제 4 장 응력과 변형률

차 례 1. 힘과 응력 2. 임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력 3. 주응력 4. Mohr 원의 활용 5. 변형률 6. 변형률-변위 관계 7. 변형률성분의 좌표변환과 변형 측정 8. 3차원 변형률 성분과 체적변형률 9. 응력-변형률 관계 10. 극좌표에서 표현된 응력성분 Page  1

4.1 힘과 응력 F F F’ F’ F : 외력 (external force) F’ : 반력 (reaction) 암석의 변형 발생 F : 외력 (external force) F’ : 반력 (reaction) Page  2

힘 (Force) F(힘) 응력 (Stress) 정지하고 있는 물체의 이동 움직이는 물체의 속도변화 물체의 형태 변형 단위 : N (newton, kg X m/s2), kgf (kg X 9.8m/s2) F(힘) A(면적) 응력 (Stress) 단위면적 당 힘의 세기 단위 : N/m2 = Pa (파스칼) 법선응력(Normal stress) : 면에 법선으로 작용하는 응력 (압축응력, 인장응력) 전단응력(Shear stress) : 면에 수평으로 작용하는 응력 압축 인장 전단 F Page  3

b a b 법선응력 법선응력 전단응력 Page  4

[예제] 바닥면에 작용하는 법선응력과 전단응력 블록의 자중 = 단위중량( )× 부피 = 2700 kg/m3 × 9.81 m/sec2 ≈ 26.487 kN/m3 W = 26.487 kN/m3 × (16m ×8m ×3m) ≈ 10.171 MN A = 16m ×8m = 128m2 8m 16m 3m Wsin30˚ W cos30˚ W 30˚ 블록의 단위중량 : 2700kg/m3 Page  5

[예제] 원주형 시험편의 수직응력과 전단응력 50 ton 50 ton 직경 : 54mm Page  6

4.2 임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력 응력표기법 y x y x 일반적으로 응력을 표현하기 위해서는 면과 힘의 방향이 필요함 y x y 방향의 면 x방향의 면 x 방향의 힘 j 방향의 힘 i 방향의 면 x y z y x Page  7

y x [2×2 행렬] [3×3 행렬] X면에 작용하는 응력성분 : y면에 작용하는 응력성분 : X면에 작용하는 응력성분 : z X면에 작용하는 응력성분 : y면에 작용하는 응력성분 : z면에 작용하는 응력성분 : [3×3 행렬] Page  8

[모멘트 : monent] M=Fd [N·m] 육면체를 평형상태라 가정하면 모멘트 평형조건을 만족함 y축에 수직한 면 - z y x y축에 수직한 면 - 전단력 : z축에 수직한 면 - 전단력 : 모멘트팔 : 모멘트팔 : Page  9

모멘트 평형조건 x축과 z축에 각각 수직한 면 : x축과 y축에 각각 수직한 면 : Page  9

응력부호 법선응력 y y x x Y(+) X(+) (-) 압축응력 인장응력 음의 방향의 면 양의 방향의 면 양의 방향의 힘 음의 방향의 힘 양의 방향의 면 음의 방향의 면 법선응력 압축응력 인장응력 y x y x 면의 방향 (-) 면의 방향 (+) 면의 방향 (-) 면의 방향 (+) 힘의 방향 (+) 힘의 방향 (-) 힘의 방향 (-) 힘의 방향 (+) Page  10

전단응력 y y x x y y x x 면의 방향 (-) 면의 방향 (+) 면의 방향 (-) 면의 방향 (+) 힘의 방향 (+) 힘의 방향 (-) 힘의 방향 (-) 힘의 방향 (+) x x 면의 방향 (+) 면의 방향 (+) 힘의 방향 (+) 힘의 방향 (-) y y 면의 방향 (-) 면의 방향 (-) 힘의 방향 (-) 힘의 방향 (+) x x Page  11

경사면에 작용하는 법선응력 y N B E S C E D O O D A x 삼각함수 관계식 이용 Page  12

경사면에 작용하는 전단응력` N E S D O 삼각함수 관계식 이용 Page  13

4.3 주응력 y 면 에 작용하는 법선응력과 전단응력 8 MPa A 5 MPa 50˚ 3 MPa B x Page  14

y 8 MPa 경사각 의 변화에 따른 법선응력과 전단응력 A 5 MPa 50˚ 3 MPa B x Page  15

경사각 의 변화에 따른 법선응력과 전단응력 90˚ 전단응력이 0 이 되는 경사각 가 2개 존재하며 서로 90˚의 위상차를 가짐 경사각 의 변화에 따른 법선응력과 전단응력 90˚ 전단응력이 0 이 되는 경사각 가 2개 존재하며 서로 90˚의 위상차를 가짐 전단응력이 0 이 되는 면을 주응력면(principal plane) 이라 함 주응력면에 작용하는 법선응력을 주응력(principal stress) 이라 함 Page  16

주응력면 (principal plane) : 전단응력이 0이 되는 면 주응력 (principal stress) : 주응력면에 작용하는 법선응력 최대주응력 (major principal stress, ) 최소주응력 (minor principal stress, ) 전단응력이 0 이 되는 경사각 주응력 σp1, σp2 Page  17

