유한요소법을 이용한 가열된 평판의 온도 분포 분석 (The FEM analysis to the distribution of temperature for the plane) 컴퓨터 응용 과학부 4학년 이경옥

발표 순서 서론 본론 토의 및 결론 1. 평판의 온도 방정식 Laplace 방정식 2. 가열된 평판의 온도 구하는 방법 (1) 직관적인 방법 (2) 해석적인 방법 (3) 수치적인 방법 유한차분법(FDM) , 유한요소법(FEM) 본론 1. 유한요소법 소개 2. 세 가지 경계조건 하에서 가열된 평판의 온도 구하기. ( Mathematica Package , C language 이용 ) (1) 고정된 경계조건을 갖는 평판의 온도 분포 (2) 특정한 부분에만 열원이 주어진 경우 (3) 불규칙한 경계조건을 갖는 평판의 온도 분포 토의 및 결론

1. 평판의 온도 방정식 Laplace 방정식 Laplace방정식은 미지온도( )의 정상상태 (stationary state)를 구할 때 주로 사용된다. 평판은 충분한 시간이 지나면 정상상태의 온도분포에 도달하게 된다.

2. 가열된 평판의 온도 구하는 방법 (1) 직관적인 방법 직관적인 방법은 평균으로 중심의 온도를 예측할 수 있다. T(1,1) 직관적인 방법은 평균으로 중심의 온도를 예측할 수 있다.

(2)해석적인 방법 100 70 50 + Laplace연산자는 선형 미분 연산자이므로 각 경계조건을 합하면 중심의 온도뿐 아니라 각 점에서의 온도에 대해 정확히 알 수 있다.

(3) 수치적인 방법 - 유한차분법 (Finite Difference Method) 유한차분법은 일반적인 경계조건 하에서 편미분 방정식을 대수차분방정식으로 푸는 방법으로 중심의 온도를 알 수 있다.

(4)수치적인 방법-유한요소법(Finite Element Method) (0,1) (2,1) (1,0) (1,2) 절점에 가해진 외부 영향을 나타내는 열벡터 (요소 방정식들의 조합) 초기조건으로 주어진 절점온도(경계조건) 강성행렬 (요소의 성질을 나타냄) 유한요소법은 이산화 하는 과정으로, 대수 방정식을 구해서 해를 얻는 방법으로 중심의 온도는 T( )=55 ℃ 로 구할 수 있다.

가열된 평판의 온도 구하는 여러가지 방법들 비교 장점 단점 직관적인 방법 간단한 계산. 경계조건이 간단 중심의 온도만 구할 수 있다. 해석적인 방법 모든 점에서 온도 구현가능. 경계조건이 간단. 수치적 방법 - 유한차분법 편미분 방정식 - 행렬 대수방정식 주변의 온도를 알아야 함. 불규칙한 모양 적용 불가능 - 유한요소법 복잡한 경계조건,불규칙한 모양에 적용가능. 계산 복잡.

유한요소법의 장점과 적용분야 유한요소법의 장점 유한요소법의 적용분야 ㄱ. 불규칙적으로 생긴 물체에서 적용이 가능. ㄴ. 다른 물질로 구성된 물체에서도 적용이 가능. ㄷ. 경계조건의 종류, 개수에 제한이 없으며 필요에 따라 특정 부위의 요소 크기를 자유롭게 할 수 있음. 유한요소법의 적용분야 공학분야에 두루 걸쳐서 적용 가능한 범용해법 . : 구조물 해석문제, 유체 유동, 열전달, 전자기 포텐셜, 토양역학, 음향학, 항공기 우주선 등에 적용된다.

3.유한요소법 소개 첫째로 해의 영역을 유한요소로 나누는 이산화 과정 첫째로 해의 영역을 유한요소로 나누는 이산화 과정 ( 2차원 일 때 : 삼각형, 사각형 같은 단순한 요소들이 사용됨 ) (0,1) (2,1) (1,0) (1,2) < 고정 경계 조건을 갖는 평판 > < 삼각형 요소 > < 삼각형 요소로 분할 >

두 번째로 각 요소에 대한 해를 근사하는 방정식 구하기 : 절점 온도 , : 형상 함수 : 온도 함수인 근사 방정식 세 번째로 열유속에 관한 관계식 구하기. [B] [D] [ : 열 전도율 , A : 요소의 넓이 ]

