제 5 장 보와 굽힘응력 학습목표 본 장에서는 보의 종류를 배우고 보에 힘이나 모멘트가 작용할 때 보의 제 5 장 보와 굽힘응력 학습목표 본 장에서는 보의 종류를 배우고 보에 힘이나 모멘트가 작용할 때 보의 임의 단면에 발생하는 전단력과 모멘트의 일반식을 자유물체도와 평형 방정식을 적용시켜 구하는 방법을 익히고 전단력 선도 및 굽힘모멘트 선도를 작성하는 방법을 배운다. 또한, 보에 외력이 작용할 때 보 내부에 생기는 굽힘응력 및 굽힘으로 인한 전단응력을 구하는 방법을 알아 본다.

5장 보(beam) 5-1 보의 종류 정의 : 보(beam)라 함은 보의 축선(軸線, 중심선)에 수직인 힘이 작용하고 보의 길이가 단면높이보다 훨씬 긴 것을 말한다. 보에 작용하는 하중 집중하중 (concentrated load) 분포 하중 (distributed load) (단위 : kgf/cm) [그림 5-1]

지지점의 종류 횡축으로는 저항이 없으므로 반력이 생기지 않음 횡축과 수직방향에서 반력이 생김 짝힘(couple)에 의하여 모멘트를 포함해서 세 개의 반력이 생김 [그림 5-2]

정정보(statically determinate beam) : 평형조건식만으로 미지의 반력들이 풀리는 보 부정정보(statically indeterminate beam) : 미지반력이 세 개 이상 있을 때는 평형조건식 외에 별도로 미지수의 수 만큼 조건식을 세워야 한다. 이런 보를 일켤음 simple beam built-up beam cantilever beam overhanging beam continuous beam [그림 5-3 ] 정정보 [그림 5-4] 부정정보 과잉반력(부정정수) : 미지반력에다 평형방정식을 뺀 나머지 반력

5-2 전단력과 굽힘모멘트 집중하중의 경우 (단면 D의 전단력) 전단력 : 임의 단면의 어느 한 쪽의 힘의 합성력 굽힘모멘트(bending moment) : 단면 E에 대해서 한 쪽에 있는 모멘트의 합성 [그림 5-5]

: 그림 5-6과 같이 mn단면을 중심으로 전단력 F와 굽힘 모멘트 M의 부호가 정해지면 정방향(+)이라고 약속한다. [그림 5-7] [그림 5-6] 부호의 방향 : 그림 5-6과 같이 mn단면을 중심으로 전단력 F와 굽힘 모멘트 M의 부호가 정해지면 정방향(+)이라고 약속한다. : 그림 5-7과 같이 내력과 모멘트들이 작용할 때는 그 부호를 정방향(+)이라고 한다.

(shearing force diagram) (bending moment diagram) 5-3 전단력 선도(SFD)와 굽힘모멘트 선도(BMD) 단순지지보에 집중하중이 있는 기본형인 경우 그림 (a)를 근거로 평형방정식을 적용 전단력 선도: SFD (shearing force diagram) 그림 (b) x1 떨어진 곳에서의 평형방정식을 적용 굽힘모멘트 선도: BMD (bending moment diagram) → A 지점을 원점으로 하는 x1의 1차식 그림 (c) x2 떨어진 곳에서의 평형방정식을 적용 [그림 5-8] → B 지점으로 원점으로 하는 x2의 1차식

2. 단순지지보에 분포하중이 있는 경우 ∑Py=0 → RA=RB=w0l/2 (RA,RB가 대칭) (x의 1차식) 2. 단순지지보에 분포하중이 있는 경우 ∑Py=0 → RA=RB=w0l/2 (RA,RB가 대칭) (x의 1차식) (x의 2차식) (최대 전단력) [그림 5-9] (최대 모멘트)

