Ch.2 Fluid Statics 환경공학과 200911613 홍남정

1. 정지유체내의 한 점에 작용하는 압력은 모든 방향에 대하여 동일하다는 것을 증명하라.

2. 압력의 식 를 다음의 2가지 방법으로 유도하라. 1) 힘의 평형으로부터 오일러방정식을 유도하고, 이로부터 압력식을 유도하라.

2. 2) 물의 무게로부터 압력식을 유도하라.

물에 잠겨있는 물체에 작용하는 수직력은 물체 상부에 위치한 물의 무게와 같다 물에 잠겨있는 물체에 작용하는 수직력은 물체 상부에 위치한 물의 무게와 같다. 물체가 잠겨있는 수심을 h, 물체의 수평단면적은 A라고 하면 물의 무게는 다음과 같다. 압력은 단위면적당 수직력이므로 위의 식을 단면적 A로 나누면 압력에 대한 식은 다음과 같다.

3. 표준대기에서 압력식을 유도하라.

표준대기압은 해면에서의 평균압력으로 29. 92 inHg이다 표준대기압은 해면에서의 평균압력으로 29.92 inHg이다. 액주의 높이로 표시한 압력은 액주 밑바닥의 단위면적당 작용하는 힘에 상응한다. 액체 내에서 높이에 따른 압력변화의 관계식 는 비중량이 r인 액주의 높이 h와 압력 p사이의 관계를 나타낸다. p의 단위로 을 사용할 때, r의 단위는 , h의 단위는 를 사용하고, p의 단위로서 pascal을 사용할 때 r는 , h는 m를 사용하여야 한다. 어느 액체의 비중량은 비중 S에 물의 비중량을 곱한 것과 같으므로 압력에 대한 식은 다음과 같다. 여기서, 물의 비중량 는 62.4 또는 9,806 이다. 압력을 로 표시하려면, 양변을 144로 나눈다. 여기서, 의 단위는 그대로 ft를 사용한다.

4.Explain the theory and relevant equation of micromanometer.

매우 작은 압력차나 큰 압력차를 정밀하게 측정하기 위하여 만들어진 몇 가지 종류의 가 시판되고 있다 매우 작은 압력차나 큰 압력차를 정밀하게 측정하기 위하여 만들어진 몇 가지 종류의 가 시판되고 있다. 어떤 것은 액주계의 두 경계 사이의 를 정밀하게 측정할 수 있도록 고안된 것이 있다. 즉, 두 관을 가로지르는 이 장착된 작은 현미경이 있어 두 경계 면의 를 버니어(vernier)로 정밀하게 읽을 수 있도록 되어 있다. 현미경은 피니언(pinion)과 스크류에 의하여 상하로 움직일 수 있는 랙(rack)에 설치되어 있어, 의 위치를 정확하게 조절하 수 있도록 되어 있다. 서로 혼합되지 않는 두 개의 액체가 들어 있어 작은 압력자는 계기내 유체의 큰 R(그림 2.8)로 증폭시킬 수 있다. 무거운 을 U자관의 0-0 면까지 채운 다음, 다시 가벼운 을 양쪽 관에 첨가하여 큰 리저버(reservoir)의 1-1면까지 채운다. 측정하고자 하는 압력을 C와 D에 연결하면 측정하려는 기체 또는 액체가 1-1면 상부로 될 것이다. C에서의 압력이 D보다 약간 높다고 가정하면 경계은 그림 2.8과 같이 변할 것이다. 각 리저버에서 배제된 체적과 같아야 하므로 가 된다.

여기서 A와 a는 각각 리저버와 U자관의 단면적이다. C점을 출발점으로 하여 방정식을 세우면, 단위면적당 힘의 단위로 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 는 그림 2.8에 표시한 의 비중량이다. 에 관한 식을 대입하고 정리하면 괄호 안의 삽은 특정한 와 측정유체에 대하여 상수이므로 압력차는 R에 정비례하게 된다.

5.다음과 같이 간단한 면적들에 대한 관성모멘트를 구하라.

직사각형 :

삼각형 : (1) x축에 대한 단면 2차 모우먼트( ) (2) 도심축 X에 대한 단면 2차 모우먼트( )

원 : 지름이 d 라고 하면,

반원 : ¼ 원의 경우, 반원의 도심에 대한 2차 모우먼트

6. 경사진 면에 대하여 x, y축에 대한 압력중심을 유도하라.

