제 2 장 인장 및 압축 학습목표 하중을 받고 있는 구조물은 힘의 종류에 따라 인장, 압축, 전단, 비틀림 및 굽힘으로 나눈다. 그 구조물을 구성하고 있는 각 부재의 역학적 거동을 파악하는 것이며, 이것을 다루는 것이 바로 재료(고체)역학이다. 공업역학(정역학이나 동역학)에서는 주로 질점(質點)이나 강체(剛體)에 작용하는 힘과 운동을 다루지만 고체역학에서는 하중을 받아 탄성변형을 일으키는 변형체 내부에 생기는 응력과 변형률을 취급한다. 본 장에서는 물체에 인장, 압축과 같은 힘이 작용할 때 재료내부에서 발생되는 응력(應力)과 변형률(變形率)의 개념을 자유물체도와 평형방정식을 사용하여 이해한다. 또한 탄성체역학(彈性體力學)의 가장 기초가 되는 Hooke의 법칙과 그 응용을 다루고, 인장시험을 통한 재료의 기계적 성질 등을 파악한다.

② 전단(剪斷)하중(shearing load) ③ 비틀림하중(twisting load) 2-1 하중 (1) 작용방식에 따른 분류 ① 축하중(axial load) 재료를 잡아당겨 늘리는 인장하중(tensile load, 引張荷重)과 재료를 압축하여 줄어들게 하는 압축하중(compressive load, 壓縮荷重) ② 전단(剪斷)하중(shearing load) 하중의 작용선이 재료의 축선과 수직(단면과 평행)하게 물체를 자르는 형태로 작용하는 하중 ③ 비틀림하중(twisting load) 축에 비틀림을 일으키는 하중; 비틀림모멘트(twisting moment)가 작용 ④ 굽힘하중(bending load) 재료의 축선에 수직으로 작용하여 굽힘을 일으키는 하중

힘의 종류 (5가지) [그림 2-1] 하중의 작용방식에 따른 분류

나. 동하중(dynamic load, 動荷重) (2) 작용시간에 따른 분류 가. 정하중(static load, 靜荷重) ① 사하중(dead load) : 자중(自重)과 같이 하중 크기와 작용방향이 일정한 경우 ② 점가하중(gradually increased load) : 어떤 크기까지 하중이 점차적으로 서서히 증가하는 경우 나. 동하중(dynamic load, 動荷重) ① 반복하중(repeated load) :일정한 크기와 방향을 가진 하중이 반복되는 경우 ② 교번하중(alternative load) :하중의 크기와 방향이 변화하면서 상호 연속적으로 반복되는 하중 ③ 충격하중(impulsive load) :외력이 순간적으로 작용하여 재료에 충격을 주는 하중

가. 집중(集中)하중(concentrated load) (3) 분포상태에 따른 분류 가. 집중(集中)하중(concentrated load) 하중이 한 점에 집중하여 작용하거나 아주 짧은 거리에 모여 작용하는 경우 나. 분포(分布)하중(distributed load) 하중이 일정한 길이 또는 면적에 분포되어 작용하는 경우 다. 이동(移動)하중(movable load); 차량이 다리 위를 이동하는 것과 같이 하중의 작용점이 시간에 따라 변하는 경우

[그림 2-2] 하중의 분포상태에 따른 분류

2-2 인장응력과 인장변형률 외력P가 작용하는 균일 단면봉의 단면 mn을 절단하여 자유물체도(free body diagram; FBD)를 그려보자. 그러면 절단면에서는 뉴턴(Newton)의 제3법칙에 의하여 작용력(action force)과 반작용력(reaction force)은 같게 되므로 [그림(b)]와 같은 자유물체도에서 y방향방향의 힘의 평형방정식을 적용시키면 식(2-1)을 얻을 수 있다. (2-1) 임의 단면을 갖는 균일 단면봉이 축하중을 받을 때, 그 단면에 발생하는 응력은 식(2-1)에서 식 (2-2)와 같이 구해진다. 그림 2-3 인장을 받는 균일단면봉 (a) 봉이 힘을 받아 늘어난 상태 (b) mn단면에서의 FBD (2-2)

