실 용 수 학 카오스 이야기

카오스(Chaos) 이론이란 카오스(Khaos, 그리스어) : (1) ‘캄캄하고 텅 빈 공간’ 또는 ‘혼돈’의 뜻 만물 발생 이전의 원초적인 상태를 의미 (2) ‘크게 벌린 입’이라는 뜻 무엇이나 삼켜 버린다는 black hole과 같은 이미지 자연과학에서는 어떤 계가 확고한 규칙에 따라 변화하면서도 먼 미래의 상태를 예측할 수 없는 현상 우리나라의 카오스(혼돈)에 대한 사상 : 북애노인의 저서인 “규원사화”에 나타남 중국의 혼돈에 대한 사상 : 장자의 “응제왕편”에 나타남

기계론적인 과학이 아니라 성장하고 사멸해 가는 모든 생명현상에 나타나는 복잡한 과정을 과학의 눈으로 바라보려는 것이 카오스 이론이다. “북경에 있는 나비 한 마리의 날갯짓이 다음날 뉴욕에 폭풍을 몰고 올 수도 있다”는 기상학자 로렌츠의 ‘나비 효과’는 카오스 이론을 상징적으로 보여준다. 불교는 바로 이러한 카오스 이론을 ‘인연(因緣)’으로 세계를 설명한다. 또한 카오스 이론의 가장 큰 특징의 하나인 프랙탈은 ‘전체 속의 어느 한 부분이 바로 전체’임을 나타내는데, 이것은 불교에서 말하는 하나가 전체이며 전체가 곧 하나라는 ‘일즉다 다즉일(一卽多 多 卽一)’의 사상과 정확히 일치한다.

카오스(혼돈과 질서)

카오스 연구의 역사 프랑스의 수학자 Henri Poincare는 1887년 태양과 지구 또는 지구와 달과 같은 두 개의 물체에 대한 문제는 뉴턴의 공식에 의해 정확히 풀 수 잇지만 세 개 이상의 물체를 다루는 문제에 있어서는 정확히 풀 수 없고 비선형적인 문제로서 어떤 궤도들은 매우 작은 변화를 가해 주기만 해도 무질서하게 심지어는 혼돈한 양상으로 변화한다는 것을 알게 되었다. 그 예로서 소행성의 운동, 기상, 도박 등을 들고 있다. 초기의 작은 차이 때문에 결정론과 확률론이 결합한다는 오늘날의 chaos이론의 관점이 분명히 나타나 있다.

카오스 연구의 역사 MIT의 기상학자인 Edward Lorenz는 1961년 기상예측이라는 고대적인 과학의 문제를 단순한 연립방정식으로 설명함으로써, 복잡하게 움직이는 대기의 순환에 관한 모델을 연구 하였다. 그는 사소한 차이가 가면 갈수록 증폭되어, 컴퓨터 프로그래밍에 의해 바람의 경로를 그리는 그래프를 걷잡을 수 없이 복잡하게 하는 것을 발견하였다. 즉 strange attractor (chaos)가 출현하였던 것이다.

카오스 연구의 역사 1975년 메릴렌드 대학의 James Yorke와 그의 제자 Tien Li가 단순한 수학식에 의해 매우 복잡한 형상을 끌어낼 수 있음을 증명하고 이것을 ‘Chaos’라고 명명하면서 비로소 과학 연구의 대상이 되고 연구가 더욱 활발하여졌다. 같은 해 Mitchell Feigenbaum은 자연게에 매우 보편적으로 존재하는 비선형 현상을 수학적으로 Feigenbaum Number라고 하는 단순한 숫자로 설명하면서 비로소 카오스 이론은 그 이론적인 배경이 완성되었다.

카오스의 기하학 Benoit Mendelbrot는 1975년에 Fractal 기하학 이론을 창안 하였다. Fracral으 언제나 부분이 전체를 닮는 자기 유사성과 소수(小數)차원을 특징으로 갖는 형상을 의미한다. 카오스 현상 속에는 이와 같은 프렉탈의 구조가 숨어 있는데 이를 뒤집어서 생각해 보면 프렉탈이란 카오스의 구조를 설명한다.고 말할 수 있다.