5-4 전단력 F와 모멘트 M과의 관계 a요소 같은 보에서 하중이 없는 구역의 미소요소 dx를 a b요소 분포하중이 있는 구역의 미소요소 dx를 b (미소량의 2차 항을 무시) c요소의 평형 집중하중 직하점의 요소 dx를 c F와 M사이의 관계는 M의 극치조건을 제시 dM/dx=F=0 인 곳에서 Mmax 위치, 크기 계산 [그림 5-10]

외팔보 상에 집중하중 P1, P2 이 작용시 SFD, BMD ? [예제 5-1] 외팔보 상에 집중하중 P1, P2 이 작용시 SFD, BMD ? ① P1만이 있을 때(제1도) (상수) (x의 1차식) ② P2만이 있을 때(제2도) 길이 b의 외팔보라 가정 → ①과 동일 [그림 1] ③ P1과 P2가 같이 있을 때(제3도) ①과 ②를 중첩

④ 구간별로 F와 M에 관한 일반식을 구함(제4도) BC구간 AC구간

[예제5-2] SFD와 BMD를 그려라 [그림 2] ① 전단력(원점을 자유단에 둔다) BC구간 AC구간 A 지점의 반력

② 굽힘모멘트 BC구간 (포물선) AC구간 (직선) ③ 고정단 모멘트

[그림 3]처럼 외팔보의 자유단에 모멘트가 작용하는 기본형의 경우 SFD와 BMD를 그려라 [예제 5-3] [그림 3]처럼 외팔보의 자유단에 모멘트가 작용하는 기본형의 경우 SFD와 BMD를 그려라 [그림 3] 풀이 자유단에서 가 되는 위치에서 FBD를 도시하면 [그림(a)]와 같다. 이때 는 이 경우에는 없다. 왜냐하면 작용력이 없고 M0만 작용하기 때문이다.따라서 SFD도 없고 BMD선도가 (b)처럼 된다. 고정단모멘트(fixing moment) : MB=M0

각 구간의 전단력과 모멘트의 일반식과 SFD, BMD ? [예제 5-4] 각 구간의 전단력과 모멘트의 일반식과 SFD, BMD ? 전체 FBD에서 [그림 4]

전단력이 0이 되는 곳 식에서 이 되는 대입

양단지지보에 5ton의 하중 가 점에서 점까지 이동할 때, [예제 5-5] 양단지지보에 5ton의 하중 가 점에서 점까지 이동할 때, 지지점 , 의 반력은 어떻게 변화하는가? 점의 굽힘모멘트는 어떻게 변화하는가? [그림 5] 풀이 이동하중 W가 A점보다 x거리에 올 때 kgf kgf kgf kgf kgf

보의 위에 이동하는 차가 있다. 차에 걸리는 하중 가 있을 때, 차가 어느 위치에 올 때 최대굽힘모멘트가 생기는가? [예제 5-6] ① W1의 밑에서 Mmax이 생기는 경우 [그림 6] 이므로 식 RA 에 x값을 대입하여 정리하면

보의 위에 이동하는 차가 있다. 차에 걸리는 하중 가 있을 때, 차가 어느 위치에 올 때 최대굽힘모멘트가 생기는가? [예제 5-6] ① W2의 밑에서 Mmax이 생기는 경우 이므로 이면 MC와 MD의 대소관계를 비교한다.

◈ 순수굽힘(Pure bending) 5-5 굽힘응력 두 개의 동일한 크기의 집중하중 P가 작용하는 1-2구간 전단력이 존재하지 않고 균일한 굽힘모멘트만 존재함 ◈ 순수굽힘(Pure bending) : 같은 크기의 굽힘모멘트만이 작용하고 전단력이 없는 경우

[그림 5-11(a)] 굽힘응력(사각형 단면의 예)

