5. 단면의 성질 단면(section)이란 부재축(부재길이 방향)과 직교하는 면으로 절단한 평면을 말한다. 절단된 부재는 균일한 재료로 구성되어 있다고 가정한다. 구조부재가 힘을 받을 때, 그 부재의 응력도(stress)와 변형도(strain)를 구하기 위해 단면에 관한 여러 가지 계수 값들이 필요하다. 이 계수 값은 구조부재 재료의 종류와 힘의 크기에 관계없는 단면의 특성, 즉 단면의 성질이라고 부른다. 단면의 성질 종류 단면의 성질 종류 기 호 정의 적용 방법 단위 단면 1차모멘트 Sx, Sy Sx=∫ydA, Sy=∫xdA 도심 cm3 단면 2차모멘트 Ix, Iy Ix=∫y2dA, Iy=∫x2dA 강성, 처짐 cm4 단면 상승모멘트 Ixy Ixy=∫xydA 주축 단면 극2차모멘트 Ip Ip=∫r2dA 비틀림응력 단면계수 Zx, Zy Zx=Ix/y 최대휨응력도 cm2 단면 2차반경 ix, iy ix=√I/A 단면핵,좌굴 cm

5.1 단면 1차 모멘트 (statical moment) 도심의 위치와 전단응력도를 구하는데 사용한다. 즉, 단면 1차모멘트가 0인 점이 도심이다. 직교 좌표축 x, y에 대해 미소면적 dA 까지의 거리를 각각 x1, y1라고 할 때, 직교 좌표축 x, y로부터의 수직거리(x1 또는 y1)와 미소 단면적(dA)의 곱을 말한다. x0, y0 : x, y축으로부터 도심까지 거리 도심 S=0 이면, 좌표축은 도심을 지나게 된다.

(1) 좌표축의 평형이동 (2) 좌표축의 회전 이동 오른쪽 그림에서 좌표축이 x’, y’ 축으로 이동한 경우의 단면 1차모멘트 Sx’, Sy’ (2) 좌표축의 회전 이동 좌표축 x, y가 각 θ만큼 회전한 x’, y’축에 대한 단면 1차모멘트는

<예제 1.1>삼각형 x:b=y:b로 부터 x=b(h-y)/h dA=xdy 도심 <예제 1.2>직사각형

여러 개의 도형으로 이루어진 단면에 대한 단면 1차모멘트 및 도심 Varignon의 정리: 각각의 도형에 의한 단면1차모멘트의 합은 전단면에 대한 단면1차 모멘트와 같다. 도심의 위치

예제 1.3 도심의 위치 xo=???cm y0=???cm 예제 1.4 x축으로부터의 도심 y0를 구하시오.

기사시험문제

연습문제 오른쪽 단면의 도심의 위치C를 구하시오 오른쪽 단면에서 a=20cm, b=2cm, c=10cm 일 때 도심의 위치C를 구하시오

연습문제 아래 그림의 도심의 위치를 구하시오. 5cm 40cm 30cm

5.2 단면 2차 모멘트 (Ix : moment of inertia) 휨모멘트에 의한 휨응력도와 처짐의 크기를 계산하는데 사용된다. 직교 좌표축 x, y 에 대해 미소면적 dA 까지의 거리를 각각 y, x 라고 할 때 , 단면 2차 모멘트는 다음과 같이 표현된다.

<예제 2.1>삼각형 b:h=x:(h-y)로부터 x=b(h-y)/h dA=xdy 도심을 지나는 축 x0에 대해서 (2/3)b:(2/3)h=x:(2h/3-y)로부터 x=b(2h/3-y)/h <예제 2.2>직사각형

<예제 2.3>직사각형 단면의 도심을 지나는 x축 <예제 2.4>원형

(1) 좌표축의 평형이동 오른쪽 그림에서 좌표축이 ex, ey만큼 각각 평행 이동한 x’, y’ 축으로 이동한 경우의 단면 2차모멘트 Ix’’ Iy’ x, y 축이 단면의 도심 G(x0,y0)를 지날 때 단면2차 모멘트를 Ix0, Iy0 라고 하면, 위의 식에서, Sx0=0, Sy0=0 이므로

<예제 2.5>직사각형 단면의 단면 2차 모멘트를 구하시오. (i)도형의 밑변을 지나는 x, y축에 대한 단면 2차모멘트 (ii)도형의 도심을 지나는 X0, Y0축에 대한 단면2차모멘트 축의 평행이동에 대한 식을 이용하여 (iii)도형의 도심을 지나는 x0, y0축에 대한 단면 2차모멘트를 이용하여 밑변을 지나는 x, y축에 대한 단면 2차모멘트를 구하면

(3)여러 개의 도형으로 이루어진 단면에 대한 단면 2차모멘트 단면을 분해하여 각각 단면의 중립축에 대한 단면 2차모멘트(Ixo)에 축의 평행이동식을 이용하여 구한 값을 더하여, 각 단면의 값을 모두 합하여 구한다. (4) 그림과 같이 x축에 대하여 도심축이 일치하는 경우는 큰 단면의 Ix1에서 작은 단면의 Ix2를 빼면 된다.

