8.회전 운동 © 2014 Pearson Education, Inc.

8. 회전 운동 8.1 각 물리량 8.2 등각가속도 8.3 미끄러짐 없는 굴림 운동 8.4 회전력 8.5 회전 동역학; 회전력과 회전 관성 8.6 회전 동역학에서 문제 해결 방식 8.7 회전 운동 에너지 8.8 각운동량 및 각운동량의 보존 8.9 각 물리량의 벡터 특성

8장 주요용어 강체(rigid object) 각가속도(angular acceleration ) 8장 주요용어 . 강체(rigid object) 각가속도(angular acceleration ) 회전축(axis of rotation) 각가속도(average angular acceleration) 각위치(angular position) 순간 각가속도(instantaneous angular acceleration) 라디안(radian) 각변위(angular displacement) 진동수(frequency) 각속도(angular velocity) 주기(period) 평균 각속도(average angular velocity) 등각가속도(constant angular acceleration) 순간 각속도(instantaneous angular velocity) 미끄러짐 없는 굴림 운동(rolling motion without slipping)

8장 주요용어 지레 팔(lever arm) 각운동량(angular momentum) 모멘트 팔(moment arm) 8장 주요용어 . 지레 팔(lever arm) 각운동량(angular momentum) 모멘트 팔(moment arm) 각운동량 보존 법칙(law of conservation of angular momentum) 회전력(torque) 회전관성(moment of inertia) 오른손 규칙(right-hand rule) 회전 운동 에너지 (rotational kinetic energy)

8-1 각 물리량 순수하게 회전운동을 하는 물체의 모든 점은 회전축(O) 주위에서 반지름이 𝑟인 원운동을 한다. 축을 지나는 직선 위의 모든 점들은 같은 시간에 같은 각도를 돌아간다. 라디안 단위의 각도 θ 의 정의: 여기서 𝑙 은 호의 길이이다. 𝜃= 𝑙 𝑟 (8-1a) 𝑙=𝑟𝜃 (8.1b) © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 1.1 자전거 바퀴 자전거 바퀴가 4.50회전을 했다. 바퀴가 회전한 각을 라디안으로 계산하라. 1 rev = 360° = 2p rad = 6.28 rad을 이용하라. 풀이 4.50회전 = (4.50 rev)(2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑣 ) = 9.00 𝜋 rad = 28.3 rad © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.2 사냥하는 새 어떤 새는 3× 10 −4 rad 정도의 각에 해당하는 물체를 분별할 수 있는 시력을 갖고 있다. 예제 8.2 사냥하는 새 어떤 새는 3× 10 −4 rad 정도의 각에 해당하는 물체를 분별할 수 있는 시력을 갖고 있다. 이 각이 몇 도(°)에 해당하는가? 이 새가 100 m 상공에서 지상의 물체를 분별한다면 물체의 크기는 얼마인가(그림8.2a)? © 2014 Pearson Education, Inc.

평균 각속도는 총 각도변위를 시간으로 나눈 것으로 정의한다. 각 변위: Δθ = θ2 – θ1 평균 각속도는 총 각도변위를 시간으로 나눈 것으로 정의한다. 순간 각속도: 𝜔 = ∆𝜃 ∆𝑡 (8−2𝑎) 𝜔= lim ∆𝑡→0 ∆𝜃 ∆𝑡 (8−2𝑏) ※ 강체 내의 모든 점은 같은 각속도로 회전한다 © 2014 Pearson Education, Inc.

평균 각가속도: 각속도의 시간 변화율: 순간 각가속도: 𝛼 = 𝜔 2 − 𝜔 1 ∆𝑡 = ∆𝜔 ∆𝑡 (8−3𝑎) 𝛼= lim ∆𝑡→0 ∆𝜔 ∆𝑡 (8−3𝑏) © 2014 Pearson Education, Inc.

물체의 모든 점은 각속도를 𝜔 , 선속도를 𝑣 라고 하면 이들 사이의 관계는 다음과 같다. 𝑣= ∆𝑙 ∆𝑡 =𝑟 ∆𝜃 ∆𝑡 =𝑟𝜔 (8-4) © 2014 Pearson Education, Inc.

따라서 회전 축에서 멀리 떨어진 물체는 더 빨리 운동한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

회전하는 물체의 각속도가 변한다면 그것은 접선 가속도를 갖게 된다. 각가속도가 일정하더라도 물체의 각 점은 구심가속도를 갖는다. (8-5) (8-6) © 2014 Pearson Education, Inc.