▷보내에서의 굽힘응력의 해 ◁ ⇒ 순수굽힘하에 다음과 같은 가정을 두어 해를 구함 (1) 균일단면의 곧은 보의 문제만 취급한다. (2) 정하중을 받는 경우만 생각한다. (3) 보의 단면은 하중면에 대해서 대칭이다. (4) 보의 재료는 균질이다. (5) 탄성한계 이하에서 취급한다. (6) 인장이나 압축의 탄성계수는 동일하다. (7) 변형은 작아서 항상 원래의 치수를 그냥 사용한다. (8) 굽히기 전의 보의 횡단면은 굽히고 난 후에도 평면이다.

mm′-m′m′′만큼 늘어나고 처음 길이는 dx이므로 이 때 보는 아래가 인장, 위는 압축이 되며 그 중간에 nn축은 인장도 압축도 아닌 길이의 변화가 없는 곳이 있게 되는데 이면을 중립면이라 한다. 이 중립면(中立面)상의 한 점을 원점 O로 하는 좌표축을 생각한다. 굽히고 난 후의 AB, DC단면은 n-n과는 수직이고 평면인 채로 약간 경사지게 됨 mm′-m′m′′만큼 늘어나고 처음 길이는 dx이므로 m′m′′/ dx= εx (5-1)

미지수 ρ가 있어 σx 의 성질은 알 수 있어도크기는 알 수 없음 (5-2) ⇒ 이 식은 Z축에 관한 면적모멘트가 0이므로 Z축은 도심을 지나는 축이 된다. (5-3) (5-4)

⊙ 굽힘강성 : 단위의 곡률변화를 주는데 필요한 굽힘모멘트 (GIp : 비틀림 강성, AE : 축 강성에 대응하는 식임) (5-5) 관성모멘트(moment of inertia) (5-6) 굽힘강성(flexual rigidity) ⊙ 굽힘강성 : 단위의 곡률변화를 주는데 필요한 굽힘모멘트 (GIp : 비틀림 강성, AE : 축 강성에 대응하는 식임) (5-7) 여기서 Iz는 단면 2차 모멘트(second moment of area) 또는 단면의 관성모멘트(moment of inertia)라 한다. (첨자 z는 z축에 의한 관성모멘트라는 뜻)

Z1, Z2 : 단면계수(section modulus) (5-8) (5-9) Z1, Z2 : 단면계수(section modulus) σmax→ σal (5-10)

[그림 7]과 같은 차축이 12톤(W)의 하중을 받을 때 허용굽힘응력 σB=4.7kgf/mm2으로 하여 축의 직경을 구하라. [예제 5-7] [그림 7] 풀이

[그림 8]과 같은 외팔형 크랭크축에서 핀(pin)에 W=1,800kgf의 수직하중이 걸릴 때 크랭크 핀의 직경 d와 길이 l 을 구하라. 단 l/d=1.5이고 허용굽힘응력 σb=6kgf/mm2이다. [예제 5-8] 풀이 [그림 8] 이므로

5-6 단면의 관성모멘트 는 중립축 z에 관한 관성모멘트. r=√I/A라고 놓고 이 때 r은 관성반지름(radius of gyration) 또는 단면 2차반지름. 단면적 A=A1+A2+…로 분할할 때 (a) A=A1-A2일 때 (b) [그림 5-12] 면적을 분할시킬 때

평행축의 정리(parallel-axis theorem) 정리 Ⅰ 평행축의 정리(parallel-axis theorem) : 관성모멘트가 그림처럼 도심(centroid)축을 지나지 않는 경우에 사용 (5-11) (5-2) [그림 5-13] z에 평행축 z´

극관성모멘트(polar inertia moment) 정리 Ⅱ 극관성모멘트(polar inertia moment) : 단면내의 임의 직교축 (Z,Y축), 또 그 단면에 수직인 축을 P축이라면 P축에 관한 단면 A의 관성모멘트는 다음과 같다. (5-12) [그림 5-14] 단면에 수직인 P축 ⇒ 이때 같은 원점을 지나는 또 다른 직교축 z1, y1축에 대해서도 마찬가지로 Ip=Iz1+Iy1가 된다. 이 Ip를 극관성모멘트라 한다.

