Ch. 10 벡터적분법. 적분정리 적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 고체에 대한 적분으로 확장 : 고체역학, 유체흐름, 열역학에서 공학적 기본 응용으로 활용 적분의 변환은 계산을 간단히 하거나, 유용한 일반적인 공식을 얻기 위해 수행 예. 퍼텐셜 이론(Potential Theory) 적분변환 공식 : Green의 공식, Gauss 공식, Stokes 공식

10.1 선적분 선적분의 개념: 미적분학에서 공부한 정적분의 간단한 일반화 선적분(Line Integral) 또는 곡선적분(Curve Integral) : 피적분함수(Integrand)를 공간(혹은 평면)내의 곡선을 따라 적분. 적분경로(Path of Integration) : 곡선 일반적인 가정 : 선적분의 모든 적분경로를 구분적으로 매끄럽다(Piecewise Smooth) 선적분의 정의와 계산 곡선 C : r(t)에서 벡터함수 F(r)의 선적분 :

10.1 선적분 Ex.1 평면에서 선적분의 계산 이고 C가 A에서 B까지의 원호일 때 선적분의 값을 구하라 < Example 1 >

10.1 선적분 선적분의 일반적인 성질 방향을 유지하는 매개변수변환 : 경로 C 상에서 같은 양의 방향을 가지는 C의 어떤 표현식에서도 선적분은 같은 값을 가진다.

10.1 선적분 Ex.3 변하는 힘에 의해 행하여진 일 직선분 d를 따른 변위에서 일정한 힘 F에 의한 일 이다. 곡선 C : r(t)를 따르는 변위에서 힘 F가 변할 때, 행해진 일 W는 C의 작은 현을 따른 변위에서 행해진 일의 합의 극한으로 정의할 수 있다. 선적분으로 W를 정하는 것과 같다.

10.1 선적분 Ex.4 행해진 일은 운동에너지에서 증가와 같다. F가 힘으면 선적분은 일이다. t를 시간이라 하면 는 속도이다.

10.1 선적분 선적분의 다른 형식 값이 벡터인 선적분 : Ex.5

< Proof of Theorem 2 > 10.1 선적분 경로 관련성 선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다. Ex < Proof of Theorem 2 >

10.2 선적분의 경로 무관성 경로 무관성 공간의 영역 D에서 가 연속인 선적분은 만약 가 어떤 함수 f의 10.2 선적분의 경로 무관성 경로 무관성 공간의 영역 D에서 가 연속인 선적분은 만약 가 어떤 함수 f의 기울기이면 영역에서 경로에 무관하다. 영역 D의 모든 닫힌 곡선에서 선적분의 적분값이 0이면, 적분은 영역 D에서 경로 무관하다. 미분형식 가 영역 D에서 연속적인 계수함수 를 가지고 완전하면, 선적분은 영역 D에서 경로 무관하다. 완전(Exact) 영역 D의 모든 곳에서 미분가능한 함수 f가 존재하여 의 관계가 성립

10.2 선적분의 경로 무관성 Ex.1 경로 무관성 적분 가 임의 영역에서 경로 무관함을 보이고 10.2 선적분의 경로 무관성 Ex.1 경로 무관성 적분 가 임의 영역에서 경로 무관함을 보이고 A:(0,0,0)에서 B:(2,2,2)까지 적분값을 구하라. 따라서 적분은 경로와 무관하다.

10.2 선적분의 경로 무관성 완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준 선적분 에서 10.2 선적분의 경로 무관성 완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준 선적분 에서 가 영역에서 연속적이고, 연속적인 일차편미분도함수를 가진다고 하자. 미분형식 이 완전 curlF = 0이 성립하고 D가 단순연결 은 완전 ⇒ 선적분은 경로에 무관하다.

10.2 선적분의 경로 무관성 Ex.3 완전성과 경로 무관성. 퍼텐셜 결정 적분기호 내의 미분형식이 완전함을 보여라. 10.2 선적분의 경로 무관성 Ex.3 완전성과 경로 무관성. 퍼텐셜 결정 적분기호 내의 미분형식이 완전함을 보여라. 이 적분은 완전하며, 경로 무관하게 된다. 그리고 A:(0,0,0)에서 B:(1,π/4,2)까지의 적분 I의 값을 구하라. 완전성 :

10.2 선적분의 경로 무관성 Ex.4 단순연결성 가정에 대하여 10.2 선적분의 경로 무관성 Ex.4 단순연결성 가정에 대하여 만약 적분 I가 D에서 경로에 무관하면 D의 임의 닫힌 곡선에서 I=0이다. 따라서 D가 단순연결이 아니므로, D에서 I가 경로무관하다는 결론을 내릴 수 없다.

