선형대수학 도함수와 미분법 도함수의 응용 Prof. Jae Young Choi 선형대수학 (2015 Summer) Prof. Jae Young Choi

미분을 배우는 이유

영화속의 미분과 적분 스피드

3.1.1 함수의 극한 ※ 극한 f(a)의 존재성과 무관하게 a의 부근에 있는 x에서 함수 f(x)가 정의될 때 x → a ⇒ f(x) → L 이면, x가 a에 가까워질수록 함숫값 f(x)는 L에 수렴한다. 극한 ※ 극한의 유형 (a) f(x)가 x = a에서 정의되는 경우 (b) f(a) = L인 경우 (c) f(a) ≠ L인 경우 (d) f(x)가 x = a에서 정의되지 않는 경우

함수의 그래프를 이용하여 극한 를 구하라. 1 x y (1, 2) 2

좌극한과 우극한 ※ x → a의 구분 (1) x < a, x → a인 경우 좌극한 - 1 x y [Memo] 그림 부분 교재 검토 [Note]

함수 f(x) = |x|에 대하여 x = 0에서 극한을 구하라. x < 0이면 함수 f(x) = |x| = - x x > 0이면 함수 f(x) = |x| = x 이므로

발산 (1) x → a일 때, f(x) > 0, f(x) ↑이면, f(x)는 ∞로 발산한다. (2) x → a일 때, f(x) < 0, f(x) ↓이면, f(x)는 - ∞로 발산한다. (3) x → a+일 때, f(x) > 0, f(x) ↑이면, f(x)는 ∞로 발산한다. (4) x → a- 일 때, f(x) > 0, f(x) ↑이면, f(x)는 ∞로 발산한다. ※ 이 경우 x = a는 함수 f(x)의 수직점근선 된다.

무한대에서의 극한 (1) x → ∞일 때, f(x) → L이면, f(x)는 무한대에서 L로 수렴한다. (2) x → - ∞일 때, f(x) → L이면, f(x)는 음의 무한대에서 L로 수렴한다. (3) x → ∞일 때, f(x) > 0, f(x) ↑(f(x) < 0, |f(x)|↑)이면, f(x)는 무한대에서 ∞(- ∞)로 발산한다. (4) x → - ∞일 때, f(x) > 0, f(x) ↑ (f(x) < 0, |f(x)|↑)이면, f(x)는 음의 무한대에서 ∞(- ∞)로 발산한다. ※ (1), (2)의 경우 y = L은 함수 f(x)의 수평점근선이 된다.

다음 함수의 음의 무한대와 양의 무한대에서 극한을 구하라. 이므로 (1) (2) 자연지수함수의 성질에 의하여

5.2 극한의 성질 [정리 3-1] (기본 극한) 임의의 상수 k에 대하여 다음이 성립한다. (1) (2) [정리 3-2] (극한의 성질) 가 존재한다면 다음이 성립한다. (1) (2) (3) (4) (5) f(x) : 다항함수 f(x), g(x) : 다항함수

일 때, 다음 극한을 구하라.

a를 포함하는 근방에서(a는 제외 가능) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)이고 [정리 3-3] (압축정리) a를 포함하는 근방에서(a는 제외 가능) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)이고 이면, 이다. [정리 3-4] (합성함수의 극한) 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 이면 다음이 성립한다. X Y f Z g x y=f(x) z=g(f(x)) (gof)(x) = g(f(x)) z y

양의 실수 x에 대하여 -|x|≤ sin x ≤ |x|와 1 - cos x ≤ |x|가 성립한다 (2) cos x의 정의로부터 cos x ≤ 1이므로 0 ≤ 1 – cos x ≤ |x|이므로

3.1.3 지수함수와 로그함수의 극한

3.1.3 지수함수와 로그함수의 극한

다음 극한을 구하라.