5-7 단면계수의 비교 굽힘강성을 크게 할뿐 아니라 경제적인 측면에서도 고려해야 함으로 동일조건 하에서 단면적이 크도록 해야 함. 보의 설계 (1) 사각형 단면 : b : 폭 h : 높이 (a) Z를 크게 하려면 h를 크게 할수록 더욱 효과적. 즉 정사각형 보다 높이가 큰 직사각형이 유리하지만 너무 높게 하면 좌굴 발생.

(a)와 비교를 위해 h=√π·d/2인 정사각형을 고려, 사각형의 경우 (2) 원형 단면 : (b) (예제 4-5에서) (a)와 비교를 위해 h=√π·d/2인 정사각형을 고려, 사각형의 경우 Z=0.148Ad이므로 정사각형의 단면이 원형단면보다 더욱 효과적 (3) I형 단면 : 그림과 같이 단면적을 두 부분으로 나누어 중립축에서 먼 곳에 배치 즉, A/2를 h/2의 거리에 두도록 함 웨브(web)가 존재 (c) (d) Z≒0.3Ah 그림 5-16 I형 단면

이상 세가지 단면에서 비교하여 보면 I형 단면이 Z가 가장 크므로 경제적이며 그 다음으로 사각형단면임을 알 수 있다. 또한, I형 단면에서는 위의 다른 단면에 비해 좌굴(buckling)도 생기기 어렵기 때문에 보의 단면형태로 널리 사용된다. Z=I/c(단면계수). 그림과 같이 빗금부분이 단면의 위나 아래에 있을 때는 이 돌기 부분을 없앰으로써 단면계수가 더 커지게 된다. 이것은 작은 면적을 제거함으로써 생긴 IZ의 감소가 단면높이의 감소보다 작기 때문이다. 그러면, 작은 면적 부분에 큰 힘을 집중적으로 받게 되는 것을 방지하게 된다. [그림 5-15] 단면의 돌기 부분(빗금 부분)

[그림 9(a)]는 사각형단면 보의 일부분을 나타낸다. (a), (b), (c) 및 (d)의 명칭을 써보라 [예제 5-9] 풀이 (a) 중립축(모멘트축, z-z축) (b) 중립면, (c) 하중면, (d) 중심축(축심, O-z축) [그림 9(a)]

[그림 9(b)]의 사각형단면의 관성모멘트를 구하라. [예제 5-10] [그림 9(b)]의 사각형단면의 관성모멘트를 구하라. 풀이 또는 여기서 z-z는 도심축 [그림 9(b)]

그림 같이 속이 빈 사각형 단면의 빗금친 부분의 IZ를 구하라. [예제 5-11] 그림 같이 속이 빈 사각형 단면의 빗금친 부분의 IZ를 구하라. 풀이 [그림 10] 참고 아래 단면들은 Iz는 같으나 Iy는 모두 다르다

[그림 11]의 형단면의 도심축인 축에 관한 를 구하라. [예제 5-12] [그림 11]의 형단면의 도심축인 축에 관한 를 구하라. [그림 11] 풀이 그림(a)처럼 분할하여 각 형상의 중립축을 구한다. 그림(b)처럼 중립축을 기준하여 분할하고 Iz를 구한다.

원형단면([그림 12])의 관성모멘트를 구하라. [예제 5-13] 원형단면([그림 12])의 관성모멘트를 구하라. 풀이 [그림(a)]에서 Ip를 구한다. [그림 12] [그림(a)]에서 Iz를 구해도 된다.