응력(stress, σ) 정의 : 단위 면적당의 힘의 세기 2. 종류 3. 단위 인장응력(tensile stress) : 하중 P에 의해 봉이 신장되는 경우의 응력 압축응력(compressive stress) : 하중 P에 의해 봉이 압축되는 경우의 응력 수직응력( normal stress) : 단면에 수직인 응력 단순응력상태 : 인장 또는 압축만을 받을 때 횡단면에는 균일한 수직응력이 생기며, 이 수직응력의 합력이 P가 되는 응력상태 3. 단위 미터계 단위(Meter System Unit) : USCS 단위(U.S. Customary System) : SI 단위(International System of Unit) : 1psi는 약 7,000Pa이며, 1ksi=103 psi, 1kPa=103 psi, 1MPa=106 Pa, 1GPa=109 Pa이다. 본서에서는 위의 3가지 단위계들을 혼용하여 사용함으로써 독자들이 여러 단위계에 익숙해지게 하고자 한다. USCS(U.S. Customary System / unit)의 약자.

변형률(strain, ε) 정의 외력 P에 의해 길이 l인 봉이 힘의 방향으로 δ만큼 늘어났다고 가정 할 때, 원래 길이 l에 대한 신장량 δ의 비로 식(2-3)과 같이 정의된다. (2-3) 2. 종류 인장변형률(tensile strain) : 봉이 인장될 때의 변형률 압축변형률(compressive strain) : 봉이 압축될 때의 변형률 수직변형률(normal strain) : 수직응력과 관계되는 변형률 3. 단위 무차원량(dimensionless)으로서 어떤 단위계가 사용되던지 숫자로만 나타남  따라서 사용하기가 가장 용이함

2-3 후크법칙, 푸아송비 후크 법칙(Hooke’s law, 1678) 탄성계수 , E 2-3 후크법칙, 푸아송비 후크 법칙(Hooke’s law, 1678) “ 재료에 어느 한계 이하의 외력을 가했을 때 변형량은 외력의 크기와 재료의 길이에 비례하고 재료의 단면적에 반비례한다. ” P : 외력(kgf, N) l : 재료의 길이(mm, m) A : 단면적(mm2 , m2) δ : 신량(mm, m) 단, 압축일 때는 축량 E : 탄성계수 (2-4) 탄성계수 , E 재료에 따라 정해지는 재료정수로서 종탄성계수, 또는 영계수(Young’s modulus)라 한다. Ex.) 철강의 탄성계수 미터계 단위, USCS 단위 SI 단위

Hooke’ Law 가정 (1678) (1) 하중의 크기는 재료가 완전탄성을 잃지 않는 범위, 즉 탄성한계 이하 라야 한다. (2) 재료는 균질성(homogeneous, 均質性)을 유지해야 한다. (3) 하중(외력)은 “영”에서 P까지 점차적으로 커지는 정하중이다. (4) 하중은 축선과 일치한다(축선이란 단면의 중심을 이은 중심선).

푸아송 비(Poisson’s ratio, υ) 식(2-4)는 식(2-2)와 (2-3)으로 부터 다음과 같이 표시된다. (2-5) 식(2-4)에서 가 되어 EA는 단위길이당의 변형을 일으키는 데 필요한 힘이 되어 축강성(axial rigidity)이라 한다. 그림 2-3에서, 가로로 줄어드는 변형률(lateral strain, εd )은 식(2-6)과 같다. (2-6) 또, 하중방향의 변형률(longitudinal strain)은 식(2-7)로 표현된다. (2-7)

[그림 2-4] 외력을 받는 요소의 응력과 변형률관계 따라서, ε와 εd와는 식 (2-8)과 같은 비례관계가 있다. (2-8) 두 값의 비 υ를 푸아송 비(Poisson’s ratio), 이것의 역수 m을 푸아송 수 (Poisson’s number)라고 한다. [그림 2-4]에서 외력을 받는 물체 내의 임의 미소요소의 응력σx만이 있을 때, Y 방향의 변형률 εy는 식 (2-9)와 같게 된다. [그림 2-4] 외력을 받는 요소의 응력과 변형률관계 (2-9)

[예제 2-1] 원형단면(20mm)의 봉(길이;20cm)에 4,000kgf의 인장력이 걸렸을 때 지름이 19.97mm, 길이는 201mm로 변형되었다. 이때 (1) 응력, (2) 변형률, (3) 푸아송비를 계산하라. 풀이

(단, 자중은 무시하고 P1=2t, P2=1t, P3=1t이다.) [예제2-2] 강봉이 그림과 같이 매달려 여러 힘을 받고 있다. 봉의 단면적이 5cm2 , E=2*106kgf/cm2일 때 봉의 신량을 구하라. (단, 자중은 무시하고 P1=2t, P2=1t, P3=1t이다.) 풀이 그림 1 그림과 같이 전체의 자유물체도를 도시하고 y방향의 평형방정식을 적용하면 다음과 같다.