합력의 작용선은 좌표( ) 로 도시된 압력중심(pressure center)이라 불리우는 평면상의 점을 관통한다 식 (1)에서 면적소의 크기는 다. 압력중심의 좌표에 관하여 각각 풀면 압력중심은 다음 식으로 계산된다.

7. 압력프리즘을 이용하여 합력의 크기와 작용점을 구하는 방법을 설명하라.

이식을 적분하면 가 된다. 이는, 즉 압력프리즘의 부피가 평면의 한쪽 면에 작용하는 합력과 같다는 것을 의미한다. 압력프리즘이란 주어진 작용면을 밑면으로 하고, 평면의 임의점에서의 높이를 압력 로 하는 프리즘형 부피를 말한다. 여기서, h는 밑면의 임의면으로부터 자유표면까지의 연직거리이다(그림 2.13). (실제로 자유표면이 존재하지 않을 때는 h를 정의하기 위하여 가상자유표면을 사용할 수 있다.) 그림에서 의 크기를 적절한 척도로 하여 그 연결선이 OM이 되도록 한다. 이때 면적에 작용하는 힘은 가 되어 압력프리즘의 한 부피비와 같게 된다. 이식을 적분하면 가 된다. 이는, 즉 압력프리즘의 부피가 평면의 한쪽 면에 작용하는 합력과 같다는 것을 의미한다. 그림 2.13 압력프리즘 여기서 는 압력프리즘의 체심(centroid)까지의 거리를 나타낸다. 따라서 합력의 작용선은 압력프리즘의 체심을 통과한다. 몇 가지 간단한 도형에 대해서는 압력프리즘 방법이 적분이나 공식을 이용하는 것보다 훨씬 편리하다. 예를 들어, 한 모서리가 자유표면과 일치하는 직사각형 평면에서는 쐐기모양(wedge-shaped)의 프리즘을 형성하고, 그 체심은 밑면으로부터 1/3 높이에 있다. 따라서 압력중심은 밑변으로부터 1/3 높이에 존재한다.

8. 인터넷에서 직교좌표계, 원기둥좌표계, 구좌표계 등이 정의에 대한 정보를 검색하여 설명하라.

직교좌표계 : 직교 좌표계(直交 座標系, Rectangular coordinate system), 혹은 좌표평면은 임의의 차원의 에우클레이데스 공간 (혹은 좀 더 일반적으로 내적공간)을 나타내는 좌표계의 하나이다. 이를 발명한 프랑스의 수학자 데카르트의 이름을 따 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)라고도 부른다. 직교 좌표계는 극좌표계 등 다른 좌표계와 달리, 임의의 차원으로 쉽게 일반화할 수 있다. 직교 좌표계는 나타내는 대상이 평행이동(translation)에 대한 대칭을 가질 때 유용하나, 회전 대칭 등 다른 꼴의 대칭은 쉽게 나타내지 못한다. 일반적으로, 주어진 에우클레이데스 공간에 기저와 원점이 주어지면, 이를 이용하여 직교 좌표계를 정의할 수 있다. 가장 흔한 2차원 혹은 3차원의 경우, 직교 좌표를 통상적으로 라틴 문자 x, y, z로 적는다. 4차원인 경우, w나 (물리학에서 시공을 다루는 경우) t를 쓴다. 임의의 차원의 경우에는 첨자로 xn의 꼴로 쓴다. 원기둥좌표계 : 에 대해 이다. 이를 로 표현하기도 한다. 구좌표계 :　3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 (r,θ,φ)로 나타낸다. 원점에서의 거리 r은 0부터 까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 θ는 0부터 π까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 φ는 0부터 2π 까지의 값을 갖는다. θ는 위도로, φ는 경도로 표현되는 경우도 있다.

9. 다음 그림과 선형등가속도 운동을 가지는 유체에 대하여 자유수표면에 대한 식을 유도하라.

y를 연직축, 축을 수평축으로 설정하여 가속도 가 평면에 놓이도록[그림 2 y를 연직축, 축을 수평축으로 설정하여 가속도 가 평면에 놓이도록[그림 2.33(a)] 그리고 축을 에 수직하게 택하여 이 방향의 가속도성분이 존재하지 않도록 직교좌표계를 설정하고 식 (2.2.5)를 이 경우에 적용하면 (오일러방정식) 압력기울기 는 와 의 벡터합으로 된다. 그림 2.33(b)에 이 관계를 도시하여 놓았다. 의 방향은P 의 변화가 최대인 방향을 향하므로 에 수직인 방향에서는 압력의 변화가 없다. 따라서 자유표면을 포함하여 모든 등압면은 에 수직이어야 한다. X,Y,Z에 따른P , 즉