[그림 5-16] 보 속의 전단응력 (사각형단면의 예) 5-8 굽힘보 내의 전단응력 순수굽힘이 아닌 경우 보에 전단력이 발생하므로 전단응력이 생김 [그림 5-16] 보 속의 전단응력 (사각형단면의 예)

일반적으로 보는 순수굽힘이 아니므로 (a)의 BMD처럼 굽힘모멘트의 값이 달라짐. 그림 (a)에서 보의 임의요소 dx부분을 생각한다. A면에 M, B면에 M+dM의 굽힘모멘트가 있을 떄, 중립면 n-n에서 거리 y1에 있는 층(중립면과 평행)의 굽힘응력을 A면에서 σx, B면에서 σx’라 하면 다음 식이 성립함. 지금 중립면에서 거리y1에 있는 면 abcd보다 아랫 부분의 A면과 B면의 힘,H, H’는 아래 식과 같다. (5-13)

이때 그림b처럼 H=H’-H인 힘의 차이 때문에 abcd 아랫부분은 전단되면서 한 쪽으로 움직인다 이때 그림b처럼 H=H’-H인 힘의 차이 때문에 abcd 아랫부분은 전단되면서 한 쪽으로 움직인다. 면 abcd의 면적은 b·dx이고 ΔH의 변화만큼 면abcd상에 분포되는 전단응력 τ은 아래와 같은 식이 된다. (5-14) 이 때 당연히 면 abdc와 직각이 되는 면 B에도, bd선에 따라 위에서와 같은 균일한 크기의 τ가 있다. 이 τ는 중립면에서 거리 y1에 있는 전단응력인데 y1의 위치에 따라 τ의 크기가 달라진다.

[그림 17] 보의 높이 방향의 순서에 따라 변하는 수직 및 전단응력 상태 (a) (b) (c)

[그림 13]의 사각형단면의 최대 전단응력을 구하라. [예제 5-14] [그림 13]의 사각형단면의 최대 전단응력을 구하라. 풀이 b X h의 사각형단면에서 이므로 식 (5-27)에서 τ를 구한다. [그림 14] 이 τ는 의 함수가 된다. τ 의 분포는 그림과 같이 포물선으로 변하며 단면 상하의 끝에서는 0이다. τ max은 y1=0인 중립면에 생기며 그 크기는 아래와 같다.

그림 5-13의 역 T형 단면에서 웨브(web)에 생기는 τmax을 구하라. 단면의 전단력은 600kgf이다. [예제 5-15] 그림 5-13의 역 T형 단면에서 웨브(web)에 생기는 τmax을 구하라. 단면의 전단력은 600kgf이다. 풀이 τ=FQ/bIz의 식으로 해를 하기 위해 각 값을 구한다. [그림 14]

이등변 삼각형단면에서 굽힘에 의한 전단응력분포를 구하라. [예제 5-16] 이등변 삼각형단면에서 굽힘에 의한 전단응력분포를 구하라. [그림 15] 풀이 식 (5-27)에서 해를 구한다. [그림(a)]에서 식 (1), (2)의 관계를 얻는다.

[예제 5-16] 이등변 삼각형단면에서 굽힘에 의한 전단응력분포를 구하라. 풀이 양 변의 전단응력은 식 (3)으로 된다. 정점 및 밑변에서 τ=0, τ 또는 τ1의 최대값은 에서 이다. 이것은 높이의 중앙이다. 이때 이고, 전단응력의 분포는 포물선이 된다.

굽힘응력의 최대값 σmax은 중앙단면에 생기며 크기는식 (5-23)과 같다. [예제 5-17] 사각형단면을 갖는 보에 작용하는 두 응력 σmax, τmax을 비교하라. 풀이 굽힘응력의 최대값 σmax은 중앙단면에 생기며 크기는식 (5-23)과 같다. [그림 16] 전단응력의 최대값은 중립축에 생기며 전단력의 최대값이 있는 지점에서 생긴다.

