실용수학 수 이야기

지금의 수사가 탄생하기까지 인간의 역사는 백만 년쯤 되는데 책이 쓰여진 역사는 불과 수 천년 밖에 되지 않는다. 그러나 우리가 지금 쓰고 있는 말 가운데 아득한 옛날에 사용된 셈의 방법이 남아 있다. 예를 들면 작은 돌멩이나 Tally stick이다. 작은 돌멩이는 부대에 넣어가지고 다니면서 소나 양 등 중요한 재산의 수를 알고 싶을 때 언제라도 사용하곤 했다.

지금의 수사가 탄생하기까지 Tally stick은 먼 옛날 수나, 수량이나, 어떤 메시지까지 기록을 위해 만들어졌다. 체코에서 발견된 늑대 뼈에 새긴 탤리

지금의 수사가 탄생하기까지 처음 발견된 Tally stick은 구석기 시대에 동물의 뼈에 새겨서 사용되어 왔고, 그것은 1937년 체코에서 발견되었다. Tally stick은 여러 대륙에서 사용한 흔적이 있는데 잉카에서는 BC 4세기에, 페르시아에서는 BC 5세기에, 그리고 AD 13세기 마르코 폴로에 이르기까지 사용되었다고 알려져 있다.

지금의 수사가 탄생하기까지 후에는 양, 소와 같은 가축 한 마리마다 눈금 하나씩을 1대 1로 대응시켜 그 수를 확인 하는 방법으로 사용하다가, 이 막대가 저금 통장의 역할도 하였고, 세금납부의 증서 역할도 하였다. 후일에 돌멩이와 가축 사이의 대응에 관한 생각이 더욱 발달하게 되어 돌 대신 귀한 보석이나 금속을 사용하면 단순히 셈하는 도구로써 뿐만 아니라, 가축과 동등한 가치를 인정받게 된다는 사실을 깨닫게 되었다.

지금의 수사가 탄생하기까지 돌 가축에서 돌 가축으로 발전하게 되었다. X X 여기서 2라는 수가 추상된다. 돌 가축에서 돌 가축으로 발전하게 되었다. X X 여기서 2라는 수가 추상된다. 여러 개의 물건 또는 여러 가지 사실 사이의 공통되는 성질을 알아내고 마치 그러한 성질을 물건 다루듯이 하는 이 능력이 인간의 힘의 원천이다.

지금의 수사가 탄생하기까지 수를 추상하는 능력은 인간만이 지닌 엄청난 능력이다. Bertrant Russell 인류가 닭 두 마리의 2와 이틀의 2를 같은 것으로 이해하기까지에는 수천 년이라는 시간이 걸렸다. 자기가 품는 4개의 알 중에서 하나만 없어져도 금방 알아차리는 영리한 새일지라도 밤하늘에 반짝이는 네 개의 별과 자기가 품고 있는 알 넷이 같은 4임을 알지 못한다.

수사 없이 셈을 할 수 있다 아무리 어려운 수학의 이론도 처음에는 아주 간단한 것에서부터 출발한다. 미개인이 돌멩이나 나무토막으로 가축의 수를 셈한다든지 손가락이나 발가락으로 수를 나타내는 것 모두가 간단하고 유치하다. 그러나 그런 방법이 고도로 세련되어 오늘날 전자계산기의 이론에까지 발전하게 되었다. 돌멩이나 나무토막이 없을 때는 자신의 손가락이나 발가락으로 셈을 하여서 우리가 현재 사용하는 수도 10을 단위로 하고 있다. 십(10), 백(100)…이라는 식으로 0이 하나씩 늘어갈 때마다 10배씩 커진다. 이 10진법의 수 세기는 먼 옛날 인간의 조상들이 손가락으로 수를 대신 하였을 때의 유물임을 암시해 준다.