삼각형 AOB ≤ 부채꼴 AOB ≤ 직각삼각형 AOC 3.1.4 삼각함수의 극한 부채꼴의 호의 길이와 넓이 우극한 0 < x < p/2이면 삼각형 AOB, 부채꼴 AOB, 직각삼각형 AOC의 넓이 삼각형 AOB ≤ 부채꼴 AOB ≤ 직각삼각형 AOC 호의 길이 : 호의 넓이 : 0 < x < p/2에서 sin x > 0, cos x > 0이므로 양변을 sin x로 나누고, 역수를 취하면 압축정리에 의하여 이다. 좌극한 - p/2 < x < 0에 대하여 x = - t라 하면, x → 0- 이면 0 < t < p/2, t → 0+이다.

[Note]

일 때, 함수 y = f(x)는 x = a에서 연속이라 한다. 3.1.5 함수의 연속성 함수 y = f(x)에 대하여 (1) f(a)가 존재 가 존재 (3) 일 때, 함수 y = f(x)는 x = a에서 연속이라 한다. y x a f(a) y = f(x) ※ x = a에서 불연속인 경우 f(a)가 존재안함 가 존재안함

3.1.5 함수의 연속성

※ 폐구간 [a, b]에서의 연속성 (1) (a, b)에서 연속 (2) 우측연속 : 좌측연속 : 이면, 함수 f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속이라 한다. 연속함수 : 정의역 안의 모든 x에서 연속인 함수 [정리 3-5] (연속성의 성질) f(x), g(x)가 x = a에서 연속이면 다음 함수들도 x = a에서 연속이다. (1) f(x) + g(x) (2) f(x) - g(x) (3) k f(x) (4) f(x) g(x) (5) f(x) /g(x) 단, g(a) ≠ 0

[정리 3-6] (합성함수의 연속성) 함수 g가 x = a에서 연속이고 함수 f 가 x = g(a)에서 연속이면 함성함수 f(g(x))는 x = a에서 연속이다. [정리3-75] (폐구간에서의 연속성) (1) 최대∙최소정리 : 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면, 이 구간에서 f(x)는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. (2) 중간값 정 리 : 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 f(a) ≠ f(b)이면, f(a) < k < f(b) 인 상수 k에 대하여 f(c) = k를 만족하는 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.

이 물체의 속도가 빛의 속도에 가까워지는 경우에, 물체의 질량은 다음과 같이 무한히 증가한다. ※ 물리학 - 상대성이론 상대성이론에서 정지상태에서 물체의 질량을 m0, 빛의 속도를 c라 할 때, 속도 v로 움직이는 물체의 질량은 다음과 같이 표현된다. 이 물체의 속도가 빛의 속도에 가까워지는 경우에, 물체의 질량은 다음과 같이 무한히 증가한다. [Memo] 이 부분 교재 검토 할 것

x의 증분 : x가 a에서 b까지 변화한 크기, Dx = b – a 3.2.1 도함수의 정의 ※ 미분계수 x의 증분 : x가 a에서 b까지 변화한 크기, Dx = b – a y의 증분 : x가 a에서 b까지 변함에 따라 y가 변한 크기, Dy = f(b) – f(a) 평균변화율 : , 그래프 위의 두 점 P(a, f(a)), Q(b, f(b))를 지나는 직선의 기울기 순간변화율 : b → a(Dx →0)일 때, 평균변화율의 극한을 나타내며, f ’(a)로 표시함. [메모] 오른쪽 그림에 대한 설명 기입할 것 평균변화율 순간변화율

순간변화율 : b → a(Dx →0)일 때, 평균변화율의 극한을 나타내며, f ’(a)로 표시함. 3.2.1 도함수의 정의 [메모] 오른쪽 그림에 대한 설명 기입할 것 순간변화율 : b → a(Dx →0)일 때, 평균변화율의 극한을 나타내며, f ’(a)로 표시함.

좌측미분계수 : 우측미분계수 : [Note] y = f(x)가 x = a에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 이다.