균일강도의 보 : 보의 모든 단면에서 σMAX과 같은 응력이 생기도록 만든 보 5-9 균일강도의 보 균일강도의 보 : 보의 모든 단면에서 σMAX과 같은 응력이 생기도록 만든 보 (1) 원형단면의 외팔보 고정단의 지름 d0 임의 단면의 지름 d [그림 5-18]

[예제 5-18] 풀이 균일응력을 σal이라하면 윗식의 조건식을 구할수 있다. 등분포하중을 받는 사각형단면의 단순지지보[그림 17] : 사각형단면의 폭 가 일정, h가 변하는 경우 M, Z 를 구하라. 풀이 균일응력을 σal이라하면 윗식의 조건식을 구할수 있다. [그림 17]

높이 h가 일정, 폭 b가 변하는 경우 균일응력을 허용응력으로 하고, 고정단 단면의 폭을 b0 라 하면, (2) 높이가 일정한 사각형단면의 외팔보 높이 h가 일정, 폭 b가 변하는 경우 균일응력을 허용응력으로 하고, 고정단 단면의 폭을 b0 라 하면, [그림 5-19]

(3) 균일강도의 판스프링 판스프링(leaf spring) : b0를 2n등분하여 n개의 짝으로 한것을 겹친 스프링 [그림 5-20] 첫째 판은 첫 접점에서 M=P·l/n 둘째 판은 둘째 접점에서 M=P·l/n

단면의 폭이 일정하고 높이가 변하므로 단면은 사각형이다. 폭 b는 일정하고 h=h(x)이다. [예제 5-19] 단면의 폭 가 일정할 때 등포하중을 받는 균일강도인 외팔보의 단면 높이를 구하라. 풀이 단면의 폭이 일정하고 높이가 변하므로 단면은 사각형이다. 폭 b는 일정하고 h=h(x)이다. 균일강도의 보이므로 σal이 일정하므로, 다음식이 성립되어야 한다. [그림 17]

[예제 5-20] 풀이 차축을 단순보로 가정하여 취급하면, 차축에 12ton의 하중이 작용하며, 양단이 베어링으로 지지될 때 축의 치수를 구하라. 단 양단의 베어링 및 하중이 작용하는 부분의 길이, 직경의 비는 1.5:1, 허용굽힘응력은 400kgf/cm2으로 한다. [그림 18] 풀이 차축을 단순보로 가정하여 취급하면,

베어링부의 반력 RA, RB

베어링 A의 길이 다음에 베어링 의 치수를 결정하려면 단면을 고정단으로 해서 되는 집중하중을 받는 외팔보로 생각하면 된다 베어링 A의 길이 다음에 베어링 의 치수를 결정하려면 단면을 고정단으로 해서 되는 집중하중을 받는 외팔보로 생각하면 된다. 즉 이 굽힘모멘트 는 베어링 B의 길이와 직경의 비 이므로 다음과 같이 구한다. 베어링 B의 길이 :

5-10 이종재료의 보 ⇒ 두 가지 재료로 된 보의 굽힘응력 계산시 아래와 같이 가정한다 (1) 직선보로서 굽힐 때 비틀어지지 않고(대칭굽힘을 함), (2) 두 가지 재료 사이에 미끄럼이 없으며, (3) 각 재료는 탄성한계 이하의 힘을 받아, (4) 변형 후에도 단면은 평면을 유지한다. ⇒ 이러한 가정하에 두 가지 재료로 된 보이지만 한 가지 재료로 환산하면 앞서 배운 단일재료의 보 취급을 하도록 하는 것이다.

5-10 이종재료의 보 이종재료의 보의 단면 동일재료로 환산한 경우 [그림 21] 재료의 ②의 부분을 재료의 ①의 부분으로 바꾼다. 즉 단일재료로 하되 단면 높이는 그림과 같이 그대로 두고 폭만 바꾸도록 한다. 재료 ① ,② 의 모든 양을 ε1, ε2, σ1, σ2, E1 및 E2 로 표시 두 재료의 변형량 ε1= ε2 는 같다.

