Realistic Projectile Motion 운동시뮬레이션 제2주 Realistic Projectile Motion

Chapter 2 Realistic Projectile Motion Bicycle Racing: The Effect of Air Resistance Projectile Motion: The Trajectory of a Cannon Shell Baseball: Motion of a Batted Ball Throwing a Baseball: The Effects of Spin Golf

Introduction 공기 중에서의 물체의 운동 Euler 방법으로 해를 구함. 공기의 저항을 고려하면 해석적인 해는 구할 수 없지만 수치적으로는 구할 수 있음. 평지에서의 자전거의 운동 실제적인 경우는 공기저항을 고려해야 함. 2차원에서의 포사체 운동 공기저항이 중요함. 고도에 따른 저항의 변화가 중요한 역할을 함. 배트로 친 공 또는 던진 공의 운동 더 실제적인 공기저항 모델이 필요함. 던진 공의 경우는 회전 효과도 고려해야 함. 궁극적으로 “왜 골프 공은 홈이 있는가?”라는 물음에 답할 것임.

Bicycle Racing: The effect of air resistance 자전거는 효율적인 이동 수단임. 무엇이 자전거의 초고속력을 결정하고 그 값을 어떻게 예상할 수 있는가? 저항을 고려하지 않은 쉬운 경우로 시작 결국 뉴우톤의 운동 방정식을 푸는 문제임 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =𝐹 or 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑚 𝐹

Bicycle Racing: The effect of air resistance 𝑚 : 자전거와 탄 사람의 질량 𝑣 : 자전거의 속력 𝐹 : 탄 사람이 자전거에 미치는 힘 𝑡 : 시간 탄 사람이 자전거에 미치는 힘을 정확하게 아는 것은 거의 불가능함.

Bicycle Racing: The effect of air resistance 힘을 자세히 알 지 못하므로 사람의 일률을 사용할 것임. 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 2 2 =𝑚𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑡 에 의하여 힘이 들어가지 않은 방정식 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑚𝑣 전문경륜선수는 1시간 동안 평균 400와트의 일률로 자전거를 탈 수 있음.

P가 일정한 경우의 해 적분하여 해를 구할 수 있음(물리적인 아님) 𝑣 0 𝑣 𝑣 ′ 𝑑𝑣′ = 0 𝑡 𝑃 𝑚 𝑑𝑡′ 𝑣 0 𝑣 𝑣 ′ 𝑑𝑣′ = 0 𝑡 𝑃 𝑚 𝑑𝑡′ 𝑣= 𝑣 0 2 +2𝑃𝑡/𝑚 , 이 값은 시간에 따라 끝없이 증가함!(실질적이지 못함) 수치적인 접근 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ≈ 𝑣 𝑖+1 − 𝑣 𝑖 ∆𝑡 , 𝑣 𝑖+1 = 𝑣 𝑖 + 𝑃 𝑚 𝑣 𝑖 ∆𝑡

수치적인 해 임의의 순간 𝑖에서의 속력을 알면, 𝑖+1에서의 속력을 알 수 있음. 이러한 과정을 반복하여 초기 시간으로부터 원하는 시간까지의 속력을 구할 수 있음.

Euler 방법 대부분 Euler 방법으로 수치 해를 구할 것임. 좀더 정확한 방법은 부록 A에 기술되어 있음. 이 강력한 방법은 이 책에서 다루는 문제를 해결할 수 있음. 수치해석을 더 공부할 사람은 이러한 방법에 더 집중할 필요가 있음. 이 책에서 강조하는 것은 간단한 수치방법을 사용하여 수치 해를 구하는 방법에 치중하지 않고 물리를 강조한다.

계산을 위한 슈도코드 For each time step 𝑖, calculate 𝑣 and at step 𝑖+1 𝑣 𝑖+1 = 𝑣 𝑖 + 𝑃 𝑚 𝑣 𝑖 ∆𝑡 𝑡 𝑖+1 = 𝑡 𝑖 +∆𝑡 Repeats for n-1 time steps Theoretical and numerical solution gives infinity(unphysical!) Should consider air resistance

수치해 초기조건 : 𝑣 0 =4m/s, 𝑃=400W ∆𝑡의 선택은 이 시간 간격 동안 속력이 충분히 작게 변하도록 하면 된다. 여기서 “충분히”라는 조건을 정확하게 말하기는 어렵다. 기본적인 규칙은 문제에 나타난 시간(이 문제에서는 종속에 도달하는데 걸리는 시간, 핵붕괴 문제에서는 평균 수명)의 1%로 시작하고 더 작은 시간간격에 대해서 계산을 반복하는 것이다.