수사 없이 셈을 할 수 있다 어떤 임금님에게 어여쁜 공주가 있었다. 임금님은 딸을 세상에서 가장 지혜로운 사람과 결혼시키려고 다음과 같은 방을 붙였다. “넓은 궁 안에 있는 나무들을 종류별로 그 수를 정확히 셀 수 있는 청년과 결혼시키겠다. 단, 나무에 표시를 하거나 상처를 입혀서는 안 된다.” 이 방을 보고 나라안의 자신 있는 청년들은 모두 나섰다. 어떤 청년은 한 그루씩 세어 나가다가 수를 혼동하기도 했고, 또 어떤 청년은 빨리 세느라 이리 뛰고 저리 뛰는 사이에 허기져 쓰러져 버리기도 하였다. 그러던 어느 날 한 청년이 길이가 한 아름, 두 아름, 세 아름이 되는 새끼줄을 여러 다발 가지고 나타나, 나무에 새끼줄을 묶어나갔다. 그리고 나서 남은 새끼줄의 개수를 셈하여, 정확히 나무 크기를 분류하고 그 개수까지도 알아 맞혔다. 이 이야기는 간단한 방법으로 조리 있고 조직적으로 생각할 수 있는 것을 보여준다.

수란 무엇인가? 수의 세계는 독특한 규칙에 따라서 펼쳐지는 것으로, 자연수에서의 0은 단순히 ‘없다’라는 것을 의미하지만, 정수에서는 0은 양수와 음수의 경계 점이 되는 중요한 역할을 하고 있다. 수의 세계는 ‘그림자와 같은 기호의 세계이며, 실험이나 관찰의 대상이 되는 물리적 현실과 혼동해서는 안 된다. 이러한 특수한 규칙을 연구하는 수학이라는 학문은 그 연구의 성과가 현실의 물질 세계에 적용되는지 어떤지에 대해서는 아랑곳 하지 않고 오직 ‘그림자의 세계’에서의 문제들만을 다룬다.

수란 무엇인가? 수의 특징으로 다음 두 가지를 들 수 있다. 수는 결코 사물의 일부도 사물의 어떤 특별한 성질도 아니다. 그러면서도 사물과 관련 지어서는 아주 편리한 기호이다. 이 수라는 기호를 써서 가, 감, 승,제 등의 조작, 즉 연산을 할 수 있다. 연산은 수 사이에서만 이루어지는 것이지 물건끼리를 더하거나 빼거나 하는 것은 아니라 이것들과 관련 지어진 수에 관해서 셈을 하고 있는 것이다.

수의 발전 오늘 날 우리가 편리하게 사용하고 있는 숫자는 전 세계가 공통으로 사용하고 있는 아라비아 숫자이다. 그러나 12세기 전까지만 하더라도 많은 유럽의 국가들이 수학, 철학, 천문학 등이 일찍 발전했던 로마제국의 소유물인 로마 숫자를 주로 사용해 왔다. 그러나 1202년 수학자이면서 상인이었던 피사의 레오나르도가 ‘계산서(計算書 : Liber Abaci)'라는 계산 입문서를 펴냄으로써 유럽사회를 변화시키는데 결정적인 역할을 했다. 그 이유는 오늘 날 우리가 사용하고 있는 0에서 9까지의 아라비아의 숫자를 사용하도록 권장했기 때문이다.

수의 발전 고대에는 숫자를 나타내는 뚜렷한 기호나 체계가 없음이 분명하다. 단순히 생활의 한 방편으로 물건 등의 많고 적음의 구분을 위해서 조약돌이나 막대기를 사용하였다고 볼 수 있다. 고대 이집트인들은 기원전 3,300여 년 전부터 현재의 숫자 1에 대한 상형문자로 수직인 막대기 I로, 10은 팔꿈치 또는 손잡이로, 100은 밧줄 감은 형상으로, 1,000은 연꽃 모양으로, 10,000은 손가락 모양으로, 100,000은 숫자가 너무 커서 사람이 놀라서 팔을 들고 있는 형상으로, 그리고 무한대는 태양으로 나타내었다.

아라비아 숫자  우리가 현재 사용하고 있는 0, 1, 2, 3, 4, 5, … 을 아라비아 숫자라고 하는데, 정작 아라비아인들은 이를 인도 숫자라고 부른다. 그 이유는 처음에 인도에서 사용하던 것이 아라비아의 상인들에 의해 편리함을 알고 사용하면서 아라비아와 세계로 전파된 것이다.

아라비아 숫자 여기서, 0은 세상에 오랫동안 알려지지 않았는데, 고대 수학자들은 숫자가 없는 자리를 빈 공간으로 남겨 두었다. 그러나 실제로 빈 공간 때문에 많은 어려움을 겪었다고 한다.  