FBD 에서 반력 이다. 그림에서 각 요소의 FBD에서 평형방정식을 적용시켜 힘의 관계를 구하면 봉의 신량의 합으로 된다.

2-4 응력-변형률선도 인장시험기에서 도시된 하중(P)-변형량(δ)선도에서 P를 시험편의 처음 2-4 응력-변형률선도 인장시험기에서 도시된 하중(P)-변형량(δ)선도에서 P를 시험편의 처음 단면적 A로 나눈 응력(σ)의 눈금으로, δ는 l로 나눈 것을 변형률(ε)의 눈금으로 한 것이 응력-변형률(σ-ε)선도 이다.   [그림 2-5] 연강의 응력-변형률선도

<표 2-1> σ-ε선도의 주요부를 정리

공칭응력(nominal stress) 진응력(true stress) 가공경화(work hardening) : 재료가 소성변형을 받고도 큰 응력에 견딜 수 있는 성질 변형률 경화(strain-hardening)라고도 한다. 공칭응력(nominal stress) : 하중을 항상 원래의 단면적으로 나누어준 응력 (A0 : 시험편의 원단면적) 진응력(true stress) : 하중을 점점 변하는 단면적으로 나눈 응력 (Aa : 시험편의 실제 단면적)

공칭변형률(nominal strain) la: 하중에 따른 실제길이 진변형률(true strain, natural strain) : 하중의 증가에 따른 실제길이에 대한 길이의 증분의 비 전 진변형률(total true strain, εt) (2-10)

< (a)의 특징 > < (b)의 특징 > 1. 항복점이 뚜렷한 재료와 그렇지 않은 재료가 있다. 2. 항복점과 인장강도가 비슷하면서 높은 강도를 가진 재료가 있다. (ex. 스테인리스강) 3. 항복점이 낮고 변형률이 대단히 큰 재료도 있다. (ex. 황동) 4. 그림의 화살표는 눈금 범위 이상으로 계속 변형된다 는 것을 의미한다. < (b)의 특징 > 응력 σ′를 제거하면 점 B″에서 탄성거동에 따라 점 B′에 도달 1. B1B″1은 탄성변형률 εe 로 복원. 2. OB1은 원상으로 복귀되지 않음 . 이 OB1을 영구 변형률(permanent set, 소성 변형률)이라 한다.

옵셋 항복강도(offset yield strength) (2-11) (ε : 변형률 εe : 탄성변형률 εp : 소성변형률) 옵셋 항복강도(offset yield strength) σ-ε 선도 : 항복점이 불확실한 재료에서 0.2%의 영구 변형률을 가지는 점을 항복점 대신 선택 ε 축의 확대그림 그림2-8에서 0.002의 눈금에서 OA와 평행 하게 작도한 CB 선상의 B점이 항복점 그림 2-8 σ-ε 선도와 0.2%의 항복점을 구하는 방법의 예

재료의 구분 연성재료(ductile material) 2. 취성재료(brittle material) : 여러 재료군의 σ-ε 곡선에서 나타나는 공통적인 특성을 근거 연성재료(ductile material) 파단이 일어나기까지 큰 변형률에 견디는 재료 (ex. 연강, 알루미늄, 구리 및 그 합금 등) 2. 취성재료(brittle material) 인장시 비교적 작은 변형률 값에서 파단을 일으키는 재료 (ex. 콘크리트, 주철, 세라믹 재료 등) 연성(ductile)의 척도 : 신장률과 단면감소율 l0: 최초의 표점길이 lf: 파단시 표점길이 (2-12) Ao : 최초의 단면적 Af : 파단면의 단면적 (2-13)

허용응력(allowable stress) 2-5 허용응력 허용응력(allowable stress) : 탄성한계 내에서 각 부재에 실제로 생겨도 무방한 또는 의도적으로 고려해 주는 응력. 또는 사용응력(working stress) 이라 칭함. (2-14) ( σyp : 항복점 σu : 최후강도 n : 안전계수 ) 연성재료에서는 식(a), 취성재료에서는 식 (b)를 사용