네 번째로 형상함수[ ]가 선택되면 요소의 성질을 나타 내는 강성행렬 구하기 네 번째로 형상함수[ ]가 선택되면 요소의 성질을 나타 내는 강성행렬 구하기 전도에 의한 열의 이동 대류에 의한 열의 이동 ( [B] : 온도 기울기의 계수 , [D] : 열 전도율 , h : 열전도 계수 ) 다섯번째로 전체 좌표계에 대한 요소방정식과 경계조건 적용하기. 초기조건으로 주어진 절점온도(경계조건) 강성행렬 (요소의 성질을 나타냄) 절점에 가해진 외부 영향을 나타내는 열벡터 (요소 방정식들의 조합)

여섯 번째로 식 을 LU 분해법이나 Gauss 소거 법과 같은 수치해석적 방법들을 이용해서 절점온도 벡터 계산하기. 일곱 번째로 열이 흐르는 방향을 알기 위해서 요소내의 온도 기울기와 열유속 계산하기. 이것을 여러가지 소프트웨어를 사용하여 시뮬레이션 하면, 절점에서의 온도뿐만 아니라 다른 부분에서의 온도도 예상할 수 있다.

고정된 경계조건을 갖는 평판의 온도 분포 ( Mathematica Package 이용) 4. 세 가지 경계조건 하에서 평판의 온도 구하기. 고정된 경계조건을 갖는 평판의 온도 분포 ( Mathematica Package 이용) source나 sink가 없는 가장 간단한 예로서 고정 경계조건에서의 평판의 온도 분포 구하기. 구하고자 하는 온도값 < 고정 경계 조건을 갖는 평판> < 삼각형 요소로 분할 >

℃ 유한요소법 삼각형 요소로 나누기 근사방정식인 온도함수 열유속과 온도함수관계 요소방정식 구하기 각 요소방정식 조합 각 요소방정식 조합 행렬 계산하기 온도 구하기 ℃

<< A Language to Solve Finite Element Problems >> Mathematica Package << A Language to Solve Finite Element Problems >> : Mathematica Package를 이용한 LSFEP 유한요소법은 사각형 요 소를 사용하며 온도가 정의되지 않는 꼭지점에 대해서 근사해 갈수 있다. 각 노드의 온도 < 사각형 요소 > < 온도 분포>

(2) 특정한 부분에만 열원이 주어진 경우 ( Mathematica Package 이용 ) 어느 한 부분에만 열원을 주어서 그 부분의 온도만 고정시켰을 때 평판의 온도 분포 구하기 < 왼쪽 끝,위쪽 끝에만 열원이 있는 평판 > < 100개의 사각형 요소 >

각 노드에서의 온도분포 전체적인 온도분포를 나타낸 등고선 그래프 : 왼쪽 모서리 즉, 파란색으로 나타나는 부분이 0℃로 가장 낮고 오른쪽 위로(빨간색) 올라 갈 수록 온도가 100℃로 높아진다.

(3) 불규칙한 경계조건을 갖는 평판의 온도 분포 ( C language 이용 ) 경계부분의 모양이 사각형 아닌 불규칙한 경우 < 불규칙한 모양의 평판 > < 삼각형 요소 10개로 분할 > : 이므로 해는

< C언어로 구현해 본 결과 > C language 는 불규칙한 경계조건일 경우에도 쉽게 온도 분포를 구할 절점 절점에 관여한 삼각요소들 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 4.03833918 4.07816503 4.02912605 4.04954397 4.05627199 4.00000000 E3 E4 E7 E8 E1 E4 E5 E2 E4 E1 E9 E2 E5 E6 E10 E6 E3 E3 E7 E7 E8 E8 E1 E9 E5 E9 E2 E10 E6 E10 C language 는 불규칙한 경계조건일 경우에도 쉽게 온도 분포를 구할 수는 있으나, Mathematica Package처럼 그래프를 그리려면, 더 많은 프로그래밍을 수행해야 한다.

5. 토의 및 결론 힘들었던 점 배운점 느낀점 열전달과 유한요소법의 개념을 이해하기가 어려웠다. 이론을 바탕으로 공부한 결과 와 실제 실험 결과를 비교하지 못함 소수의 인원이 공부하는 분야라서 토론하기가 힘들었다. 배운점 편미분 방정식의 해를 구하는 여러 가지 방법들을 배웠다. 시뮬레이션이라는 과정이 실제에서 꼭 필요함을 배웠다. C language 와 Mathematica Package는 서로 상호 보완적이다. 느낀점 준비하면서 많은 어려움이 있었지만 이 기회를 통해 문제 해결능력과 발표력을 키울 수 있어 좋았던 것 같다.