0의 기원 우리가 물건 등을 셀 때, 물건이 많다 또는 적다라는 말이나, 우리가 외출을 하고자 할 때, 바깥 날씨가 춥다 또는 덥다라는 말을 많이 쓰게 되는데, 그 많고 적음의 기준이나 춥고 더움의 기준은 실제로는 애매모호할 수밖에 없다. 이와 같이 우리의 실생활에서 그 애매모호한 기준점을 찾는데 너무나 많은 시간이 걸렸다는 것이다.

0의 기원 실제로 있던 물건이 없어질 때 빈 공간으로 남겨두기에는 너무나 많은 어려움을 겪을 수밖에 없었을 것이다. 무(無)의 상태로 존재하는 영(零)의 실제적인 형태, 즉 비어 있는 것을 원(○)으로 처음 나타낸 것은 기원전 마야나 인도에서이다. 인도의 수학자인 아리야바타(Aryabata : 476-550?)가 5세기경에 영을 처음 사용했으나 825년 아라비아의 수학자인 알콰리즈미(Alkhwarizmi : 780-850)가 ‘인도의 수(數)’에 대한 책에서 처음으로 영(零 : 0)을 소개하면서부터 세상에 알려지면서 우리에게는 인도의 수라고 하기보다는 아라비아의 수라고 더 잘 알려져 있다.

로마 숫자 우리가 현재 사용하고 있는 I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, 을 로마 숫자라고 하는데, 실제로 이들의 표기법은 막대기를 사용한 것으로 그들의 수에 대한 개념이 아라비아 숫자보다 보잘 것 없음을 보여주고 있다. 이 로마 숫자를 사용하여 한번이라도 곱셈이나 나눗셈을 해 본 사람이면 얼마나 불편한지를 알 수 있을 것이다.

그리스 숫자 이집트에서 가장 큰 강이 하나 있었는데, 이 강은 1년에 한 번은 꼭 많은 비가 와서 강물이 범람하여 평원을 뒤엎고, 또다시 강물이 범람하여 평원을 뒤엎는 현상을 반복하였다고 한다. 따라서 그 지역의 사람들은 강이 범람하는 주기가 365일임을 알고, 이 강을 나일강이라고 부르고, 그리스어의 철자로 ΝΕΙΛΟΣ라고 썼다고 한다. 이 단어를 그리스 숫자로 고쳐보면 가 된다.

그리스 숫자  고대에는 그리스어의 철자들을 아래와 같이 숫자처럼 사용해 왔다.

우리 숫자 우리가 사용하는 말들 중에서 순수 우리말로 사용되는 숫자에는 다음과 같은 것들이 있다. ‘온 가지 동물이, 온 몸이 쑤신다, 온 세상을 다 준다 해도’라는 말에서 ‘온’은 백(百), 즉  100을 나타내는 말이다. ‘즈믄둥이’에서 ‘즈믄’은 천(千), 즉 1,000을 나타내는 말이다.

우리 숫자 ‘드먼’은 만(萬), 즉 10,000을 나타내는 말로서 두만강이 만 가지의 지류를 가졌다 해서 ‘드먼강’이 ‘두만강’으로 바뀌었다고 한다. ‘이 몸이 죽어 죽어 골 백 번 죽어도’라는 말에서 ‘골’은 경(京)을 나타내는 말이다. 우리가 셈을 할 때, 한 손의 손가락을 모두 꼽아서 5개를 나타내는 ‘닫은 손’이라는 뜻으로 ‘다섯’이라고 한다. 우리가 셈을 할 때, 한 손의 손가락을 모두 열어서 10개를 나타내는 ‘열린 손’이라는 뜻으로 ‘열’이라고 한다. 기타 순수 우리말로 된 숫자에는 바늘을 셀 때 쓰는 쌈( 24개), 조기를 셀 때 쓰는 두릅(한 두릅은 1줄에 10마리씩 2줄), 고등어 등을 셀 때 쓰는 손(한 손은 2마리), 오징어 등을 셀 때 쓰는 축(1축은 20마리) 등이 있다.