5-10 이종재료의 보 다음 y거리에 있는 dy부분의 미소면적에 작용하는 힘은 재료 ① 부분에서는 σ1·bdy, ② 부분에는 σ2·bdy , 재료 ②를 재료 ①로 바꾸어 놓았을 때 이 바꾸어진 부분의 폭을 be라 하면 σ1·bedy 로 된다. 이때 재료 ②부분이 받는 힘과 이 부분을 재료 ①로 환산했을 때 받는 힘은 같아야 하므로 식은 다음과 같다

재료 ①로 바꾸어진 보의 단면을 등가단면(transformed equivalent cross section, 等價斷面)이라 한다. 여기서 특히 주의할 것은 ②의 부분을 재료 ①로 바꾸어 계산했으나 응력산출에서는 다시 재료 ②에 대한 응력을 식 (5-31)로 산출해야 한다. 세 가지 이상의 재료에서도 같은 요령으로 취급하면 된다. 가령 E1, E2, E3 의 3층 재료로 된 b1 X h의 사각형 단면 보에서 각층의 보의 높이는 일정한 상태로 의 단일재료로 변환하려고 할 때 각 층의 폭을 b1, b2, b3 등으로 하면 식 (5-33)으로 적용하면 식은 아래와 같다. (5-13)

[예제 5-21] 강과 구리로 된 보의 최대굽힘응력을 구하라. 단, 길이 4m의단순보 중앙에 집중하중 1,500kgf이 작용하고 있다. [그림 19] 풀이

최대굽힘응력 σ1은 식 (5-20)에서 구한다. 이 σ’2는 재료 1로서의 응력이므로 재료 2의 응력으로 식 (5-31)을 사용하여 다시 환산해야만 한다.

5-10 탄•소성굽힘 순수굽힘을 받는 탄·소성재료인 보에 굽힘모멘트 M 이 적은 동안에는 최대응력은 σyp보다 적으며, [그림 5-22(a)]와 같이 선형응력분포를 갖는 탄성굽힘상태이다. [그림 5-22] 탄소성 굽힘의 응력분포 보의 끝단응력이 항복응력에 이르게 될 때의 모멘트를 항복(降伏)모멘트(yield moment)라 하며 아래의 식이 된다.

만약 보에 항복모멘트 Myp 보다 큰 굽힘모멘트가 작용한다면? 사각형 단면보의 경우 만약 보에 항복모멘트 Myp 보다 큰 굽힘모멘트가 작용한다면? =>최대변형률은 항복변형율 εyp를 초과할 것이다. 이때의 응력조건은 그림 5-31 (c) 와 같다. 굽힘모멘트를 더 증가시키면? => 소성영역이 중립축 쪽으로 확장되어 그림 5-31 (e)의 상태가 되고 탄성영역은 거의 없다. => 이 응력분포에 해당하는 모멘트를 소성모멘트(plastic moment) Mp 라 한다.

단면의 중립축 하부면적 A1, 단면에 작용하는 인장력 T는 σypA1 [그림 5-23] Mp의 결정 단면의 중립축 하부면적 A1, 단면에 작용하는 인장력 T는 σypA1 중립부 상부의 압축력 C는 σypA2 가 된다.

C와 T에 대한 중립축에 관한 모멘트를 취하면 소성모멘트 Mp를 구할 수 있음 y1과 y2는 중립축으로부터 면적 A1, A2 의 도심 c1, c2 까지 거리 C와 T는 이므로, 탄성굽힘의 식 (5-35)와 마찬가지로 식 (5-37)도 다음과 같이 표시할 수 있다. Zp : 단면의 소성계수(plastic modulus, 塑性係數)

어떤 보의 소성모멘트 Mp와 항복모멘트 M과의 비는 식 (5-39)와 같이 단면형상의 함수가 되는데, 이것을 보통 형상계수(shape factor, 形狀係數) f 라 함. [예제 5-22] 높이가 h 이고, 폭이 b인 사각형단면 보의 형상계수 f를 구하라 풀이 소성계수 ZP는 다음과 같이 된다. 또 탄성하의 단면계수는 이므로 형상계수는 f=3/2로 된다. 그러므로 사각형단면에서는 소성모멘트가 항복모멘트보다 50% 더 크다.