변화에 관한 편리한 로그식을 얻기 위하여 식 (2.2.5)를 성분 형으로 표현하면; 혹은 는 점 의 함수이므로, 전미분은 이다. 편미분 값들을 대입하면 (2.9.1)

를 얻는다. 비압축성유체에 대하여 적분하면 가 된다. 적분상수 의 값을 구하기 위하여 에서 대입하면 적분사수 가 된다. 따라서 (2.9.2) 가속되는 유체가 자유표면을 가질 때 자유표면의 방정식은 식 (2.9.2) 에서 로 놓으면 얻어진다. 식 (2.9.2)를 y에 관하여 풀면 (2.9.3)이다. 등압선 p= 상수의 기울기는 이고 자유표면이 나란하다. 자유표면이 y축과 만나는 점은

10.다음 그림과 같이 밑면 6*6, 높이 2인 밀폐상자에 액체가 절반이 차 있다. 상자는 인 선형등가속도로 가속되고 있다. 밑면에서의 압력변화를 나타내는 방정식을 유도하라.

[예제 2.17] 밑면 6×6, 높이 2인 밀폐상자에 액체가 절반이 차 있다(그림 2.35). 상자는 인 선형등가속도로 가속되고 있다. 밑면에서의 압력변화를 나타내는 방정식을 유도하라. <풀 이> 자유표면의 기울기는 그림 2.35 용기의 선형 등가속도 운동 따라서 자유표면은 그림과 같이 위치한다. 0을 원점으로 택하면 식(2.9.2)는 가 된다. 에서 이므로 따라서 으로 하여 밑면의 방정식을 구하면

11. 다음 그림과 같이 연직축에 대하여 회전 운동을 하는 유체에 대하여 자유 수표면에 대한 식을 유도하라.   그림 2.36 연직축에 관한 유체의 회전운동 그림 2.36 (a) 의 좌표계에서 r방향 단위 벡터를 i, 연직 상방의 단위벡터 를 j 그리고 회전축을 y로 취하고 식(2.2.5)를 적용하면 유체 속에서의 압력변화를 얻을 수 있다. (2.2.5) 일정각속도 에 대하여, 임의의 유체입자 P는 회전축을 향하는 가속도 을 갖는다. 즉, 이다. 와 의 벡터합은 압력기울기 가 된다[그림 2.36(b)].

유체내의 한 점에서 압력기울기에 수직한 방향의 압력변화는 없으므로 점P 를 자유표면상의 점으로 택하면 자유표면도 에 수직한다. 식 (2.2.5)를 전개하면 다음과 같다. 여기서, 는 z축(또는 접선방향)을 따르는 단위벡터이다. 그러므로 p는 y와 r만의 함수이므로 전미분 는 이다. 와 의 값을 대입하면 다음을 얻는다

(2.9.4) 액체의 경우( ≈상수)에는 적분하여 을 얻는다. 여기서, c는 적분상수이다. 원점(r=0, y=0)에서의 압력을 로 놓으면 그리고 다음과 같다. (2.9.5) 인 한 특정수평면(y=0)을 택하고, 식 (2.9.5)에 이 관계를 적용하고 양변을 r로 나누면 다음과 같다. (2.9.6)

이다. 첫째 식에서 둘째 식을 빼고 수치를 대입하면   12. 비중 1.2인 액체가 연직축에 대하여 200 rpm으로 회전하고 있다. 축으로부터 1m 거리에 있는 어느 점 A에서의 압력이 70 kPa이다. 점 A보다 2m 높고, 축에서 1.5m 떨어진 점 B에서의 압력은 얼마인가? >>>>[예제 2.18] 비중 1.2인 액체가 연직축에 대하여 200 rpm으로 회전하고 있다. 축으로부터 1m 거리에 있는 어느 점 A에서의 압력이 70 kPa이다. 점 A보다 2m 높고, 축에서 1.5m 떨어진 점 B에서의 압력은 얼마인가? 두 점에 대하여 식 (2.9.5)를 적응하면 그리고 이다. 첫째 식에서 둘째 식을 빼고 수치를 대입하면 따라서

자유표면이 없거나 부분적으로 노출된 자유표면을 갖는 용기가 어느 연직축에 대해 등속회전운동 할 때는 가상 자유표면을 설정할 수 있다. 가상 자유표면은 식(2.9.6)으로 주어지는 회전포물면이다. 임의점에서 가상 자유표면까지의 거리는 그 점에서의 압력수두가 된다. 그림 2.38 연직축에 관한 傾斜管(경사관)의 회전