질의 사항 Yield Criteria (1) 소재가 평면응력상태에 놓였을 때(σ3=0), 최대전단응력조건과 전단변형에너지 조건은σ1 – σ2 평면에서 각각 어떤 식으로 표시되는가? (2) σ1 =σ2인 등이축인장에서 σ = Kεn로 주어지는 재료의 네킹시 변형율을 구하라. (힌트: 한 축방향으로 작용하는 하중이 최대일 때 불안정이 시작된다.) (3) 항복응력 Y = 100인 소재에 가해진 응력이 x, y, z (단위는 모두 MPa)일 때, 항복여부를 판정하라. 또 추가로 일정한 정수압력이 가해지더라도 항복조건에는 변화가 없음을 보여라.
답변 (1) A) 최대전단응력조건은 Tresca 항복조건을 의미합니다(여기서 σy 는 항복강도임). (i) σ1 > σ2 > σ3( = 0 ) 일 때 τ max = (σ1 – σ3)/2 = σy/2 σ1 = σy (ii) σ2 > σ1 > σ3 일 때 τ max = (σ2 – σ3)/2 = σy/2 σ3 = σy (iii) σ1 > σ3 > σ2 일 때 τ max = (σ1 - σ2)/2 = σy/2 σ1 - σ2 = σy (iv) σ2 > σ3 > σ1 일 때 τ max = (σ2 – σ1)/2 = σy/2 σ2 – σ1 = σy (v) σ3 > σ2 > σ1 일 때 τ max = (σ3 – σ1)/2 = σy/2 σ1 = -σy (vi) σ3 > σ1 > σ2 일 때 τ max = (σ3 – σ2)/2 = σy/2 σ2 = -σy 위의 6가지 조건을 σ1- σ2 평면상에 그림으로 그리면 기울어진 6각형이 됩니다. B) 전단변형에너지 조건은 Von-Mises 항복조건을 의미합니다. 3차원 응력상태에서 Von-Mises 항복조건은 다음과 같이 묘사됩니다. (σ1 - σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2 = 2σy2 여기서, σ3 = 0 이면 σ12 + σ22 – σ1σ2 = σy2 이 됩니다. 위의 2차원 방정식은 σ1- σ2 평면상에 기울어진 타원이 됩니다.
답변 (2) 등이축 인장에서는 이고 초기면적은 이다. 인 조건에서 소성불안정이 시작된다. 따라서, 인 관계에 있다. 그리고, , 일 때, 여기서 이므로, 일 때 소성불안정이 시작된다.
답변 (3) σ1 = x, σ2 = y, σ3 = z 이고, 항복응력 Y=100MPa이다. 소재가 전단변형에너지 조건인 Von-Mises 항복조건을 따른다고 가정하면, { (x - y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 }/2 ≥ 1002 (MPa) 일 때 항복이 발생하고 소재는 소성변형 거동을 한다. 만약 σm의 정수응력이 부가되면 σ1 = x +σm, σ2 = y +σm, σ3 = z +σm 가 된다. Von-Mises 항복조건에 이 값을 대입하여 항복여부를 살펴보면 정수응력의 크기와 관계없이 위의 항복조건과 동일하게 정의됨을 알 수 있다. 즉, { (x - y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 }/2 ≥ 1002 (MPa) 이라는 항복조건이 정의된다.