선운동 물리량과 회전운동 물리량 사이의 관계 © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.3 각속도와 선속도 정지해 있던 회전목마가 t = 0인 순간부터 𝑎=0.060 rad/ 𝑠 2 의 일정한 각가속도로 8.0 s 동안 가속됐다. t = 8.0 s인 순간, 회전목마의 각속도와 중심으로부터 2.5 m 떨어진 위치 P에 있는 아이의 선속도를 계산하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.4 각가속도와 선가속도 예제 8.3에서 회전목마에 앉아 있는 아이의 (a) 접선 가속도, (b) 구심 가속도, (c) 전체 가속도를 구하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

진동수: 초당 회전 수이다. 진동수의 단위는 Hz 표시한다. 1 Hz = 1 s−1 주기: 한 회전에 걸리는 시간이다. 진동수와 주기 진동수: 초당 회전 수이다. 진동수의 단위는 Hz 표시한다. 1 Hz = 1 s−1 주기: 한 회전에 걸리는 시간이다. 𝑓= 𝜔 2𝜋 곧 𝜔=2𝜋𝑓 (8.7) 𝑇= 1 𝑓 (8.8) © 2014 Pearson Education, Inc.

8-2 등각가속도 등각가속도에 대한 운동방정식은 각도에 관한 물리량을 선운동량에 대입한 식에 과 같다. 원운동 선운동 등각가속도 𝛼, 등가속도𝑎) © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.5 원심 분리기의 가속도 정지해 있던 원심 분리기가 30 s 동안 20,000 rpm으로 가속된다. 예제 8.5 원심 분리기의 가속도 정지해 있던 원심 분리기가 30 s 동안 20,000 rpm으로 가속된다. 평균 각가속도는 얼마인가? 각가속도가 일정하다고 가정할 때, 가속하는 동안 원심 분리기는 몇 회전하였는가? © 2014 Pearson Education, Inc.

8-3 구르는 운동 (미끄러짐 없이) 바퀴가 미끄러지지 않고 구른다. 땅에 닿은 점 P 는 순간적으로 정지하고 중심은 𝑣로 움직인다. 같은 바퀴를 C 가 정지한 기준계에서 보면 P는 −𝑣 로 움직인다 선속력과 각속력의 관계 𝑣=𝑟𝜔 © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.6 자전거 자전거의 속력이 𝑣 0 = 8.40 m/s인 순간부터 일정하게 감속하여 정지하기 까지 115 m를 이동했다(그림 8.9). 바퀴의 지름은 68.0 cm이다. 처음 순간(t = 0)의 바퀴의 각속도, 정지할 때까지 바퀴가 회전한 횟수, 바퀴의 각가속도, 정지할 때까지 걸린 시간을 구하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

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8-4 회전력 물체를 회전시키기 위해서는 힘이 필요하다. 회전은 힘이 작용한 위치와 방향에 모두 관계된다. 회전축으로 부터 힘이 작용한 선 까지의 수직거리를 지레 팔 또는 모멘트 팔이라 부른다. © 2014 Pearson Education, Inc.

지레의 팔이 길면 길 수록 물체를 돌리기 쉽다. © 2014 Pearson Education, Inc.

각가속도는 힘과 지레 팔을 곱한 값에 비례한다. 𝛼 ∝ 𝜏 회전력(torque) 또는 돌림힘 각가속도는 힘과 지레 팔을 곱한 값에 비례한다. 𝛼 ∝ 𝜏 𝐅 A 에 대한 지레 팔의 길이 손잡이로부터 돌쩌귀까지의 거리 𝐅 D 의 지레의 팔은 0이고, 𝐅 C 의 팔의 길이는 그림 b와 같다. 𝜏 = 𝑟 ⊥ 𝐹 (8.10a) 𝜏 = 𝑟 𝐹 ⊥ (8.10a) © 2014 Pearson Education, Inc.

𝜏 = 𝑟 𝐹 sin 𝜃 (8.10c) 단위 : m•N © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.7 이두박근의 회전력 이두박근은 그림처럼 구부린 아래팔(하박)에 수직 방향의 힘을 작용한다. 근육이 팔꿈치로부터 5.0 cm 떨어져 붙어 있다고 가정하고, 그림 8.14a와 (b) 8.14b에 대해 각각 팔꿈치 관절을 관통하는 회전축에 대한 회전력을 구하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

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회전축이 기울어지도록 작용하는 힘 회전축에 수직인 평면에 작용하는 𝐅 의 유일한 성분인 𝐅 ⊥ 는 바퀴가 회전축에 대해 가속하도록 한다. 회전축과 평행한 성분인 𝐅 ∥ 는 회전축 자체를 움직이려고 한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

