Chapter 1 미분방정식의 개요

1.1 자연과학 및 공학에서의 미분방정식 방정식 (equation)란 등호를 사용한 수식. 미분방정식 (differential equation)란 한 개 이상의 함수들에 대한 도함수들을 포함하는 방정식 등호를 사용한 수식

1.2 미분방정식의 발생 예제1.1 (뉴턴의 운동 제 2법칙) 뉴턴의 운동 제2법칙을 사용하여 운동방향으로 작용하는 힘F의 영향 하에서 직선을 따라 움직이는 질량이 m인 물체의 위치s 를 나타내는 미분방정식을 구하여라. (풀이) 속도 V 와 가속도a는 다음과 같이 정의된다.

이제 여행거리 s를 위한 미분방정식은 아래의 식과 같이 표현되는 뉴턴의 제 2법칙 “힘= 질량 *가속도”를 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다. 중력의 영향 하에 있는 물체으 자유낙하를 생각해보자. 공기저항 을 무시할 겨우 물체에 작용하는 유일한 힘은 중력이다. 위로 향 하는 수직 방향을 양의 z방향이라 하면 중력 F=-mg와 같이 표현 할 수 있는데, 이 때 g는 아래쪽 방향으로 작용하는 지역 중력가 속도이다. 식 1-2에서 s를 z로, F(t)를 –mg로 치환하고 정리하면 다음과 같다.

예제 1-2 뉴턴의 냉각법칙 질량이 m, 반지름이 R인 작은 고체 구리공이 있다. 초기온도 T(i)=20이라 하자. 이 공을 온도가 T(0)=70인 뜨거운 물로 가득찬 용기에 넣는다. 열이 물에서 공으로 전달 되며, 공의 온도는 상승 하기 시작한다. 상온에서 구리의 비열은 c=0.39 kJ/kg이다. 또한, 열 전달계수 h=0.02로 주어졌다. 즉 단위시간 당, 공의 단위표면 당, 물과 공사이의 단위 온도 차당 0.002kJ의 열이 구리로 전달 된다. 시간에 따른 공의 온도 변화를 결정하는 미분방정을 구하라. (풀이) 뉴턴의 냉각법칙과 에너지 보존법칙을 적용하여 구함. (1) 뉴턴의 냉각법칙 Q=hA( T(0)-T ) (1-4)

단, Q: 시점 t에서 공의 열전율 A:공의 표면적, h:공과 주변 환경 사이의 열전달계수 T:시점 t에서 공의 온도 T(0):주변환경의 온도 (2)에너지 보존법칙 안 공의 에너지 함량증가분= 동안 공에 전달되는 전체열 즉,

예제1-3 순간복리 연이률 r로 은행에 금액 A 를 저축한다. 순간복리를 적용할 경우,시점 t에서 금액 A에 관한 변화를 결정하는 미분방정식을 구하여라. (풀이) 복리 기간이 끝난 시점의 금액 증가는 금액A와 연 단위의 복리 기간에 비례하게 된다. 비례상수는 연이율 r이다. 따라서 순간복리의 결과로 시간에 따른 예금액의 변화를표현하는미분방정 식을 다음과 같이 구할 수 있음. 이 미분방정식에 관한 해는 단 시점 t=0에서 저축 금액

예제1-4 램버트의 흡수법칙 빛이나 다른 방사에너지가 어떤 매질을 통과 할 때 그 일부는 매질에 흡수된다. 매질 안에서 빛의 여행 거리가 길수록 흡수되는 빛의 양이 증가한다. 광선의 방사에너지를 E라고 하고, 여행거리 s 에 따른 광선의 약화 정도를 표현하는미분방정식을 구하여라. (풀이) 빛이난 다른 방사에너지는 균일한 매질을 통과 할 때, 전파하는 방향으로 단위 거리 당 일정비율의 방사에너지가 흡수된다. 즉, 단위 길이 당 방사에너지 흡수량은 방사에너지 크기에 비례한다. 따라서 흡수과정을 결정하는 미분 방정식은 다음과 같다. 단, 단위 길이 당 흡수되는 방사에너지 비율을 나타내며 흡수계수라 하고, 단위는 .

s : 전파방향의 거리, E : 광선의 방사에너지를 나타냄

예제1-5 화학반응 단일 물질반응에서 많이 사용되는 모델의 하나는 다음과 같다. 화학물질 농도의 변화율 = 단, C:화학물질의 농도, k:비례상수, n : 반응계수 . 아래의 반응식은 3-부틸 브로마이드와 물을 결합하여 3-부틸 알코올과 브로민화수소를 생성하는 1계 반응을 나타낸다. 실험데이터로부터 k의 값은 시간 당 k=0.0537로 추정된다. C(0)=0.1mol/L일 때 2시간이 지난 후의 농도를 구하여라

(풀이) 미분방정식에서 n=1 과 k=0. 0537을 사용하면 다음식을 얻는다 (풀이) 미분방정식에서 n=1 과 k=0.0537을 사용하면 다음식을 얻는다. 이 방정식은 식 1-8과 동일한 형태를 가지며, 같은 방법을 적용하면 해는 즉, 이 식에 t=2을 대입하면 다음을 얻는다.