도함수 : f(x)의 미분가능한 임의의 점 x에서의 미분계수 또는 y y P P f(x) T f(x) T Q1 Q1 Q y = f(x) y = f(x) Q x x x x (a) 좌측도함수 (b) 우측도함수

[정리 3-8] (미분 가능성과 연속성) y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 x = a에서 연속이다. 역은 성립하지 않는다.

y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 x = a에서 연속이다. 역은 성립하지 않는다. [정리 3-8] (미분 가능성과 연속성) y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 x = a에서 연속이다. 역은 성립하지 않는다. 도함수 : f(x)의 미분가능한 임의의 점 x에서의 미분계수 또는 y y P P f(x) T f(x) T Q1 Q1 Q y = f(x) y = f(x) Q x x x x (a) 좌측도함수 (b) 우측도함수

3.2.2 미분법 [정리 3-9] (거듭제곱함수의 미분법) 상수 c와 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다. (1) (2) [정리 3-10] (기본 미분법) 두 함수 f(x)와 g(x)가 미분 가능하면 다음이 성립한다. (1) (2) (3) (4) [Note]

다음 함수의 도함수를 구하라.

[정리 3-12] (합성함수의 미분법; 연쇄법칙) [정리 3-11] (음의 정수 지수에 대한 도함수) 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다. [정리 3-12] (합성함수의 미분법; 연쇄법칙) 두 함수 y = f(u)와 u = g(x)가 미분 가능하면 합성함수 y = f(g(x))도 미분 가능하고, 다음이 성립한다. [정리 3-13] (역함수의 미분법) [메모] 연쇄법칙 증명 책에서 찾아서 정리하기 미분 가능한 함수 y = f(x)의 역함수 x = f -1(y)가 존재하고 f ’(x) ≠ 0이면, 역함수는 미분 가능하고 다음이 성립한다.

[정리 3-12] (합성함수의 미분법; 연쇄법칙) [메모] 연쇄법칙 증명 책에서 찾아서 정리하기 두 함수 y = f(u)와 u = g(x)가 미분 가능하면 합성함수 y = f(g(x))도 미분 가능하고, 다음이 성립한다.

[메모] 연쇄법칙 증명 책에서 찾아서 정리하기

[정리 3-13] (역함수의 미분법) [메모] 연쇄법칙 증명 책에서 찾아서 정리하기 미분 가능한 함수 y = f(x)의 역함수 x = f -1(y)가 존재하고 f ’(x) ≠ 0이면, 역함수는 미분 가능하고 다음이 성립한다.

[메모] 연쇄법칙 증명 책에서 찾아서 정리하기

다음 함수의 도함수를 구하라. (1) 이므로 (2) u = x2 – x라 하면 이고 이므로

함수 f(x) = x2, x ≥ 0에 대하여 다음 물음에 답하라. (1) 역함수 x = f -1(y)를 구하라. (2) [정리 3-14]를 이용하여 역함수의 도함수 dx/dy를 구하라. (1)에서 구한 역함수의 도함수를 이용하여 (f -1)’(9)를 구하라. (1) x ≥ 0에서 y = x2이라 하면, 이므로 (2) f ‘(x) = 2x이므로 (3) (1)에서 구한 도함수로부터

음함수의 미분 ※ 음함수 개념 복습

음함수의 미분 ※ 합성함수 미분 개념 복습

음함수의 미분

음함수의 미분

※ 음함수의 미분법 방정식 f(x, y) = 0에 대하여 y를 x의 함수로 간주할 때, dy/dx를 구하는 방법 ① y를 x의 함수로 간주하고, 양변을 x에 관하여 미분한다. ② 항을 한쪽 변으로 모아서 정리한다. ③ 에 관하여 방정식을 푼다. y2 – x = 0에서 y를 x의 함수라 할 때, x = 1에서 접선의 방정식을 구하라. 주어진 방정식 y2 – x = 0에서 x = 1이면 y = – 1 또는 1 접선의 기울기 : 접선의 방정식 :

[Note] 음함수의 미분법을 이용하면, 유리수 r에 대하여 (xr)’ = r xr-1이 성립하는 것을 알 수 있다. 일반적으로 실수 a에 대하여 (xa)’ = axa-1이 성립한다. ※ 매개변수 방정식의 미분법 [정리 3-14] (매개변수 방정식의 미분법) 매개변수 방정식 x = f(t), y = g(t)가 각각 미분 가능하고 f ‘(t) ≠ 0이면 다음이 성립한다. x = t + t2, y = t – t3일 때, dy/dx를 구하라.