8-5 회전동역학; 회전력과 관성 모우멘트 𝜏 = 𝑚 𝑟 2 𝛼 8.12 . F = ma 에 의한 알짜 회전력 τ = mr2α . 이것은 질점에 관한 식이다. 크기가 있는 물체는 어떻게 될까? 물체 전체에 대한 회전력: 𝜏 = 𝑚 𝑟 2 𝛼 8.12 . I = 𝑚 𝑟 2 = 𝑚 1 𝑟 1 2 + 𝑚 2 𝑟 2 2 + … (8.13) . (관성모멘트, 회전관성) 𝜏 = I𝛼 (8.14) . © 2014 Pearson Education, Inc.

회전체의 회전관성 I = Σmr2 은 질량이 같은 물체라도 질량분포가 회전축에서 더 멀면 회전관성이 더 커진다. 회전관성은 질량분포가 문제가 된다 회전체의 회전관성 I = Σmr2 은 질량이 같은 물체라도 질량분포가 회전축에서 더 멀면 회전관성이 더 커진다. © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.8 질량 무시 가능한 막대 위의 물체 : 축에 따른 관성 모멘트 그림같이 질량을 무시할 수 있는 막대에 5.0 kg과 7.0 kg 물체가 4.0 m 떨어져 있다. (a) 중간 지점을 관통하는 축에 대해 회전할 때, (b) 5.0 kg인 물체의 왼쪽으로 0.50 m 떨어진 축에 대해 회전할 때 계의 관성 모멘트를 계산하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

질량 M이 균일하게 분포된 물체들의 관성 모멘트 © 2014 Pearson Education, Inc.

8-6 회전동역학 문제풀이 그림을 그려라. 어떤 계를 포함할 지 결정하여라. 고려대상인 각 물체에 작용하는 힘과 힘이 작용하는 위치를 포함하여 자유물체 도형을 그려라. 회전축을 구하라: 축 주위의 회전력을 계산하여라. © 2014 Pearson Education, Inc.

회전에 대한 뉴턴의 제2법칙을 적용하여라. 회전관성이 주어지지 않았으면 다음 단계를 시작하기 전에 회전관성을 구하여야 한다. 병진에 대하여 뉴턴의 제2법칙을 적용하여라. 필요하면 다른 법칙과 원리를 적용하여라. 풀이하여라. 구한 답의 단위와 유효숫자를 점검하여라. © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.9 무거운 도르래 질량 M = 4.00 kg 반지름 R = 33.0 cm인 도르래에 감긴 줄에 15.0 N의 힘 F 𝑇 가 작용한다. 도르래는 정지 상태로부터 일정하게 가속하며, 3.00 s일 때 도르래의 각속력이 30.0 rad/s이다. 축에 작용하는 마찰 회전력이 𝜏 = 1.10 m·N일 때, 도르래의 관성 모멘트는 얼마인가? 도르래는 자신의 중심에 대해 회전하고 있다. 15.0 N © 2014 Pearson Education, Inc.

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예제 8.10 도르래와 양동이 도르레에 15.0 N의 힘을 가하지 않고 무게가 𝑤 = 15.0 N( 𝑚=𝑤/𝑔 = 1.53 kg)인 양동이를 줄에 매달았다고 하자. 줄의 질량은 무시하고, 줄이 늘어나거나 도르래에서 미끄러지지 않는다고 가정하자. 도르래의 각가속도 𝛼와 양동이의 가속도 a를 구하라. 마찰에 의한 회전력은 여전히 𝜏 𝑓𝑟𝑖 = 1.10 m·N이다. 풀이: 회전 운동에 대한 뉴턴 제이 법칙 Σ𝜏=𝐼𝛼 는 도르래에 적용하고, 병진 운동에 대한 뉴턴 제이 법칙인 Σ𝐹=𝑚𝑎 을 양동이에 적용한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

8-7 회전운동에너지 회전체의 운동에너지는 질점 운동에너지 합이고 𝑣=𝑟𝜔 을 이용하면 𝐾𝐸=Σ 1 2 𝑚 𝑣 2 =Σ 1 2 𝑚 𝑟𝜔 2 = 1 2 Σ( 𝑚 𝑟 2 ) 𝜔 2 Σ 𝑚 𝑟 2 =𝐼 이므로 회전운동운동에너지는 . 병진운동을 하면서 회전하는 물체의 운동에너지는 𝐾𝐸= 1 2 I 𝜔 2 (8.15) KE= 1 2 𝑀 𝑣 CM 2 + 1 2 𝐼 CM 𝜔 2 (8.16) © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.11 경사면을 굴러 내려가는 구 속이 꽉 찬 구 높이 H인 곳에 정지해 있던 구가 출발하여 미끄러짐 없이 경사면을 따라 굴러 내려갈 때 경사면 바닥에 도착하는 순간 구의 속력은 얼마인가? 또 구르지 않고 마찰이 없는 경사면을 따라 미끄러져 내려올 때의 속력은 ? 두 결과를 비교하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