< Subdivision of a region R > 10.3 미적분학 복습 : 이중적분 이중적분 : 피적분함수를 평면의 닫힌 유한한 영역에서 적분 영역 R을 x축과 y축에 평행한 직선을 그어 분할한다. f (x,y)가 R에서 연속이고 R이 유한개의 매끄러운 곡선을 경계로 한다고 가정 ⇒ 수열 이 수렴, 극한을 영역 R에서의 f (x,y)의 이중적분(Doubld Integral)이라 한다. < Subdivision of a region R >

10.3 미적분학 복습 : 이중적분 이중적분의 성질 이중적분에 대한 평균값 정리(Mean Value Theorem) A는 R의 면적이다. < Formula >

10.3 미적분학 복습 : 이중적분 연속적인 두 적분에 의한 이중적분의 계산 < Evaluation of a double integral > < Evaluation of a double integral >

< Double integral as volume > 10.3 미적분학 복습 : 이중적분 이중적분의 응용 영역 R의 면적 : z = f (x,y)(>0)아래의 xy평면 영역 R 위로 이루어지는 체적 : f (x,y) : xy평면에서 질량분포의 밀도(=단위 면적당 질량) * R에서 전체 질량 : * R에서 질량의 무게중심(Center of Gravity) : * R에서 질량의 관성모멘트(Moments of Inertia) : * R에서 질량의 극관성 모멘트(Polar Moments of Inertia) : < Double integral as volume >

10.3 미적분학 복습 : 이중적분 이중적분에서 변수변환. Jacobian 이중적분에서 x, y에서 u, v로의 변수 변환공식 극좌표계 r과 θ로서, x = rcosθ, y = rsinθ

< Region R in Example 1 > 10.3 미적분학 복습 : 이중적분 Ex.1 정사각형 R에서 아래의 이중적분을 계산하라. R의 모양으로부터 변화 R은 정사각형 < Region R in Example 1 >

10.4 평면에서의 Green의 정리 평면에서 Green의 정리(이중적분과 선적분 간의 변화) R : xy평면에서의 닫힌 유계영역 C : 유한개의 매끄러운 곡선으로 영역 R의 경계 : R을 포함하는 어떤 영역의 모든 점에서 연속이고 연속인 편도함수 를 갖는 함수 적분의 방향 : C를 따라 진행할 때 R이 좌측에 있는 방향

10.4 평면에서의 Green의 정리 Ex.1 평면에서 Green 정리 검증

10.4 평면에서의 Green의 정리 Green 정리 응용 Ex.2 경계에서 선적분으로서의 평면 영역의 면적

10.4 평면에서의 Green의 정리 Ex.4 함수의 라플라스 작용소(Laplacian)인 이중적분의 법선도함수 선적분으로 변환

10.5 면적분에서의 곡면 곡면의 표현식 : 곡면 S의 매개변수 표현식 < Parametric representation of a surface > < Parametric representation of a curve >

< Parametric representation of a cylinder > 10.5 면적분에서의 곡면 Ex.1 원기둥의 매개변수 표현 반지름이 a이고 높이는 2이며 z축을 축으로 하는 원기둥 : 매개변수표현식 : * 매개변수 u와 v는 uv평면의 직사각형 에서 변함 * r의 성분 : * 곡선 v=상수 : 평행한 원들 * 곡선 u=상수 : 수직인 직선들 < Parametric representation of a cylinder >

< Parametric representation of a sphere > 10.5 면적분에서의 곡면 Ex.2 구의 매개변수 표현 < Parametric representation of a sphere >

< Tangent plane and normal vector > 10.5 면적분에서의 곡면 접평면과 곡면법선 접평면(Tangent Place) : 곡면의 한 점을 통과하는 모든 곡선의 접선벡터들이 형성하는 곡면 법선벡터(Normal Vector) : 접평면에 수직인 벡터 < Tangent plane and normal vector >

10.5 면적분에서의 곡면 접평면과 곡면법선 곡면 S는 와 에 의해 생성되는 유일한 접평면을 가지며, S의 점들에서 방향이 연속적인 유일한 법선 벡터를 가진다. Ex.4 구의 단위법선벡터

10.6 면적분 면적분

< Surface S in Example 1 > 10.6 면적분 Ex.1 곡면을 통과하는 유출량 포물 기둥면 을 통과하는 물의 유출량을 계산하라. 속도벡터 이고, 속도는 로 측정된다. < Surface S in Example 1 >

(B) Piecewise smooth surface < Orientation of a surface > 10.6 면적분 곡면의 방향 방향의 변경 : n을 –n으로 대체하는 것은 면적분에 -1을 곱하는 것관 일치한다. 매끄러운 곡면은 방향을 가질 수 있다(Orientable). 구분적으로 매끄러운 곡면도 방향을 가질 수 있다. (A) Smooth surface (B) Piecewise smooth surface < Orientation of a surface >

10.6 면적분 매끄러운 곡면의 충분히 작은 조각도 항상 방향을 가진다. 그러나 전체 곡면에 대해서 는 성립하지 않을 수도 있다. 예. 뫼비우스의 띠 < Möbius strip >

10.6 면적분 방향을 고려하지 않는 면적분 면적분의 다른 형식 : S의 면적 :

10.6 면적분 Ex.4 구의 면적

10.7 삼중적분. Gauss의 발산정리 삼중적분 : 공간의 닫힌 유한한 영역에서 함수의 적분 좌표평면(삼차원)에 평행한 평면으로 T를 분할한다. 각 상자에서 한 점 을 택하여 f (x,y,z)가 T를 포함하는 영역에서 연속이고 T는 유한개의 매끄러운 곡선에 의해 제한된다고 가정 ⇒ 수열 이 수렴, 극한을 영역 T에서의 f (x,y,z)의 삼중적분이라 한다.