예제1-6 RC회로 그림 1-7은 저항 한개와 축전기 한개를 포함하는 회로를 보여준다. 배터리 전압V는 상수미며, 초기에 축전기는 충전되어 있지 않는 상태이며, 초기에 스위치는 B지점에서 닫혀 있다. t=0에서 스위치는 갑자기 B지점에서 A지점으로 이동한다. 축전기 전압 를 시간의 함수로 표현하기 위한 미분방정식 모델을 구하여라. (풀이) 전압 는 시간에 대한 전류 의 적분을 축전기 용량 C로 나눈 값에 초기 전압을 더한 것인데, 이 때 초기 전압은 0 임. 따라서 다음 식을 얻는다. 양변에 미분하면

저항에 대한 전압-전류 관계로부터 다음 식을 구할 수 있다. 첫 번째 방정식에 이를 대입하고 정리하면 아래의 식을 얻는다.

예제 1-7 구멍을 통한 유출량 그림1-8은 밑면적이 A이고 수직 옆면들을 갖는 액체 용기를 보여 주고 있다. 부피 유입속도 로 액체를 용기상단으로 주입하는데, 사고로 용기의 옆면에 구멍이 생겨 그 구멍을 통하여 액체가 흘러 나오고 있다. 액체의 높이 h에 관한 미분방정식을 구하여라. (풀이) 구멍을 통한 유출량은 압력 차이의 제곱에 비례한다. 에너지 보존 법칙을 적용하면 단, 액체의 질량 밀도, 용기 안의 액체 질량 변화율, 질량유입량 , 질량 유출량

그러므로 다음식을 얻는다. 대기압력 가 용기를 둘러싸고 있으므로 구멍에 작용하는 수압은 가 된다. 따라서 토리첼리의 법칙으로 부터 따라서 구하고자 하는 모델은 다음과 같다

1-3 기본 개념의 복습 미분방정식의 학습을 위해서 미적분학의 기본 개념을 이해 1-3 기본 개념의 복습 미분방정식의 학습을 위해서 미적분학의 기본 개념을 이해 변수(variable): 조사가 진행되는 동안 다양한 값들을 취할 수 있는 것으로 a,b,c, d 등으로 표기. 상수(constant) : 값이 고정된 것으로 t,x,y,z 등으로 표기. 독립변수(independent variable): 자유롭게 값이 변할 수 있는 변수. 종속변수(dependent variable): 값이 다른 변수들의 값에 종속되어 변하는 것으로 함수(function)이라고도 함

연속함수와 불연속 함수 어떤 값 a에서 함수y가 연속이 되기 위한 조건들은 다음과 같다. a 에서 이 함수가 정의되며, 극한 가 존재하고, 이 극한은 a 에서 함수 값과 같아야 한다. 즉 , 함수가 a에서 연속이 아닐 경우, 이 함수는 a에서 불연속이라 함

도함수와 미분 어떤 점에서의 함수 y(x)에 대한 도함수(derivative)는 그 점에서의 함수 그래프에 대한 접선의 기울기와 같으며 다음과 같이 정의 함. 이 극한이 존재할 경우,함수는 x에서 미분가능(differentiable)이 함. 의 변화를 나타내며 이를 x의 증분(increment)라고 함. 의 변화를 나타내며 다음과 같이 표현 됨.

증분표시를 사용하여 함수에 대한 도함수를 다음과 같이 표현가능 독립변수 x의 증분 는 dx로 표현되기도 하는데, 이를 독립변수 의 미분(differential)이라고 함. 종속변수 y의 미분 dy를 다음과 같이 정의 됨.

일 경우 위의 식 1-16은 다음과 같이 정의 될 수 있다. 연쇄법칙(chain rule) : y=y(u) 이고 u=u(x) 이며 dy/dx 와 du/dx 가 모두 존재할 경우, x에 관한 중첩함수 y의 도함수는 다음과 같이 주어 짐. 예: 1계 도함수, 2계 도함수 일반적으로 (n-1)계 도함수에 대한 도함수를 y의 n계 도함수라 하고 고 으로 표현함

여기서 n은 양의 정수이며 도함수의 계수(order)라고 한다. 계수 n을 도함수의 차수(degree)와 혼동하지 않도록 주의. 편도함수(partial derivative) x, t 각각에 관한 함수 y(x,t)의 1계 편도함수를 로 두면 다음과 같이 정의 된다. 그리고

종속변수 y(x,t) 의 미분 dy는 다음과 같이 정의됨.(dx,dt : x,t의 미분) 적분(Integral) 도함수에 관한 적분을 다음과 같이 정의한다. x:적분변수 C:적분상수 식1-25의 적분은 고계 도함수로 확장 가능하다. 즉 새로운 변수 u(x)를 정의하고 이를 미분한 로 부터

미분방정식에 관한 기초인 다음 예제들을 잘 이해하기 바란다. Ex1. Ex2. Ex3.