한(漢) 숫자 불가사의(不可思議) : 상식적으로는 도저히 생각할 수 없는 것 또는 이상한 것을 말한다. 무량대수(無量大數) : 헤아릴 수 없을 정도로 엄청나게 큰 수, 즉 을 말한다

한(漢) 숫자 모호(模糊) : 언제 지나갔는지 모를 정도로 정신이 나간 것처럼 멍하니 순간적으로   지나가버리는 시간, 즉 의 시간을 말한다. 준순(浚巡) : 어떤 일을 단행하지 못하고 우물쭈물하는 사이에 지나가버리는 시간,  즉 의 시간을 말한다. 순식(瞬息) : 순식간(瞬息間) 또는 순간(瞬間)이라고도 하는데, 눈을 한 번 깜빡 거리거나 숨을 한 번 쉴 만한 사이와 같이 극히 짧은 시간, 즉 의 시간을 말한다. 탄지(彈指) : 손가락으로 튀기는 정도의 짧은 순간, 즉 의 시간을 말한다. 찰나(刹那) : 눈 깜짝할 사이라는 아주 짧은 시간, 즉 의 시간을 말한다.

수마다 개성을 지닌다 수에는 기수와 서수가 있어서 살의 양, 크기 또는 순서를 나타낼 뿐만 아니라 수 그 자체가 많은 뜻을 나타내고 있다. 수가 지니고 있는 뜻은 시대에 따라 다르기도 하고, 국가나 종족에 따라 다르기도 한다. 옛날 사람들은 숫자를 가지고 미래를 점칠 정도로 수의 개성을 지나치게 존중했다. 모든 것은 수라고 믿었던 피타고라스는 수마다 여러 가지 의미를 부여하기도 했다. 0의 의미 0은 무, 비 존재를 나타내고 악마의 수라 불리운다. 1의 의미 1은 모든 수의 시작을 의미하고 모든 것의 우두머리를 나타내고 최초를 뜻한다. 선, 빛, 질서를 상징하고 행복의 수, 축복의 수라고도 한다.

수마다 개성을 지닌다 2의 의미 우리 나라에서는 2는 삼라만상의 화합과 조합을 나타내며 지혜의 수라고도 한다. 이분법적인 관계로서 음과 양, 일월, 천지, 남녀, 부모, 선과 악, 흑과 백 등도 2와 밀접한 관계가 있다. 또는 대립 반대의 뜻도 있어서 싸움을 의미하기도 한다. 서양에서는 악, 어둠, 무질서, 불행 등을 나타낸다고 믿었다. 1이 신의 숫자였으므로 악마의 수는 그 다음의 수 2이어야 한다고 생각했다.

수마다 개성을 지닌다 3의 의미 3은 안정과 조화의 수로서 우리나라에서 가장 좋아하는 수이기도 한다. 3은 정립이라 하여 삼각대가 만들어지고, 모든 것의 근본을 말하기도 하며 천 지 인, 3원색, 삼위일체 등의 뜻이 있다. 서양에서도 3은 완전무결이라 생각했다. 1+2=3, 즉 3은 1과 2를 통합하는 수이기 때문이다. 자연계가 동물, 식물, 광물로 이루어져 있고, 인간은 마음, 영혼, 육체로 되어있다.

천진법과 만진법 수를 써 내려가는 명수법으로 서양인들은 세 자리마다 콤마(,)를 찍어 나타나는 1,000진법을 주로 사용하였고, 동양인들은 이보다. 더 큰 네 자리마다 콤마(,)를 찍어 나타내는 1,0000진법을 사용하였다. 그러나 오늘날 전 세계에서는 서양의 명수법을 따르고 있음을 알 수 있다.

천진법과 만진법 천진법(千進法) 서양에서는 예로부터 큰 수를 나타내는데 세 자리마다 콤마를 찍어 천(thousand : 1,000), 백만(million : 1,000,000), 십억(billion : 1,000,000,000), 조(trillion : 1,000,000,000,000)으로 나타내었다. 만진법(萬進法) 동양에서는 예전에 큰 수를 나타내는데 네자리마다 콤마를 찍어서 만(萬 :1,0000), 억(億 :1,0000,0000), 조(兆 :1,0000,0000,0000), 경(京 :1,0000,0000,0000,0000)으로 나타내었다.

3,123,456,789 3자리마다 콤마(,)로서 자리를 구분  영어식 표기법 읽기: (31억)(2345만)(6789) 4자리씩 끊어서 읽는다. 우리나라, 일본, 중국 등 산경에 기초한 동양에서는 4자리씩 끊어서 읽는다. 우리나라 읽기대로 표기하면  31,2345,6789 가 된다. 그러나 우리는 수를 표기하는 방법은 서양식으로 읽는 것은 우리나라 방법으로 읽는 불일치 하는 표현법을 사용하고 있다.