10.7 삼중적분. Gauss의 발산정리 Gauss의 발산정리(삼중적분과 면적분 간의 변환) T : 닫혀있고 유한한 입체 F : 연속이며 T를 포함하는 영역에서 연속인 1차 편도함수를 가지는 벡터함수

< Surface S in Example 1 > 10.7 삼중적분. Gauss의 발산정리 Ex.1 발산정리에 의한 면적분의 계산 다음 적분을 계산하라. < Surface S in Example 1 >

10.7 삼중적분. Gauss의 발산정리 발산의 좌표계 불변 삼중적분의 평균값 정리 유한하고 단순연결된 영역 T의 연속함수 f (x,y,z)에 대해, T에서 만족하는 점 가 있다. 발산의 불변 영역에서 1차 편도함수가 연속인 벡터함수의 발산은 직각 좌표계의 특별한 선택에 독립이다.

10.8 발산정리의 응용 Ex. 1 유체흐름. 발산의 물리적 해석 발산정리로부터 벡터의 발사에 대한 직관적 해석을 얻을 수 있다. 이를 위해 상수의 밀도 ρ=1을 가지는 비압축성 유체의 일정한 흐름을 고려해 보자. * 흐름은 임의의 점 P에서의 속도벡터장 v(P)에 의해서 결정 * S : 공간상의 영역 T의 경계면 * n : S의 외향 단위 법선벡터 1. 단위시간당 S를 통하여 T로부터 외부로 흐르는 유체의 전체질량 : 2. T의 외부로 흐르는 평균유출량 : * 비압축성 장상류의 속도벡터 v의 발산은 대응점에서의 그 흐름의 발생강도 * T 내의 발생점이 없을 필요충분조건 : divv = 0

10.8 발산정리의 응용 Ex.2 열전도 모델화. 열전도 방정식 혹은 확산 방정식 물리적 실험에서는 물체에서 열은 온도가 감소하는 방향으로 전도되며, 전도율은 온도의 기울기에 비례한다는 것을 증명한다. 이것은 물체에서 열전도 속도 v가 다음의 식과 같음을 의미한다. 이러한 정보를 이용하여 열전도 방정식 혹은 확산 방정식이라고 불리는 열전도에 대한 수학적 모델을 세워라. 1. 단위 시간당 T로부터 나가는 열량 : 2. T 내의 열의 전체량 : H가 감소하는 시간 비율 : H가 감소하는 시간 비율은 T로부터 나가는 열의 양과 같아야 한다.

10.8 발산정리의 응용 퍼텐셜 이론. 조화함수 라플라스 방정식 : 퍼텐셜 이론 : 라플라스 방정식 해에 대한 이론 조화함수 : 연속적인 2차 편도함수를 갖는 라플라스 방정식의 해 조화함수의 기본성질 구분적으로 매끄럽게 닫히고 방향을 줄 수 있는 곡면에서 조화함수의 법선도함수 적분값은 0이 된다.

10.8 발산정리의 응용 Ex.4 Green 정리 f와 g가 스칼라함수이고 F = grad g가 영역 T에서 발산정리의 가정들을 만족한다고 가정

10.8 발산정리의 응용 조화함수 f : 영역 D에서 조화함수 S : D 내의 구분적으로 매끄럽고 닫힌 방향을 줄 수 있는 곡면 T : D에 속하는 S를 감싸는 전체영역 f 가 S의 모든 점에서 값이 0이다. ⇒ f 는 T에서 동일하게 0이다. 라플라스 방정식에 대한 유일성 정리 T : 발산정리 가정을 만족하는 영역 f : T와 T의 경계면 S를 포함하는 영역 D에서 조화함수 ⇒ f 는 S 상에서 값으로 T 내에서 유일하게 결정된다. Dirichlet 문제의 유일성 위의 가정이 만족되고 라플라스 방정식에 대한 Dirichlet 문제가 T에서 해를 가진다면, 이 해는 유일하다.

10.9 Stokes의 정리 Stokes의 정리(면적분과 선적분 간의 변환) C : S의 경계로 구분적으로 매끄럽고 단순히 닫힌 곡선 F : S를 포함하는 영역에서 연속인 편도함수를 가지는 연속인 벡터함수 성분으로 표시하면

< Surface S in Example 1 > 10.9 Stokes의 정리 Ex.1 Stokes의 정리 검증 Case 1 선적분 Case 2 면적분 < Surface S in Example 1 >