주파수 영역분석 : Z 변환

서 론 Zadeh 와 Ragazzini가 제안 디지털 신호와 프로세서의 주파수 분석과 설계에 사용 Z-변환과 Fourier변환과 매우 밀접하게 연관됨 Z-변환을 다루는 주요이유 Z-변환은 디지털 신호와 시스템을 표현하는데 매우 간단하고 편리한 수단 Z-변환은 디지털 신호처리 설계에 많이 사용 Z-평면상의 극점과 영점들을 이용하여 프로세서의 안정성과 주파수 응답을 효과적으로 분석

Z-변환의 정의 와 특성 (I) 정의 X(Z)는 n=0 이전의 x[n]과는 상관 없음 (단 방향 변환) 일반적인 코절(Causal) 신호나 코절 선형 시 불변 프로세서의 분석에 적합 양 방향 Z-변환 Fourier 변환과의 관계

Z-변환의 정의 와 특성 (II) X(Z)은 Z-1 의 멱 급수 (Power Series) Z은 시간 이동 요소 m 샘플 만큼 시간이 앞서거나 지연 : Z±m

예제 4.1 (a) 다음 지수 감쇠 신호의 z 변환을 구하고 가능한 간단하게 표현하라

예제 4.1 (b) 다음 z 변환에 대응하는 신호를 구하고 그림으로 표현하라

Z 변환의 정의와 특성 (III) z 변환 및 역 변환 컨벌루션 (Convolution) 특성 임펄스 응답 : 전달 함수 :

Z 변환의 정의와 특성(IV) 컨벌루션 특성 예 n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … x[n]과 h[n]을 컨벌루션 하여 구한 y[n] Y(z)=H(z)X(z) n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … x[n] = 1 -2 3 -1 -1 0 0 0 0 ... h[n] = 2 1 -1 0 0 0 0 0 0 … y[n] = 2 -3 3 3 -6 0 1 0 0 ... 위의 y[n]과 동일하다. => X(Z)H(Z)의 역 변환이 y[n]

Z 변환의 정의와 특성(V) z 역변환 : 경로 적분 Cauchy의 적분 공식 함수 f가 closed contour C 위나 내부에서 analytic 하다면 C내의 모든 점 Z0에서 다음 식이 성립한다. 주로 사용되는 역 변환 방법 z-변환 쌍 표를 이용하는 방법 : 표 4.1 부분 분수 방법

Z 변환의 특성 최종 값 정리 예 : 단위 계단함수 입력에 대한 시스템의 안정상태 응답

z 평면의 영점과 극점(I) 극점(Pole)과 영점(Zero)에 의한 신호와 시스템 기술 유리함수로 주어지는 z 변환 선형 시 불변 시스템의 전달함수 영점 : X(Z)가 0 이 되는 Z의 값 극점 : X(Z)의 값이 발산하는 Z의 값 (중요) 실수함수의 z 변환의 영점과 극점 실수 또는 공액 복소쌍 으로 나타남 이득 :

z 평면의 영점과 극점(II) z 평면 z 허수부 단위원 z 실수부 선형 시 불변 시스템의 주파수 응답이나 신호의 스펙트럼을 보여 주는 쉽고 효율적인 방법 극점과 영점을 복소 평면에 표시하여 전달 함수의 특성을 나타냄 시스템의 안정성을 쉽게 확인하는 방법 표 4.1 (Z평면 극점과 영점부분) 참조 z 허수부 단위원 z 실수부

예제 4.3 다음 z 변환의 극점과 영점을 z 평면 상에 그려라

시스템이 안정되기 위해서는 극점이 단위 원 안에 위치하여야 한다 z 평면의 영점과 극점 (III) 전달 함수의 안정성과 극점의 위치 : 실수 극점 시스템이 안정되기 위해서는 극점이 단위 원 안에 위치하여야 한다 전달 함수 : 이산방정식 : 임펄스 응답 : (실수 지수함수의 포락선 형태)  < 1 : n  일 때 0으로 감소 : 안정된 시스템  > 1 : n  일 때 무한히 증가 : 불안정한 시스템 |  | < 1 : 안정한 시스템의 조건

z 평면의 영점과 극점(IV) 전달 함수의 안정성과 극점의 위치 : 허수 극점 단위 원 밖에 한 개 이상의 극점을 갖고 있다면 n   가 됨에 따라 발산  < 1 : n  일 때 0으로 감소 : 안정된 시스템  > 1 : 무한히 증가 : 불안정한 시스템 |  | < 1 : 안정한 시스템의 조건