수치해 시간간격을 줄이면 오차가 줄어든다. 그러나 원하는 시간까지 값을 계산하는 데는 시간이 더 걸린다. 따라서 적당한 값을 정해야 한다. 시간 간격을 주려 가면서 계산을 반복해서 실제로 수치 해가 수렴하는지를 확인 하는 것이 중요하다. 이 문제에서는 시간 간격을 1초보다 작게하면 된다.

저항이 없는 경우의 해 속력이 한계가 없이 증가할 것이 예상된다. 초기속력 4m/s, 질량 70kg, 시간간격 0.1s 로 속력이 한계가 없이 증가할 것이 예상된다. 초기속력 4m/s, 질량 70kg, 시간간격 0.1s 로 계산한 결과임.

gnuplot 결과

소스 코드 강의자료실에 pdf 파일로 제공됨.

비현실적인 이유 일정한 일률로 자전거를 탄다는 것은 일정하게 에너지를 공급하는 것이고 에너지를 소비하는 것(저항, 마찰 등)이 없다고 하면 (운동)에너지가 계속 증가하는 것은 당연하다. 따라서 현실 적인 경우에서는 에너지가 소비되는 과정을 포함해야 한다. 자전거의 기계적인 마찰에 의한 소비도 있지만 우선 공기의 저항을 고려 한다.

에너지 손실 잘 조절된 자전거는 시속 8km 혹은 16km 이상으로 달리 수 있다. 자전거의 기계적 마찰이나 타이어의 마찰은 공기의 저항에 비하면 무시할 수 있다. 현실적인 자전거 운동은 공기저항만 고려해도 충분하다. 공기 저항은 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 ≈− 𝐵 1 𝑣− 𝐵 2 𝑣 2 로 주어진다.

에너지 손실 아주 적은 속력에서는 첫 째 항의 효과가 크다. 이 것을 스톡스(Stokes’s) 효과라고 한다. 속력이 어느 정도 커지면 두 번째 항의 효과가 더 커진다. 계수 𝐵 2 는 이론적으로 구할 수 없다.

𝐵 2 의 추정 단면적이 𝐴인 물체가 𝑣의 속력으로 밀도가 𝜌인 공기 중을 𝑑𝑡초 동안 움직이면 밀어내는 공기의 질량은 𝑚 𝑎𝑖𝑟 ~𝜌𝐴𝑣𝑑𝑡 공기가 얻는 운동 에너지는 𝐸 𝑎𝑖𝑟 ~ 1 2 𝑚 𝑎𝑖𝑟 𝑣 2 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑣𝑑𝑡= −𝐸 𝑎𝑖𝑟 따라서 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 ~− 1 2 𝐶𝜌𝐴 𝑣 2 가 된다.

𝐵 2 의 추정 공기가 물체를 미는 힘 작용 반작용 쌍 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 물체가 공기를 미는 힘 𝑣 에 의해 정지해 있던 공기가 𝑣𝑑𝑡 𝑣 물체가 공기를 미는 힘 공기가 물체를 미는 힘 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 정지해 있던 공기가 속력을 얻게 됨 작용 반작용 쌍 에 의해

에너지 손실 𝑣 𝑖+1 = 𝑣 𝑖 + 𝑃 𝑚 𝑣 𝑖 ∆𝑡− 𝐶𝜌𝐴 𝑣 𝑖 2 2𝑚 ∆𝑡 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 ≈− 𝐵 2 𝑣 2 를 고려하여 공기저항을 추가 하면 𝑣 𝑖+1 = 𝑣 𝑖 + 𝑃 𝑚 𝑣 𝑖 ∆𝑡− 𝐶𝜌𝐴 𝑣 𝑖 2 2𝑚 ∆𝑡 계수는 물체의 속력에 따라 달라질 수 있음. 정확한 값은 풍동 실험을 통해서만 얻을 수 있음.