카오스의 기원 및 역사 1963년 에드워드 로렌츠의 논문 “결정 론적인 비 주기적 유동”을 기상학 학술 지에 발표하면서 소개 뉴턴의 역학 법칙 발견 이후 결정론적 인 학설을 라플라스가 주장 결정론적인 학설 : 초기상태를 완벽하게 파악하면 후속적으로 결과를 예측할 수 있다 카오스 이론은 결정론적인 세계관과 확률론적인 세계관을 연결

카오스의 비선형성

Lorenz의 일기예보의 연구 온도, 기압, 풍속 등에 관한 12개의 방정식을 컴퓨터에 입력하고 그 결과를 관찰 입력 값 중 0.506127과 0.506을 입력하였을 때, 시간이 지날수록 출력된 그래프가 크게 달라짐을 발견 초기 조건의 미세한 차이가 결과적인 부분에서는 엄청나게 커진다는 것을 발견

Lorenz의 일기예보의 연구

Lorenz연구의 의미 기상 모델에서 임의성만 발견 했다면 나쁜 소식을 전했다는 것 외에는 의미가 없다 임의성으로 가장한 ‘질서’를 발견 함으로써 결코 똑같이 반복되지는 않는 계들에 대한 수학적 해석에 관심을 기울이게 한다

기상학의 끌게

나비효과(Butterfly effect) 나비효과란 E. Lorentz에 의하여 시도된 기상현상에 대한 수학적 모델로부터 얻게 되는 결과인 이상한 끌게(strange attractor )를 관찰하고 해석함으로써 얻게 된 개념이다. 북경의 나비가 날개 짓을 하면 뉴욕에는 허리케인이 발생한다는 말은 초기의 아주 작은 차이도 경우에 따라서는 시간의 경과 후 엄청나게 다른 현상으로 나타날 수 있음을 은유적으로 나타낸 표현이다.

나비효과(Butterfly effect) 초기조건에의 민감한 의존성 – 푸엥카레 카오스를 발생시키는 요소 ㅡ 자연계에서는 ‘결과’와 ‘원인’이 비례하지 않는다 카오스에는 비선형계적인 요소가 많기 때문

나비효과(Butterfly effect)

카오스적 끌개

신체에의 카오스 이론의 적용 정상인의 심전도 신호로 구성한 끌개 구조는 특정 부위에 이상이 있는 환자의 끌개와 다르다 신체에의 카오스 이론의 적용 정상인의 심전도 신호로 구성한 끌개 구조는 특정 부위에 이상이 있는 환자의 끌개와 다르다 뇌파검사를 이용하여 정신분열증의 치료를 시도

신체에서의 카오스적 현상

주가의 카오스적 현상의 예

주가의 카오스적 현상

프렉탈(Fractal) 프랙탈이라는 말은 프랑스 과학자 멘델브로트(B. Mandelbrot) 박사가 1975년 라틴어 franrere(부서지다 쪼개다)에서 파생한 형용사 fractus로부터 영어이면서 불어인 fractal을 만듬 물질을 부셔도 전체의 모습을 유지하고 있다는 의미

자기닮음은 프렉탈을 정의하는 결정적 개념이다 자기닮음이란 부분을 일정한 방법에 따라 반복해서 확대하여도 항상 전체의 모습이 다시 나타나게 되는 성질을 말한다. 자기닮음의 수학적인 정의는 함수 f : SS와 모든 x, y 에 대하여 |f(x)-f(y)|=r|x-y|를 만족하는 상수 r(0<r<1)이 존재할 때 f를 S의 닮음 이라고 한다.

프렉탈의 연구 대상

프렉탈의 특성 전체와 부분이 유사한 형태를 가진다 비규칙적, 비대칭적 구조이다. 엄격한 자기유사나 단조로운 반복이 아니며 완전한 동일성이 해체된 비 동일적인 카오스의 세계를 나타낸다 규칙성/비 규칙성, 단순성/복잡성, 다양성/일관성 등의 대조적인 특성들이 공존하고 있다 위상공간에 나타나는 끌개는 프렉탈 특성을 갖는다

프렉탈과 해안선의 유사성

프렉탈(Fractal) 연구대상 : 자연계의 복잡한 자기 유사적 도형(나무나 혈관의 가지, 해안선과 산, 구름의 울퉁불퉁한 모양, 양치식물의 잎 등) 카오스 이론이 위상공간에서 전형적인 프렉탈 구조를 갖기 때문에 프렉탈은 카오스 운동의 기하학적 측면이라고 할 수 있다

프렉탈 차원 유클리드 기하학의 차원 : 정수로 표시되는 차원 (예) 점 : 0차원 직선 : 1차원 원, 다각형 : 2차원 정육면체, 구면 : 3차원 프렉탈 차원 : 비정수적 차원

프렉탈 차원 프렉탈이 속해 있는 도형의 유클리드 차원보다 크지 않다 (예) 칸토어 집합 : 0.6309차원 직선과 유사한 곡선 : 1차원에 가깝다 거의 평면을 채워 나가는 곡선 : 2차원에 가깝다

칸토어 집합의 차원 차원 D = logN / log 1/r 조각의 수는 2배로 늘어나고, 그 조각의 길이는 1/3 으로 줄어든다. 즉 조각의 수N=2 ,늘어난 비율 r=1/3 따라서 차원은 (log2)/(log3)=0.6309...