※ 고계도함수 2계 도함수 : 3계 도함수 : n계 도함수 : y = xm, m은 자연수일 때, n계 도함수를 구하라. m번 미분하면 상수항만이 남으므로 상수항을 미분하면 0이 됨

3.2.3 지수함수와 로그함수의 미분법 ※ 지수∙로그함수의 미분법 복습 의 도함수 의 도함수

다음 함수의 도함수를 구하라.

3.2.4 삼각함수와 역삼각함수의 미분법 ※ 삼각함수의 미분법 의 도함수 의 도함수 의 도함수

삼각함수는 주어진 정의역에서 일대일 대응함수가 아니므로 역함수를 갖지 않는다 삼각함수는 주어진 정의역에서 일대일 대응함수가 아니므로 역함수를 갖지 않는다. 그러나 이 삼각함수들을 일대일 대응함수가 되도록 정의역을 제한하면 역함수를 갖는다. 2.4 역삼각함수 ※ 역사인함수 에서 y = sin x : 일대일대응함수 역함수 x = f -1(y)가 존재 x = f -1(y) = sin-1 y로 나타냄. arc-sine y로 읽는다. 삼각함수가 역함수를 갖도록 제한된 영역 y = sin x x = sin-1 y, 주치 (1) sin(sin-1 x) = x, - 1 ≤ x ≤ 1 (2) sin-1 (sin y) = y, x = sin y와 y = sin-1 x에 대하여 [Note]

※ 역코사인함수 0 ≤ x ≤ p 에서 y = cos x : 일대일대응함수 역함수 x = f -1(y)가 존재 x = f -1(y) = cos-1 y로 나타냄. arc cosine y로 읽는다. 주치 y = cos x x = cos-1 y, 0 ≤ x ≤ p (1) cos(cos-1 x) = x, - 1 ≤ x ≤ 1 (2) cos-1 (cos y) = y, 0 ≤ y ≤ p x = cos y와 y = cos-1 x에 대하여 [Note]

※ 역탄젠트함수 에서 y = tan x : 일대일대응함수 역함수 x = f -1(y)가 존재 x = f -1(y) = tan-1 y로 나타냄. arc tangent y로 읽는다. y = tan x x = tan-1 y, 주치 [Note] x = tan y와 y = tan-1 x에 대하여 (1) tan(tan-1 x) = x, - ∞ ≤ x ≤ ∞ (2) tan-1 (tan y) = y,

라 하면, 주치 0 ≤ x ≤ p에서 이므로 다음 그림과 같다. 를 구하라. 라 하면, 에서 을 만족하는 x를 구하는 것과 동일하고, 따라서 x = - p/4이다. 라 하면, 주치 0 ≤ x ≤ p에서 이므로 다음 그림과 같다. 3 1 x 라 하면, 에서 이므로 다음 그림과 같다. 동일하고, 따라서 x = p/6이다. 13 12 x 5

역시컨트함수 y = sec x x = sec-1 y, 0 ≤ x ≤ p, 주치 역코시컨트함수 y = cosec x x = cosec-1 y, , x ≠ 0 주치 역코탄젠트함수 y = cot x x = cot-1 y, 0 < x < p 주치

※ 역삼각함수의 미분법 의 도함수 의 도함수 의 도함수 이 부분에다 역삼각함수에 대한 내용 보충

※ 환경공학 - 소음 우리가 귀로 듣기에 매우 약한 소리의 강도는 1KHz에서 I0 = 10-12 watt/m2 이다. 강도 I인 소리의 소음(dB)은 L = 10log10(I/I0)로 정의한다. 락음악의 소음은 120dB이고 잔디를 깍는 기계의 소음이 106dB일 때, 이 기계에 대한 락음악의 소음의 강도에 대한 비를 구하라. 정상적인 대화수준의 소음인 50dB로 측정되는 순간의 소음의 변화율을 구하라. (1) 락음악과 잔디를 깍는 기계의 소음을 각각 I1, I2라 하면, (2) L = 50인 경우의 소음 I에 대한 공식 :