공기저항이 있는 경우의 결과 저항이 없는 경우 속력이 한계가 없이 증가함 저항이 있는 경우 속력이 한계가 있음 속력이 한계가 없이 증가함 저항이 있는 경우 속력이 한계가 있음 초기속력 4m/s, 질량 70kg, C는 0.5, 공기 밀도는 1.3kg/ m 3 , 시간간격 0.1s 로 계산한 결과임.

해석 공기저항이 있는 경우 최종 속력은 단면적, 저항계수, 공기밀도 등에 따라 달라진다. 종속력은 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =0이 되는 조건을 구하면 된다. 그 값은 𝑣 𝑇 = 2𝑃 𝐶𝜌𝐴 1/3 로 주어진다. 자전거 레이싱에서 모여서 달리는 경우 뒤에 있는 사람이 훨씬 힘이 덜 드는 것은 효과적인 단면적이 적기 때문이다.

프로그램 한 그래프에 두 개의 그림을 그리기 위하여 공기저항이 있는 경우와 없는 경우를 동시에 계산하여 저장함.

소스 ㅁ

Projectile motion: the trajectory of a cannon shell 두 개의 뉴우턴 운동 방정식의 해를 구함. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =0, 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 𝑚 이차 미분 방정식이므로 이를 직접 차분 방정식으로 바꾸면 3 시간 스텝에서의 값으로 표시됨. 𝑔

운동 방정식 뉴우톤운동의 제2법칙 해석적인 해

Initial condition At t=0 이 초기 조건으로 얻는 해

수치해 이차 미분 방정식을 두 개의 일차 미분 방정식으로 수정

Difference equations Euler method

공기저항 추가 공기저항은 속도의 방향에 따라 달라짐.

수정된 방정식 공기저항 포함

Pseudo code for calculation For each time step i, calculate position and velocity at step i+1 Compute new position Compute air drag force term Compute new velocity Stop if new y position is less than zero Estimate landing position by interpolation

Compute new position New position is given by

Compute drag force Drag force term is given by

Compute new velocity New velocity is given by

Estimate landing position by interpolation We cannot find the exact landing point, since we calculate only for discrete time step 정확한 위치 근사 위치

Estimate landing position by interpolation Exact value can be calculated as

결과

Effect of altitude Air density will change with altitude 𝜌(𝑦)= 𝜌 0 1− 𝑎𝑦 𝑇 0 𝛼 , 𝑎≈6.5× 10 −3 𝐾 𝑚 , 𝛼≈2.5 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 𝑦 = 𝜌(𝑦) 𝜌 0 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔

결과

Baseball: Motion of a batted ball Air resistance is complicate 𝐵 2 𝑚 =0.0039+ 0.0058 1+exp⁡[ 𝑣− 𝑣 𝑑 Δ ] 𝑣 𝑑 =35 𝑚 𝑠 , Δ=5 𝑚 𝑠 Wind affect drag force 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 =− 𝐵 2 𝑣 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑,𝑥 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑦 =− 𝐵 2 𝑣 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑 𝑣 𝑦 − 𝑣 𝑤𝑖𝑛𝑑,𝑦

저항계수 C의 변화

Throwing a baseball: the effects of spin Thrown ball will have spin Relative speed at upper and lower are different Generate orthogonal force

바람의 효과

Magnus force

Equation of motion Newton’s second law No analytic solution

Numerical approach Change to first-order differential equations

Euler equations Including air resistance

Euler equations Including air resistance

Pseudo code for calculation For each time step i, calculate position and velocity at step i+1 Compute new position Compute air drag force term Compute new velocity Stop if new x position is greater than limit

Compute new position New position is given by

Compute drag force Drag force term is given by

Compute new velocity New velocity is given by

결과

Golf Equations of motion 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 𝑚 − 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑦 𝑚 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑥 𝑚 − 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑦 𝑚 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑦 𝑚 + 𝑆 0 𝜔 𝑣 𝑥 𝑚 −𝑔 𝐹 𝑑𝑟𝑎𝑔 =−𝐶𝜌𝐴 𝑣 2 𝐶= 1 2 , for 𝑣 ≤14𝑚/𝑠, 𝐶= 7 𝑣 , otherwise (with dimple)

결과