[예제2-3] 세 가지의 다른 재료 A, B, C에 대해 직경 0.505in, 표점길이 2.0in인 표준시험편을 가지고 인장시험을 하였다. 시험편이 파단된 후의 표점길이가 각각 2.13, 2.48, 2.78in 이었고, 직경이 0.484, 0.398, 0.253in이었다. 각 시험편에 대한 연신률과 단면감소율의 백분율을 구하고, 취성 혹은 연성인가를 구분하여라. 풀이 식 (2-12), 식 (2-13)에서 구할 수 있다. 재료 A : 재료 B : 재료 C :

[예제2-4] [그림 2]의 트러스에서 강재의 항복점이 4,000kgf/cm2, 인장을 받는 부재의 안전계수 2라면 부재 AC, AD의 단면적을 얼마로 할 것인가? (단, 압축부재의 좌굴은 무시한다.) [그림 2] 풀이

가공경화(work hardening)를 무시한 이상화 2-6 σ-ε 선도의 이상화와 극한설계 가공경화(work hardening)를 무시한 이상화 : 항복점 이후에는 가공경화 현상이 존재하는데 이러한 성질을 무시하여 탄성역과 소성역의 두 영역으로 가정하면 [그림 2-9]와 같이 된다. 구조물의 재료로 널리 사용되는 연강과 구조용강은 인장시험하면 큰 소성변형이 생기는데 [그림 2-9]와 같이 이상화하여 극한설계(limit design)에 이용하게 된다. 또한 [그림 2-10]의 강완전소성체(rigid-perfectly plastic body, 剛完全塑性體)는 탄성변형률이 소성변형률에 비하여 대단히 작아서 탄성변형률을 무시한 것이다.

선형적인 가공경화를 인정하는 이상화 재료에 따라서는 가공경화를 완전히 무시할 수가 없어서 항복점 이후에는 소성변형이 선형적인 경화특성을 지닌 것으로 가정하는 경우이다. [그림 2-11]과 같이 항복점 이하에서 탄성체이면 탄선형경화소성체(elastic-plastic body, linear strain hardening, 彈線形硬化塑性體)이고 항복점 이하가 강체(剛體)이면 [그림 2-12]와 같은 강선형경화소성체(rigid-plastic body, linear strain hardening)로 된다.

비선형가공경화를 인정하는 이상화 변형률경화 (2-15) [그림 2-13]; 탄비선형 경화소성체(elastic-plastic body, non-linear strain hardening), [그림 2-14]; 강비선형 경화소성체(rigid-plastic body, non-linear strain hardening).

[예제2-5] [그림 3]과 같이 한 끝 C에서 힌지로 저지된 길이ℓ인 강체봉 CD를 두 개의 서로 다른 연직강선에 의하여 수평하게 된다. 이 봉의 다른 끝 D에 수직하중 P가 작용할 때 이 두 강선에 생기는 인장력 SA와 SB를 구하라. 또, 극한설계에 의하여 극한하중을 구하라. [그림 3] 풀이

후크 법칙을 적용; 의 비율로 SB쪽이 큰 힘을 받고 있다. P를 점차 증가시키면 강선 B쪽은 먼저 항복점 강선 A쪽은 아직 항복점 이하의 응력상태 하중을 더욱 증가시키면 강선 A쪽도 항복점에 도달하게 된다. 이때의 하중을 이 구조물의 극한하중 PL 실제로 작용할 하중의 안전계수 n배만큼 더 큰 하중을 받도록 구조물을 설계하는 기법이 극한설계이다. 재료가 소성역에 도달하게 되면 극한설계에서는 [그림 ]와 같이 응력의 크기와 변형과는 무관하게 되므로 힘의 평형관계만 고려하는 정정문제로 변하게 된다. (c)

좌우대칭인 [그림 4]의 구조물에서 단면적 으로 모두 같을 때 극한하중 PL을 구하라 [예제2-6] 좌우대칭인 [그림 4]의 구조물에서 단면적 으로 모두 같을 때 극한하중 PL을 구하라 풀이 [그림 4]

[예제2-7] [그림 5]와 같이 줄 BC와 CD의 단면적은 10mm2, σyp =40kgf/mm2일 때 부재 CE가 좌굴하중 Q=3,000kgf의 압축을 받을 수 있는 극한하중 PL을 구하라. 단, 보 AB는 강체이며, 길이 CD=5cm, DB=7.2cm이다. [그림 5] 풀이

THANK YOU FOR YOUR ATTENTION !!!