1-4 미분방정식의 분류 상미분방정식(ordinary differential equation) :한 개의 독립변수에 관한 한 개 이상의 종속변수들의 상도함수만을 포함하는 미분 방정식 편미분방정식(partial differential equation):두 개 이상의 독립변수 에 관한 편도함수들을 포함하는 미분방정식 주의: 이 교재에서의 논의는 상미분방정식에 한정하여 논하기로 한다.

용의 정의 미분방정식의 계수:주어진 미분방정식에서 가장 높은 계수의 도함수 의 계수 선형: 종속변수와 그 도함수들의 차수가 모두 1이고, 이 항들의 계수 들이 모두 독립변수에만 종속될 경우 (즉, 멱승, 곱, 기타비선형 함수를 포함하는 미분방정식) 비선형: 선형이 아닌 경우 n계 선형미분방정식에 대해 장장 일반적인 형식은 아래와 같다.

y에 관한 선형미분방정식은 모든 x에 대하여 R(x)=0일 경우 동차방 정식(homogeneous equation)이라고 하고, 그렇지 않은 경우 비동 차방정식(non-homogeneous equation)이라고 함. n계 선형 동차방정식은 다음과 같은 일반형으로 표현 가능

예제1-8 미분방정식의 분류 주어진 7개의 미분방정식에 대해 계수를 밝히고, 선형인지 비선형 인지 표시하고, 또 선형방정식에 대해서는 동차형여부를 판단하라. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (풀이) (1)2계 선형 동차,(2) 2계 선형 비동차,(3) 2계 비선형, (4) 3계 비선형 ,(5) 2계 선형 동, (6) 2계 비선형 (7) 3계 비선형

1-5 미분방정식의 해 일반해(general solution) :한 개 이상의 임의의 상수를 포함하는 해는 주어진 미분방정식을 만족하는 함수 패밀리. 완전해(complete solution) : 해가 일반해의 특수한 사례로 부터 도출 될 수 있을 경우의 일반해 특수해(particular solution) : 일반해에서 임의 상수들에 특정 값들을 지정하여 구할 수 있는 해 특이해(singular solution) : 일반해의 임의 상수들에 특정 값을 지정하여 구할 수 없는 해

예제 1-9 미분방정식의 해 가 미분방정식 의 해임을 보여라. (풀이) 주어진 함수의 2계 도함수를 구하고 그기에 4배를 하여 빼주면 0이 된다. 이므로 주어진 미분방정식의 해임을 알 수 있다.

예제 1-10 미분방정식의 일반해 이 임의 상수 C의 값과 상관없이 미분방정식 의 해가 된다는 것을 보여라. (풀이) 주어진 함수의 1계도함수와 2계 도함수는 각 각 아래와 같다. 그러므로 이를 주어진 미분 방정식에 대입하면 식이 성립함을 알 수 있다.

구리 공을 온도가 T(0)인 뜨거운 물에 넣었을 때, 공의 온도 상승을 표현하는 미분방정식을 다시 살펴보자 (식 1-5). 이 식의 일반해는 단, T(0): t=0일 때의 공의 온도 , C: 임의의 상수 식 1-34의 결과는 C=T(0)=T(i) 일 때 초기값으로 대입을 통해서 다음과 같이 정리 된다. (1) 초기조건(initial condition) : 조건들이 모두 동일 한 독립변수 값에 대해 지정될 경우 …초기값 문제 (2) 경계조건(boundary condition) : 두 개 이상의 독립변수 값들에 대해 지정 할 경우 …경계값 문제

예제 1-11 물체의 자유낙하 공기 저항을 무시할 수 있을 경우, 물체의 자유낙하는 중립법칙에 지배된다. 그림 1-25에서 보여주듯이 물체의 처음 높이 z=h이고 시점0에서 자유낙하를 시작한다고 하자. 이 문제를 위한 수식을 구성하고 이 수식이 초깃값 문제인지 경계값문제인지 결정하라. (풀이) 수식 구성은 미분방정식의 작성,적절한 경계조건(초기조건) 등을 포함 한다. 이 문제를 위한 미분방정식은 예제1-1에서 다음과 같은 식으로 구한 바 있다(식1-3). z : 지면과 같은 기준높이로 부터의 수직거리, g : 중력가속도, 시점 t=0 에서 물체는 높이 h에 정지되어 있음 (V(0)=0)

따라서 이 문제를 위한 초기조건은 다음과 같이 표현 가능하다. 이 수식을 풀면 미지의 함수 z에 대한 유일한 해를 얻게 된다. 이 문제는 초기값 문제임을 쉽게 판단 할 수 있는데, 이는 두 개의 조건 모두 동일한 독립변수 값 t=0에 대해 지정되어 있기 때문 이다. 그러나 t=0에 대해 위치가 지정되어 있으면서 속도가 (또는 위치가 ) (t=15s와 같이) 또 다른 시점에 대해 지정된다면 경계값 문제가 될 것이다.