극점과 영점의 극좌표계 표현(I) 예: 공액 복소 극점쌍 r < 1 일때만 안정 그림 4.4(a) 극점의 반지름과 각도 : 극점의 위치 : 전달 함수 : 이산방정식 : r < 1 일때만 안정 그림 4.4(a)

극점과 영점의 극좌표계 표현(II) 예: 그림 4.2 실수 극점 : 공액 복소 극점쌍 : 그림 4.2 극점이 단위 원 안에 있으므로 n   로 갈 때 시간 함수는 0으로 수렴

극점과 영점의 극좌표계 표현(III) Z 평면의 극점과 영점에 관한 추가사항 안정성과 단위 원에 대한 설명은 극점에 대해서만 적용되며 영점의 위치는 시스템의 안정성과 아무 관계가 없으며 아무 곳에 위치하여도 좋다 Z 평면의 원점에 위치한 영점 또는 극점에 관한 것으로서 이 값들은 순수하게 시간의 전진 또는 지연에만 영향을 미칠 뿐 프로세서의 신호의 특징에는 아무런 영향을 미치지 않는다 최소 지연 시스템 : 영점과 극점의 수가 같을 때 극점의 수가 많을 때는 원점에 영점을 추가 전달 함수가 극점보다 많은 수의 영점을 가질 때는 비 코졀 시스템이 된다 이때는 원점에 극점을 추가하여 영점과 극점의 수가 같도록 하여야 한다

z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정(I) 스펙트럼 특성은 항상 주파수 축상에서 간격으로 반복 구간 : z 평면의 단위 원 상에서 한번 회전 하는 구간 그림 4.5

z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정(II) 의 분석 : 영점 벡터 : 영점으로부터 단위 원 상의 관찰 주파수 점까지의 벡터 극점 벡터 : 극점으로부터 단위 원 상의 관찰 주파수 점까지의 벡터 스펙트럼의 진폭 : 영점 벡터의 크기 / 극점 벡터의 크기 스펙트럼의 위상 : 영점 벡터의 위상 - 극점 벡터의 위상 그림 4.6(a)

고역 필터 그림 4.6(b)

z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정(III) 스펙트럼 함수의 진폭은 모든 영점 벡터의 길이의 곱을 모든 극점 벡터의 길이의 곱으로 나눈 값과 같다. 추가적인 이득요소는 고려되어야 하지만 그것은 단지 함수의 모양이 아닌 크기만 변화시킨다. 위상은 모든 영점 벡터의 위상들의 합에서 모든 극점들의 위상들의 합을 뺀 것과 동일하다. 극점 가까이 갈수록 진폭 함수는 커진다 영점 가까이 갈수록 진폭 함수는 작아진다 단위 원 상의 영점 : 해당 주파수 성분을 완전히 제거한다 단위 원 상의 극점 : 해당 주파수에서 발진

1차, 2차 선형 시불변 시스템(I) h1 h2 하나의 실수 극점 하나의 실수 영점 1차 시스템 2차 시스템 2개의 실수 또는 공액 복소쌍 극점 2개의 실수 또는 공액 복소쌍 영점 h1 h2

1차 시스템  양의 실수축 (0 < < 1) :  = 0  저역 통과 시스템 그림 4.9  음의 실수축 (< 0) :  =   고역 통과 시스템 극점이 단위원 가까이 이동하면 최고 이득이 증가 대역폭 감소 단위 임펄스 응답이 서서히 감소

2차 시스템  최고 이득은 중심주파수는 에 의하여 결정됨  주파수 선택성 또는 대역폭은 변수 r에 의하여 결정됨  최고 이득은 중심주파수는 에 의하여 결정됨  주파수 선택성 또는 대역폭은 변수 r에 의하여 결정됨 그림 4.10

H(n)  임펄스 응답 최고 이득이 주파수  = 에서 발생한다고 가정

그림 4.11

대역폭 낮은 주파수 선택성 짧은 임펄스 응답 부호가 반전하는 임펄스 응답 단위 원에 근접 단위 원에서 약간 떨어짐 a b c d r=0.9  = 0 r=0.99  = 25 r=0.8  =110  = 180 저역 통과 시스템 대역 통과 시스템 고역 통과 시스템