4.4 Mohr 원의 활용 임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력을 산정하는 도해적 방법 Mohr 원 작도를 위한 부호규약 Normal stress Shear stress Page  18

Mohr 원 작도 순서 1. Mohr 평면 ( 좌표평면) 작도 y x Page  19

2. x면에 작용하는 법선응력( )과 전단응력( )을 좌표값으로 하는 점 X를 평면에 표시 y x X Page  20

3. y면에 작용하는 법선응력( )과 전단응력( )을 좌표값으로 하는 점 Y를 평면에 표시 x X Page  21

4. 점 X와 점 Y를 연결하는 선분을 지름으로 하는 원 작도 R X Page  22

X Y R M 원의 중심 M 반지름 R Page  23

Mohr 원의 의미 y Y R x M X 점 X와 점 Y는 각각 x면과 y면의 응력상태를 나타냄 C B E X Y R M O D A x 점 X와 점 Y는 각각 x면과 y면의 응력상태를 나타냄 x면과 y면의 방향은 90˚차이가 있으나 점 X와 점 Y의 위치는 180˚ 차이를 보임 Mohr 원에서 특정면의 응력상태는 기준면으로 부터 회전한 각의 2배만큼 회전된 점으로 나타남 Page  24

임의 면에 작용하는 법선응력과 전단응력 y X Y R M X´ Y´ O C B E O D A x Page  25

주응력 y X Y R M P Q O C B E O D A x 점 P, 점 Q는 주응력 상태를 나타냄 Page  26

4.5 변형률 힘의 작용으로 야기된 물체의 변형거동을 나타내는 정량적 표현 변위의 종류 Y Y x x Y Y x x 힘의 작용으로 야기된 물체의 변형거동을 나타내는 정량적 표현 변위의 종류 Y Y x x translation translation + rigid body rotation Y Y x x translation + deformation translation + rigid body rotation + deformation Page  27

수직변형률 ( ε) - 법선응력 ( σ)의 작용으로 발생 - 법선응력이 작용하는 단면의 법선 방향으로 발생된 단위 길이당 변형 - 인장수직변형률 : (+) , 압축수직변형률 : (-) : 초기길이 : σ의 작용으로 발생한 길이변화 Page  28

y x 전단변형률 ( ) : 전단응력 (τ)에 의해 발생 전단변형률 ( ) : 전단응력 (τ)에 의해 발생 전단응력이 작용하기 전 서로 직교하던 두 선분 사이에서 전단응력의 작용으로 발생한 각도변화량 y H x Page  29

[예제] 암석시험편에서 발생된 축방향 변형률 산정 원주형 암석시험편의 초기 길이 : 12cm 축방향 하중을 가한 후 길이 : 11.995cm F 12cm 11.995cm Page  30

4.6 변형률-변위관계 y x D´ C´ D C A´ B´ A B Normal deformation x 방향 normal strain y 방향 normal strain Page  31

x y A B C D A´ B´ C´ D´ Shear deformation shear strain Page  32

4.7 변형률성분의 좌표변환과 변형률 측정 y y´ x´ x x-y 좌표계 x’-y’ 좌표계 Page  33

변형률의 측정 변형률 게이지 (strain gage) : 수직변형률 측정 전단변형률 : 여러 방향으로 측정된 수직변형률을 이용하여 간접적으로 측정 Page  34

4.8 3차원 변형률 성분과 체적변형률 3차원(x-y-z 직교좌표계)에서 한점의 변형률은 6개의 성분으로 정의됨 y - x 평면의 변형률 성분 z - x 평면의 변형률 성분 여기서 는 각각 x, y, z 방향의 변위 Page 35

체적변형률 (volumetric strain, e) - 응력이 작용하기 전의 초기 부피에 대한 부피변화량의 비 - 암석의 변형거동을 기술할 때 사용되는 변형률 개념 Page  36

4.9 응력-변형률 관계 Hooke 법칙 x 탄성 한계 내에서 변형률은 응력에 비례한다는 법칙 Strain Stress x y = 탄성계수 (Elastic Modulus) 영률 (Young’s Modulus) 포아송비(Poisson’s ratio) Page  37

z y x x-축 방향으로 법선응력 가 작용할 경우 Page  38

x-축, y-축, z-축 방향으로 동시에 법선응력이 가해질 경우 수직변형률 전단변형률 G : 전단탄성계수 (shear modulus) Page  39

평면응력조건 두께 방향으로 응력성분들의 변화를 무시할 수 있을 경우 응력성분들의 변화는 두께방향 축과 수직한 평면에서만 발생하는 2차원 문제가 됨 원형공동을 갖는 평판 얇은 디스크 Page  40

평면변형률조건 임의 평면에 수직한 방향의 변형률 변화가 없다고 가정할 수 있을 경우 적용 터널 단면 댐 단면 Page  41

4.10 극좌표에서 표현된 응력성분 y y o o x x 직교좌표계 극좌표계 Page  42

y x o u : 반경방향 변위 v : θ방향 변위 - 평면응력조건의 경우 - 평면변형률 조건의 경우 Page  43