(1) f ‘(a) > 0이면 f(x)는 x = a에서 증가상태이다. 3.3.1 함수의 극대와 극소 증가상태 : 충분히 작은 h > 0에 대하여, f(a - h) < f(a) < f(a + h) 일 때, 증가상태 감소상태 : 충분히 작은 h > 0에 대하여, f(a - h) > f(a) > f(a + h) 일 때, 감소상태 f ‘(a) > 0 f ‘(a) < 0 [정리 3-15] (함수의 증감 판정법) 함수 f(x)가 x = a에서 미분가능 할 때, (1) f ‘(a) > 0이면 f(x)는 x = a에서 증가상태이다. (2) f ‘(a) < 0이면 f(x)는 x = a에서 감소상태이다.

극댓값 : 구간 I 안의 x ≠ a에 대하여 f(x) ≤ f(a)일 때, x = a에서 극대, 극댓값 f(a) y x 극대 극소 f ’(a)=0 f ’(b)=0 f ’(c) E a b c f ’(d) d [메모] 책에 내용을 참고해서 작성 [정리 3-15] 함수 f(x)가 x = a에서 극값을 가지면 f ‘(a) = 0이거나 f ‘(a)가 존재하지 않는다. [Note] x = a를 임계점이라 한다.

[정리 3-16] (1계 도함수 극값 판정법) 함수 f(x)가 임계점 x = a를 포함하는 적당한 구간에서 미분 가능하고, (1) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 +에서 –로 변하면, x = a에서 극댓값 f(a) (2) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 -에서 +로 변하면, x = a에서 극솟값 f(a) (3) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 변하지 않으면, 극값을 갖지 않는다. f(x) = x3 - 2x + 1의 극값을 조사하라. 임계점 : f ‘(x) = 3x2 – 2 = 0; x … f ‘(x) + − f(x) ↗ 극대 ↘ 극소

아래로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 증가할 때, 이 구간에서 아래로 볼록 3.3.2 함수의 볼록성과 극대∙극소 아래로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 증가할 때, 이 구간에서 아래로 볼록 위로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 감소할 때, 이 구간에서 위로 볼록 변곡점 : y = f(x) 위에서 볼록성이 변하는 점 x a b f ’(x)<0 f ’(x)>0 f ’(x)=0 [정리 3-17] (볼록성판정법) [메모] 책에서 관련 그림 확인할 것 함수 f(x)가 어떤 구간 I에서 2계 도함수가 존재할 때, 이 구간에서 (1) f ‘’(x) > 0이면, 구간 I에서 아래로 볼록이다. (2) f ‘’(x) < 0이면, 구간 I에서 위로 볼록이다. (3) x = a에서 변곡점을 갖는다면, f ‘’(a) = 0이거나 f ‘’(a)가 존재하지 않는다.

[정리 3-18] (2계 도함수 극값 판정법) 함수 f(x)에 대하여 f ‘(a) = 0이고, a를 포함하는 적당한 개구간에서 f ‘’(x)가 존재할 때, (1) f ‘’(a) > 0이면, 극솟값 f(a)를 갖는다. (2) f ‘’(a) < 0이면, 극댓값 f(a)를 갖는다. f(x) = e-xsin x, 0 ≤ x ≤2p에 대하여 (1) 임계점 (2) 변곡점 (3) 볼록성 (4) 극값 (5) 최댓값, 최솟값 (6) 그래프 (1) 임계점 : f ‘(x) = e-x (cos x - sin x ) = 0 ; cos x - sin x = 0 ; tan x = 1 ; (2) 변곡점 : f ‘’(x) = -2e-x cos x = 0 ; cos x = 0 ;

