0.85fck 압축측 콘크리트 단부로부터 중심까지 거리 a=β1c (c:압축연단에서 중립축까지 거리)    (i)fck ≤28 MPa : β1=0.85    (ii)fck 〉28 MPa : β1=0.85-0.007(fck-28)≥0.65

균형변형률 압축측 콘크리트의 변형률이 극한 변형률εu(=0.003)에 도달하고, 인장철근의 응력이 항복 응력도fy에 도달하는 것이 동시에 일어나는 경우. C=T 에서 0.85fckba=Asfy 철근비 ρ=As/bd 0.85fckba=ρbdfy 이므로 순인장 변형률 εt

4-3-3 최소 및 최대 철근비 (1) 최대철근비ρmax (2) 최소 철근비ρmin 설계조건 : 연성파괴를 유도하는 것이 구조물의 안전성을 증대. 즉 순인장변형률 εt ≥ 최소 허용변형률 εa,min       ∴휨재의 최대철근비 (2) 최소 철근비ρmin 철근의 인장파괴가 콘크리트의 인장 균열보다 먼저 발생하는 것은 비경제적이고, 취성파괴를 유도한다. 철근의 인장파괴강도Ms ≥ 콘크리트의 인장균열강도 Mcr         설계규준 :          직사각형 보 T 형 보    단, 기초나 큰보 등 단면적이 큰 부재에는 많은 철근이 필요하므로 해석상 필요한 양보다 1/3증가시키면 최소철근비 규정을 만족함

극한 휨모멘트 저항강도(공칭강도) 철근비 ρmin≤ρ≤ρmax 인 경우

철근비에 따른 RC보의 휨모멘트-곡률 관계

4-3-4 보의 설계강도 철근비 ρmin≤ρ≤ρmax 인 경우 → 철근의 인장파괴를 유도 보의 설계강도=강도감소계수(ф) x 공칭저항강도(Mn)          

예제 4-1 : p69 단근 직사각형 보의 설계강도 보의 설계강도=강도감소계수(ф) x 공칭저항강도(Mn) 연습문제 4-1 연습눔제 4-3          

4-4. 복근 장방형 보의 해석 4-4-1. 복근배근의 필요성 복근보 : 인장측 철근과 함께 압축측 철근을 갖는 보 복근보의 장점   ①압축철근의 배근으로 인장철근비를 증가시킬 수 있어 설계강도를 증가시킨다   ②장기 처짐의 감소-단근보에 비하여 50%이하의 변형량을 나타낸다.   ③연성증진-耐震구조에 유리, 모멘트 재분배에 의한 구조체 안전성 증가   ④철근조립의 편이-stirrup설치와 피복두께 유지에 유리

4-4-2 복근보의 설계강도 압축철근의 변형도 εs’는 c :εy =(c-d’) : εs’            ∴                      (4-17)

4-4-2 복근보의 설계강도 압축철근의 압축변형도 εs’ 가 항복변형도  εs’= εy = fy/Es 에 도달하였을 때, 항복응력 상태가 된다.  εs’ <εy  일 때는 압축철근이 항복하지 않은 상태가 된다. 식(4-17)에서 c=a/β1, εs’= εy = fy/Es 라고 하면,     압축철근이 항복에 이르는 한계값 (d’/a)은    (d’/a)lim=(1/β1)(1-fy/600)   이다.                             (d’/a)lim  의 값은 표4-2와 같다.

(ⅰ) 압축철근이 항복에 이른 경우 : (d’/a)lim ≥(d’/a) 복근보의 설계강도 (ⅰ) 압축철근이 항복에 이른 경우 :  (d’/a)lim ≥(d’/a)  εs’ ≥εy  ⇒ σs’=fy 일 때,         Mn=Mn1+Mn2 Mn1=As’fy(d-d’)           : 압축 철근에 의한 휨내력  Mn2=(As-As’)fy(d-a/2)        : 압축 콘크리트에 의한 휨내력                       (ⅱ) 압축철근이 항복하지 않은 경우 :  (d’/a)lim <(d’/a)        인장철근이 지지하는 인장력 Ts=Asfy     압축콘크리트가 지지하는 압축력 Cc=0.85fckab      압축철근이 지지하는 압축력 Cs=(Esεs’)As’