<예제 2. 6> 예제 1. 3에서 다룬 오른쪽 도형의 단면 2차 모멘트를 아래의 조건에 따라 구하시오. 도심(3 <예제 2.6> 예제 1.3에서 다룬 오른쪽 도형의 단면 2차 모멘트를 아래의 조건에 따라 구하시오. 도심(3.15, 4.08)cm (i) x, y 축에 대한 단면 2차모멘트 (ii) 도심축 x0, y0축에 대한 단면 2차모멘트

아래 그림에서 도심축에 대한 단면2차모멘트(Ix0,Iyo)를 구하시오. 연습문제 아래 그림에서 도심축에 대한 단면2차모멘트(Ix0,Iyo)를 구하시오. c 도심C (40,40)cm 5cm 40cm 30cm 도심 (8.27,13.27)cm a=20cm 도심C b=2cm (0, 4)cm c=10cm

기사시험문제(2008.3.2)

기사시험문제

5.3 단면 상승 모멘트 (Ixy:Product moment of inertia) 단면 주축 방향을 계산하는데 사용된다. 직교 좌표축 x, y 에 대해 미소면적 dA까지의 거리를 각각 x, y 라고 할 때 단면 상승 모멘트Ixy는 단면이 대칭형이고, x, y축 중에서 어느 한축이 대칭축일 때는 Ixy=0가 된다. <예제 3.1>직사각형 단면

5.4 단면 극2차 모멘트 (Ip : polar moment of inertia) 비틀림 모멘트에 의한 비틀림 응력을 계산하는데 이용한다. 직교좌표축 x, y에 대해서 단면의 미소면적 dA와 원점까지의 거리를 r이라고 하면 단면극2차모멘트 Ip는 <예제 4.1> 직경이 D인 원형단면 <예제 4.2> 원통형(강관) 단면 <예제 4.3> 정사각형 단면

5.5 단면 계수 (section modulus) 휨모멘트에 의한 단면의 상, 하 끝단에서의 최대 및 최소 응력도를 계산하는데 사용한다. 도심축 x0에 대한 단면 2차모멘트를 Ix0 라 하고 x0축으로부터 단면의 상, 하단까지의 거리를 각각 yc(압축측), yt(인장측)라고 했을 때, 단면 계수 Zt, Zc는 다음과 같이 나타낸다. <예제 5.1>직사각형 단면 <예제 5.2> <예제2.2>에서 다룬 L형강 도심위치(3.15, 4.08) Zt= Ix0=563.71cm4 Zc=

기사시험문제

5.6 단면 2차 반경 (radius of gyration) 좌굴하중 계산과 단면의 핵을 계산하는데 사용한다. 단면의 축은 무수히 많이 있지만, 도심을 지나는 축 중에서 가장 작은 단면 2차반경 ix 값이 사용된다. 단면의 단면적 A, 단면 2차모멘트 Ix , Iy 라고 할 때, 단면 2차반경 또는 회전반경 ix , iy 는 라고 정의 한다. <예제 6.1> <예제2.2>에서 다룬 L형강에 대한 단면 2차모멘트를 이용하여 단면 2차반경을 계산하시오.

기사시험문제(2008.3.2)

5.7 단면의 주축 직교축 x, y를 각θ 만큼 회전시킨 축에 대한 단면 2차모멘트 및 단면 상승모멘트는 오른쪽 그림과 같은 좌표축의 회전에 대한 좌표 변환식을 적용하여

단면의 주축 여기서 다음과 같은 삼각함수의 성질을 이용하여, 위의 식을 고쳐 쓰면

위의 식에서 Ix’ , Iy’ 값이 최대 및 최소가 되는 조건으로 이것은 오른쪽 그림의 직각삼각형을 이용하면, 다음과 같이 표현 할 수 있다. 따라서, I1 , I2 가 이루는 축을 주축 (principal axis) 이라고 한다. 주축에 대한 단면 2차 모멘트를 주단면 2차 모멘트(principal moment of inertia)라고 한다.

주단면 2차모멘트의 성질 1. 단면이 대칭이면 대칭축에 대한 단면 상승 모멘트 Ixy =0이므로 대칭축 = 주축의 관계가 성립. 2. I1 +I2 = Ix +Iy : 두 직교축에 대한 단면 2차모멘트의 합은 일정 = Ix’ +Iy’ :식(5.5.2a,b)식에서 3. 주축에 대한 단면상승 모멘트 Ixy =0 이므로, 주축 x, y 축과 θ의 경사를 갖는 직교축 x’, y’ 에 대한 단면 2차모멘트는 식(5.5.2a)에서

<예제 7.1> 예제 1.3에서 다룬 오른쪽 도형의 주축을 구하시오. I1 I2 θ