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평면 위에서 오른쪽으로 굴러가는 구. 에너지보존법칙을 사용할 때 병진 운동에너지와 회전운동에너지를 모두 고려해야 한다. 팽이에서 모든 점이 같은 퍼텐셜 에너지를 갖지만 팽이가 그 기울기에 이르는 데 걸리는 시간은 회전관성이 얼마인가와 관련 된다. 오른 쪽으로 굴러가는 구

𝑊= 𝜏Δ𝜃 (8-17) 바퀴가 각도 Δ𝜃를 운동하는 동안 회전력이 한 일: : 𝑊= 𝜏Δ𝜃 (8-17) © 2014 Pearson Education, Inc.

8-8 각운동량과 그 보존법칙 선운동량과 유사하게 각운동량 𝐿을 정의 할 수 있다. 총 회전력은 각운동량의 변화율로 쓸 수 있다. 만약 물체의 알짜 회전력이 0이면 총 각운동량은 보존된다. Δ𝐿=𝐼 𝜔 (8-18) 𝜮𝝉= 𝜟𝑳 𝜟𝒕 (8-19) 𝐼𝜔=𝐼 𝜔 0 = 일정 (8.20) © 2014 Pearson Education, Inc.

내력으로 회전관성이 변할 수 있는 계는 그들의 회전 율도 변한다: © 2014 Pearson Education, Inc.

예제 8.12 자동차 클러치 클러치는 두 개의 원판으로 구성되어 있어 축을 압축하면 두 단면이 연결되며 서로 압축한다. 반지름 R = 0.60 m, 질량 𝑀 𝐴 = 6.0 kg, 𝑀 𝐵 = 9.0 kg인 두 판이 처음에는 분리되어 있다(그림 8.28). 정지 상태에서 가속된 판 A의 각속도는 시간 간격 Δ𝑡 = 2.0 s 후에 𝜔 1 = 7.2 rad/s가 된다. 판 A의 각운동량과 판 A가 정지 상태서 𝜔 1 까지 가속되는 데 필요한 회전력을 계산하라. 처음에 정지 상태에 있지만 마찰 없이 자유롭게 회전할 수 있는 판 B가 자유롭게 회전하고 있는 판 A와 단단히 접촉하여 두 판이 일정한 각속도 𝜔 2 로 함께 회전한다. 𝜔 2 는 𝜔 1 보다 상당히 작다. 왜 이런 일이 벌어지며, 𝜔 2 는 얼마인가? © 2014 Pearson Education, Inc.

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8-9 각도 물리량의 벡터 특성 각속도 벡터는 회전축을 따르는 방향을 가리킨다. 각속도의 방향은 오른손 규칙으로 알아낼 수 있다. © 2014 Pearson Education, Inc.

각가속도와 각운동량 벡터도 회전축을 따르는 방향을 가리킨다. © 2014 Pearson Education, Inc.

8장의 요약 각도는 라디안 단위로 측정한다. 전체 원은 2π 라디안이다. 각속도는 각도의 시간변화율이다. 각가속도는 각속도의 시간변화율이다. 각속도와 각가속도는 선속도와 선거속도와 관계가 있다. © 2014 Pearson Education, Inc.

8장의 요약 진동수는 초당 회전수로 정의한다.주기는 한 진동에 걸리는 시간이다. 진동수는 초당 회전수로 정의한다.주기는 한 진동에 걸리는 시간이다. 등각가속도인 회전운동 방정식은 등가속도 직선운동 방정식과 같은 형태이다. 회전력은 힘과 지레 팔의 곱이다. 회전관성은 물체의 질량 뿐만 아니라 회전축 주위에 질량이 분포하는 방법에 따라서 변한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

8장의 요약 각가속도는 회전력에 비례하고 회전관성에 반비례한다. 회전하는 물체는 회전운동에너지를 가진다. 만약 병진운동도 한다면 총 운동에너지는 병진운동에너지에 회전운동에너지를 더해야 한다. 각운동량. L = Iω 물체에 작용하는 알짜 회전력이 없으면 각운동양은 변하지 않는다. © 2014 Pearson Education, Inc.