[예제 5-23] 풀이 소성모멘트 : 탄성모멘트 : 여기서 이 되어 소성모멘트 Mp쪽이 원형단면에서 f를 구하여 탄성과 소성의 특징을 비교하여라. 풀이 소성모멘트 : 탄성모멘트 : 여기서 이 되어 소성모멘트 Mp쪽이 항복모멘트가 70% 만큼을 알 수 있다. 예제와 같이 단면이 주어지면 중립면의 위치 및 Mp가 구해진다. 보가 붕괴되는데 필요한 수만큼의 소성힌지(Mp가 생기는 단면)가 생기며 이렇게 되는 최소의 외력이 극한하중(limit load) PL이 된다.

정정 구조물의 극한하중 이때의 하중이 PL P가 점점 증가될 때 BC부재의 축력 이 크므로 [그림 5-24 (a)] (b) P가 점점 증가될 때 BC부재의 축력 이 크므로 먼저 σyp 에 도달하여 BC부재가 붕괴되는 동시에 구조물 전체가 붕괴됨 이때의 하중이 PL

평형조건식인 두 식에 미지수는 3이므로 부정정량은 1이다. 부정정 구조물의 극한하중 평형조건식인 두 식에 미지수는 3이므로 부정정량은 1이다. [그림 5-25] 따라서 두 개의 부재가 붕괴되면 구조물은 붕괴된다. 부재 C1C가 제일 먼저 항복점에 도달하여 소성상태로 되더라도 구조물은 정정구조물이 되어 계속 힘을 받을 수 있다. 나중에 나머지 부재 B1B가 붕괴되면 전체가 붕괴된다.

외팔보에서 P가 점점 커질 때 맨 먼저 M이 가장 큰 고정단 A에서 소성힌지가 되어 이 보는 붕괴된다. [예제 5-24] 외팔보에서 PL을 구하라. 풀이 외팔보에서 P가 점점 커질 때 맨 먼저 M이 가장 큰 고정단 A에서 소성힌지가 되어 이 보는 붕괴된다. [그림 20] 이 하중의 허용값, 이것을 계산하는데 극한 설계 의 목적이 있다.

[예제 5-25] 부정정보에서 극한 등분포 하중을 구하라. 풀이 부정정량 1이므로 두 곳에서 소성힌지가 되면 붕괴된다. (a)와 같은 BMD를 그려보면 굽힘모멘트가 가장 큰 곳이 두 곳이다. MA 와 MD 인데 MD의 곳은 알 수 없어서 구해봐야 한다. 지금 MA가 MP로 되었을 때 구해보자. [그림 21] 이 MD마저 MP가 되면 이 보는 붕괴된다. MD=MP에서(이때의 w0가 wL이다.)

[예제 5-26] 양단고정보에서 을 구하라. 풀이 부정정량 2이므로 세 곳에서 소성힌지가 되면 붕괴된다. BMD를 그려보면 굽힘모멘트가 가장 큰 곳이 A, B 및 C 단면. 즉, MA 와 MB 및 MC 가 MD에 도달할때 P를 PL로 한다. [그림 22]

τmax=τyp가 되는 탄성에서의 최대 비틀림모멘트 는 이 보다 33.3%가 더 크다는 것을 알 수 있다. [예제 5-27] 원형단면 봉이 비틀림을 받을 때 극한 비틀림모멘트 TL을 구하라. 풀이 한 단의 단면 전체가 τyp로 되면 붕괴된다. τmax=τyp가 되는 탄성에서의 최대 비틀림모멘트 는 이 보다 33.3%가 더 크다는 것을 알 수 있다. [그림 23]