복근보의 설계강도 이들 힘의 평형조건은 Cc+Cs=Ts          0.85fckab+(Esεs’)As’=Asfy                       (4-24a)                  c=a/β1  을 위 식에 대입하면       (0.85fckb)a2+(0.003 EsAs’- Asfy )a-(0.003EsAs’ β1d’)=0           ⇒ a에 대한 2차 방정식 → a값을 계산할 수 있으므로          ∴ Mn=Cc(d-a/2)+Cs(d-d’) ※복근보의 설계규준에서의 설계강도 : 단근 직사각형보의 설계강도식을 사용하여도 공칭 저항강도의 차이는 미소하므로, 일반적으로 단근보의 설계강도식을 이용해도 무관하다.    Mn=Asfy(d-a/2) 

예제 4-2, 4-3 : p75 복근 직사각형 보의 설계강도 보의 설계강도=강도감소계수(ф) x 공칭저항강도(Mn) 연습문제 4-5          

4-5 연속 휨부재의 모멘트 재분배 모멘트 재분배 연속보 또는 연속 1방향 슬래브에서 하중의 증가에 따라 항복이 단부(부모멘트) 또는 중앙부(정모멘트)에 발생하며, 항복이 생긴 단면에서는 철근이 소성힌지 상태에 도달하여 더 이상 휨저항 능력을 발휘하지 못하지만, 탄성상태의 단면의 철근은 휨저항능력을 가진다. 소성힌지에 도달한 단면은 소성모멘트만을 유지하면서 외부 하중의 증가에 따른 추가 휨모멘트가 탄성상태의 단면으로 증가하는 현상 모멘트 재분배는 충분한 비탄성변형이 생기는 단면에서 가능하고 압축측 콘크리트가 압괴되는 경우는 불가능하다. 인장철근비가 균형철근비 이하인 경우에만 비탄성변형 능력이 확보된다. 설계기준의 규정 (1)부모멘트의 재분배 :최외단 철근의 순인장변형률εt<0.0075 (2)부모멘트는 20% 이하에서 1000εt%의 크기로 증감 가능

4-6 T형보의 해석 4-6-1 T형보의 개념 T형보:보에 인접한 슬래브가 보의 플랜지 역할을 하는 보. 보의 중앙부: 플랜지가 압축력을 부담 보의 단부 : 슬래브 철근이 인장철근의 역할

4-6-2 T형보의 유효폭(be) (1) T형보 : 다음 값 중 작은 값 ①span길이의 1/4, 즉 be=Ly/4 ②슬래브 두께hf의 8배+웨브폭, 즉 be=8hf+bw bw:보의 웨브 폭 ③슬래브 중심간 거리 , 즉 be=Lx/2 (2) 반 T형보 : 다음 값 중 작은 값 ① span길이의 1/12+보의 폭, be=Ly/12 +bw ② 슬래브 두께의 6배+웨브폭, be=6hf+bw ③ 보 외측으로부터 슬래브 중심간의 거리+보의 폭, be=Lx/2 +bw

4-6-3 설계강도 응력블록의 깊이 a를 다음 식으로 계산하여, a의 값에 따라 설계강도의 계산 방법이 두 가지로 나누어진다.     (1) a≤hf(슬래브 두께)인 경우   직사각형 보의 해석방법으로 설계강도 산정.  단, 보의 폭으로써 유효 폭 be를 사용  공칭강도: Mn=Asfy(d-a/2)

(2) a>hf인 경우  인장철근의 flange 철근Asf 와  Web 철근(As -Asf )으로 나누어 Flange철근 Asf이란 flange의 압축응력과 평형을 이루는 철근을 말한다.    즉, Tf=Cf Asf fy=0.85fck(be-bw)hf

(2) a>hf인 경우 따라서, flange철근에 의한 공칭저항모멘트 Mn1은 Mn1= Asffy(d-hf/2)  Web철근(As-Asf )에 의한 등가응력 블록의 깊이 a는        Cw=Tw   0.85fck․bw․a=(As-Asf)․fy         Mn2=(As- Asf)fy(d-a/2) 공칭강도 Mn=Mn1+Mn2

예제 4-5 : p85 T형 보의 설계강도 보의 설계강도=강도감소계수(ф) x 공칭저항강도(Mn) 연습문제 4-7 연습눔제 4-8