(3) 볼록성 : : 위로 볼록 : 아래로 볼록 (4) 극값 : : 극댓값 : 극솟값 y (5) 최댓값, 최솟값 : f(x) = e- xsin x f(0) = 0, f(2p) = 0 , 극값 극댓값 : 극솟값 : π 4 π 2 5π 4 3π 2 2π x

함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자. (1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속 3.4.1 평균값 정리 [정리 3-19] (Rolle의 정리) 함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자. (1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속 (2) f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능 (3) f(a) = f(b) 그러면 f ‘(c) = 0을 만족하는 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다. [정리 3-20] (평균값 정리) 함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자. (1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속 (2) f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능 그러면 를 만족하는 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다. [메모] 책에서 이 내용을 증명하는 부분 스캔하여 붙이기

함수 f(x) = x2에 대하여 다음 물음에 답하라. (1) 폐구간 [-1, 1]에서 롤의 정리를 만족하는 c를 구하라. (2) 폐구간 [-1, 3]에서 평균값 정리를 만족하는 c를 구하라. (1) 함수 f(x) = x2은 폐구간 [-1, 1]에서 연속이고 개구간 (-1, 1)에서 미분가능하다. 또한 f(-1) = f(1) = 1이므로 롤의 정리를 만족한다. 이때 f ‘(c) = 2c이므로 f ‘(c) = 0을 만족하는 c는 c = 0이다. (2) 함수 f(x) = x2은 폐구간 [-1, 3]에서 연속이고 개구간 (-1, 3)에서 미분가능하다. 따라서 f(x)는 평균값 정리를 만족한다. 이때 f ‘(c) = 2c이므로 다음을 만족하는 c는 c = 1이다.

f(a + h) = f(a) +h f ‘(a + q h) 3.4.2 평균값 정리를 이용해 근삿값 구하기 평균값 정리로부터 f(b) = f(a) + f ‘(c)(b - a), a < c < b 이제 b = a + h, q = (c - a)/(b - a)라 하면, 0 < q < 1, c = a + q h이고 f(a + h) = f(a) +h f ‘(a + q h) h ≈ 0이면 a + q h ≈ a이므로 f(a + h) ≈ f(a) +h f ‘(a) [정리 3-22] (근사식) [메모] 책에서 관련 내용을 찾아서 PT자료 보충할 것 테일러 시리즈 정리할 것 (1) (1+x)n ≈ 1+ nx (2) sin x ≈ x (3) cos x ≈ 1 (4) tan-1 x ≈ x (5) ln(1+x) ≈ x (6) ex ≈ 1+x

소수점 이하 네 자리에서 의 근삿값을 구하라. 라 하면 이고, a = 27, h = -0.5라 하면

3.4.3 로피탈의 정리 [정리 3-23] (L’Hospital의 정리) 함수 f(x), g(x)가 a를 포함하는 구간에서 미분 가능하고 g‘(a) ≠ 0이라 하자. (1) (2) 일 때, 가 존재한다면, 이다. [Note] 0 ∙ ∞, ∞ − ∞ 형태의 부정형은 0/0, ∞ / ∞ 형태로 변경 00, ∞0, 1∞ 형태의 부정형은 자연로그를 취하여 0/0, ∞ / ∞ 형태로 변경

다음 극한을 구하여라. (1) (2) f(x) =xsin x이라 하면,

평균값 정리로부터 f(x+Δx) = f(x) + f ‘(x) Δx x의 미분 : dx = Δx (변화율이 극소이므로) 3.4.4 미분 y x 평균값 정리로부터 f(x+Δx) = f(x) + f ‘(x) Δx x의 미분 : dx = Δx (변화율이 극소이므로) y의 미분 : f(x+Δx) - f(x) = dy = f ‘(x) Δx = f ‘(x) dx Δy ≈ dy [정리 3-23] (미분공식) [메모] 이 부분 책에서 찾아서 증명을 찾아서 정확하게 이해해야 한다.

[메모] 이 부분 책에서 찾아서 증명을 찾아서 정확하게 이해해야 한다.

[메모] 이 부분 책에서 찾아서 증명을 찾아서 정확하게 이해해야 한다.