코흐 눈송이 - 1.26 차원으로 1차원과 2차원의 중간적인 성질 시어핀스키 삼각형 - 1.58차원으로 1차원 직선과 2차원 평면의 중간적인 성질

자기유사성을 갖는 도형들 칸토어 집합 코흐 곡선 시어핀스키 삼각형 멘델브로트 set 줄리아 set

코흐 snowflake

시어핀스키(Sierpinski) 삼각형 1 2 3 규칙 화면 아무데서나 시작점을 고를 것 1, 2 또는 3 중에서 아무 숫자나 고를 것 시작점에서 규칙 2번에서 고른 숫자 쪽으로 반정도 이동할 것

시어핀스키(Sierpinski) 삼각형

시어핀스키 삼각형 에펠탑 : 시어핀스키 삼각형의 3차원적인 유사물

시어핀스키 카페트와 가스켓

멘델브로트와 줄리아 집합 x축은 실수축, y축은 허수축인 복소평면에 나타난다. 아래 식의 상수 c는 복소수를 사용

멘델브로트와 줄리아

멘델브로트 1

멘델브로트 2

불교에서의 프렉탈 一中一切多中一 하나에 모두 있고 많음 속에 하나 있으니 一卽一切多卽一 하나가 곧 모두요 많음이 곧 하나라 一微塵中含十方 한 티끌 속에도 온 우주가 들어있고 一切塵中亦如是 모든 티끌 속에 온 우주 들어있도다

불교에서의 프렉탈 無量遠劫卽一念 한 없이 긴 시간이 한 시간 찰나이고 一念卽是無量劫 찰나의 한 생각이 무량한 긴 겁이네 一念卽是無量劫 찰나의 한 생각이 무량한 긴 겁이네 의상의 화엄일승법계도(법성계)에서

카오스의 교훈과 이용의 전망

카오스 연구의 전망 뉴턴의 역학은 질서 속에서의 카오스 뿐만 아니라 카오스 속에서의 질서도 보여 준다 우리는 카오스를 통해 예측의 한계를 예측할 수 있다 카오스는 우리가 무엇을 예측할 수 있고 무엇을 예측할 수 없는지를 보여준다

카오스와 프렉탈의 응용분야 주식시장의 변동, 경제의 예측 세탁기의 성능을 개선하기 위해 chaotic 운동을 사용 기후, 지구환경, 생물자원 등의 변동예측 바이오 카오스(생체카오스), 뇌파, 심전도, 맥파, 호흡량 등의 해석 진단 혈류 변화에 의한 진단, 마취와 수면상태의 모니터링 카오스 암호 및 난수

카오스와 프렉탈의 응용분야 프렉탈 아트 카오스 예술, 카오스 CG(Computer Graphics) 비선형계에서의 카오스의 발생과 그 제어 카오스 진동의 제거 (탄성체나 회전체 등의 기계분야, 발전기나 모터등의 전기 분야, 선박, 관절계) 미세한 차이의 고감도 식별 센서

참고도서와 자료출처 이노우에 마사요시, 카오스와 복잡계의 과학 아이하라 가즈유키, 쉽게 읽는 카오스, 한뜻, 1994 이민섭, 정보화 사회와 수학, 교우사, 2004 제임스 글리크, 카오스, 동문사, 1997 키스 데블린, 수학으로 이루어진 세상, 에코 리브르,2003 Century TV, 에퀴녹스 시리즈, 카오스 그 무한한 혼동의 질서 http://www-ncsl.postech.ac.kr/main_field.html

참고도서와 자료출처 http://math.rice.edu/~lanius/frac/ http://eexcell.com.ne.kr/ http://chaos.inje.ac.kr http://plaza.snu.ac.kr/ http://www.fractal.co.kr http://knap.hihome.com/fractal/ http://www.ajou.ac.kr/