1-6 직접적분법에 의한 미분방정식의 풀이 예제 1-12 직접적분법에 의한 풀이 아래의 미분방정식들을 직접적분법으로 풀 수 있는지 결정하고, 가능한 것들에 대해서는 그 해를 구하여라. (a) (b) (c) (풀이)(a) 이 미분방정식은 직접적분법으로 풀 수 없음 (두 번째 항이 미지의 y를 포함하고 있기 때문) (b) 이 미분방정식은 직접적분법으로 풀 수 있음(선형이며 도함수 항은 하나뿐, 미지의 함수 y을 인수로 포함하는 항이 없음.)

한 번 적분한 결과 이다. 이를 한번 더 적분한 결과 는 (c) 이 미분방정식은 비선형이며 직접적분법으로 풀릴 것처럼 보이지 않은다. 그러나 이 방정식을 살펴보면 항 는 의 도함수임을 알 수 있음. 따라서 첫 번째 항의 적분은 이 되는데 이는 적분이 미분이 적분의 역이기 때문임. 따라서 이 방정식 안의 각 항은 적분이 가능하며 그 결과는 아래와 같다.

예제 1-13 물체의 자유낙하 낙하산을 장착한요원이 100m높이의 고층빌딩에서 뛰어 내리는데, 3초 후에 낙하산이 펴진다. 공기저항을 무시하고 낙하산이 펴질때, 낙하산 요원의 높이를 구하여라. ( 단,중력가속도 g = 9.8 m/s 임) (풀이) 이 문제에서 구하고자 하는 함수는 독립변수 t(시간)의 함수로 표현된 수직거리 z이다. 그림 1-27에서 보여주듯이 지면을 기준높이로 두고 지면으로 부터의거리 z를 측정함. 이 문제를 위한 미분방정식은 예제1-1에서 구한 바 있으며, 와 같은데(식1-3), 이 방정식은 2계 선형 비동차 미분방정식 임. 이 미분방정식은 2계 방정식으로 2번의 연속적인 적분으로 해를 구할 수 있으며, 이 해에는 두 개의 적분상수가 포함되어 있다.

주어진 미분방정식의 각 항을 적분한 결과는 다음과 같이 나타 남. 이 식에는 도함수가 포함되어 있어 아직 해는 아니다. 한 번 더 적분하면 이는 주어진 미분방정식의 일반해이다(그림1-28) 상수를 결정짓기 위해서 두개의 조건이 필요하다. 이 문제의 경우 초기에 (즉 t=0 일 때) 낙하산요원의 높이가 100m, 그 속도가 0이라는 사실이 주어져 있다. 예제 1-8에서 본 바와 같이 이 두개의 조건은 다음과 같다. 구한 방정식에 초기조건(경계조건)이 적용하여

첫 번째 조건은 일반해에 도함수를 취하고 그 안의 모든 t들과 dz/dt 들을 0으로 교체하라는 의미로 해석될 수 있다. 즉 다음과 같이 표현될 수 있다. 두 번째 조건은 일반해에서 모든 t들은 0으로 z(t)들은 100으로 교체하라는 의미로 해석될 수 있다. 즉 다음과 같이 표현될 수 있다(그림1-29).

에 대해 계산된 값들을 일반해에 대입하면 다음과 같다. 이는 시점0에서 지정된 두 개의 조건들도 만족하므로 구하고자 하 는 특수해이다. 이제 특수해에 g=9.8과 t=3s를 대입하여 결정한다.

예제1-14 배출 탱크에서 액체의 높이 옆면에 구멍이 있는 탱크에서 액체 높이가 h인 모델을 생각해보자. (식1-11, 그림 1-8) 유입속도 가 0인 경우에 대하여 h(t)에 관해 아래의 방정식을 풀어라. (풀이) =0 일 때의 모델은 다음과 같다. 상수들을 결합시킴으로써 위의 식을 간소화할 수 있다. 이제

이므로 이를 적분하면 다음 식을 얻을 수 있다. 따라서 해는 다음과 같다.

1-7 컴퓨터 패키지의 활용 (응용편) 교재 참조