실제 이 수를 영어 표기법 대로 읽으면? (3십억) (123백만) (456천) (789) 3 billions(10억) 123 millions(백만) 456 thousands(천) 789 Three billions one hundred twenty three millions four hundred fifty six thousands hundred eighty nine

예제 1. 아주 큰 11자리수 32165498725를 읽는데, 동양과 서양의 명수법들 중에서 어느 쪽이 읽는데 더 편리한가를 알아보자. 2. A는 어느 날 돈 1000원을 가지고 B상점에 가서 과자 700원어치를 샀다. 그런데 B상점에서는 거스름돈이 모자라 이웃 C상점에 가서 거스름돈을 바꾸어 A에게 거스름돈 300원을 내주었다. 얼마 뒤에 C상점 주인이 B상점 주인에게 조금 전에 바꾸어간 돈 1000원이 위조지폐이니 도로 돌려 달라고 하였다. B상점 주인은 하는 수 없이 도로 돌려주고 난 뒤에 생각해 보니 A를 붙잡을 수도 없고 해서 그 돈을 찢어 버렸다. B상점 주인은 손해를 보기는 보았는데 얼마의 손해를 보았겠는가?

수의 범위 우리는 어느 정도의 수까지 알고 있을까? 사회가 발전하고 다변화 되면서 우리는 예전에는 필요하지 않았던 더 큰 단위의 수가 필요하고 더 미세한 부분을 표현할 수 있는 단위가 필요하게 된다. 이런 의미에서 몇 십 년 후에는 지금 우리가 사용하고 있는 수의 범위를 벗어나 더 많은 수 단위의 확장이 필요하리라 생각된다. 예를 들면 현재 세탁기 선전이나 컴퓨터 디스크 용량에 많이 나오는 “나노”나 “기가”등이 예전에는 많이 쓰지 않았으나 지금 일반화된 수사들이다. 그 외에 많은 수사들을 살펴보면 다음과 같다.

deca(d) deci(d) hecto(h) centi(c) kilo(k) milli(m) myria decimilli mega(M) centilli giga(G) micro(μ) tera(T) nano(n) peta(P) pico(p) exa(E) femto(f) atto(a)

여러 가지 수 완전 제곱수 모든 n의 제곱수, 즉 n제곱은 1부터 연속되는 n개의 홀수들의 합, 즉 과 같이 되는데, 이와 같이 되는 수를 완전(完全) 제곱수라 한다.  

완전수 수 6의 약수는 1,2,3,6인데 자기 자신 6을 제외한 모든 약수들의 합이 자기 자신과 같아진다 완전수 수 6의 약수는 1,2,3,6인데 자기 자신 6을 제외한 모든 약수들의 합이 자기 자신과 같아진다. 이와 같이 자기 자신을 제외한 모든 약수들의 합이 자기 자신과 같아지는 수를 완전수 (完全數 : perfect number)라고 한다. 이와 같은 완전수는 1952년까지 12개가 발견되었는데, 모두가 짝수였다는 것이다. 유클리드의 마지막 정리에 의하면 ‘ 이 소수이면, 은 완전수이다.’이다. 유클리드의 공식으로 얻게 되는 완전수는 모두 짝수인데, 오일러가 짝수인 모든 완전수는 반드시 그와 같은 꼴이라는 사실을 밝혔다. 홀수인 완전수의 존재 여부는 아직까지 미해결의 문제로 남아 있다.

과잉수 자기 자신을 제외한 모든 약수들의 합이 자기 자신보다 큰 수를 과잉수(過剩數 : abundant number)라 한다. 부족수 자기 자신을 제외한 모든 약수들의 합이 자기 자신보다 작은 수를 부족수(不足數 : deficient number)라 한다.

우애수(친화수) 두 자연수 a와 b가 있을 때, a의 자신을 제와 한 약수의 총합이 b가 되고, b의 자신을 제외한 약수의 총합이 a가 되는 관계의 두 수 (220, 284), (1184, 1210), (2160, 2924), (5020, 5564), …

참고도서 김용운,김용국, 재미있는 수학여행, 김영사 박경미, 생각을 키우는 수학 나무, 랜덤하우스 박재균, 논리적이고 철학적인 수학, 석학당 박형빈, 수학은 생활이다, 경문사 새터교육도서개발팀, 70일간의 수학여행, 새터 요시다 요이치, 0의 발견, 사이언스북스