제2장 측정과 문제해결

단위들을 잘못 기재하면 결과는 재앙이 될 수 있다. 2.1 미터법의 혼동: 1억2,500만 달러 단위 에러 단위는 다른 양을 측정하는 표준화되고 약속된 양이다. 미터법 단위: 미터(m), 킬로그램(kg), 초(s), 캘빈(K) 영국식 단위: foot(ft), pound(lb), quarts(qt) 단위들을 잘못 기재하면 결과는 재앙이 될 수 있다.

2.2 과학적 표기법:크고 작은 숫자의 표기  

요약 : 과학적 표기법으로 숫자를 표기하는 방법 요약 : 과학적 표기법으로 숫자를 표기하는 방법 소수점을 이동시켜 1부터 10 사이의 수를 얻는다. 소수점을 이동시킨 자리 수 만큼 10의 거듭제곱을 곱하여 1단계에서 얻은 결과를 써라. 만약 소수점을 왼쪽으로 이동시켰다면, 자수는 양의 값을 같는다. 만약 소수점을 오른쪽으로 이동시켰다면, 지수는 음의 값을 같는다

예제 2.1 308,255,000 명의 과학적 표기법 정답 3.08255  108 명 틀린 답 0.308255  109 명 30.8255  107 명 예제 2.2 0.000000000070m의 과학적 표기법 정답 7.0  10-11 m

2.3 유효숫자 : 정확성을 반영하는 숫자 표기 측정값: 측정값은 유효숫자의 개수로 정확성을 반영함. 예: 0.7C는 0.6C ~ 0.8C를 의미한다. 예: 0.70C는 0.69C ~ 0.71C를 의미한다. 측정값은 길이, 무게, 온도, 시간, 전기 등을 측정한 값이다. 동전, 사람, 돈, 물건 등의 수는 측정값이 아니다. 24 mm  24.6 mm o 24.60 mm 

1.2 g o 1 g  1.21 g 

1.26g 1.2g  1.264g 

예제 2.3 답 147.6 lb 또는 147.7 lb

연습문제 2.3 답 103.4F

유효숫자의 개수 세기 유효숫자란? 측정값에서 자리만 차지하지 않는 숫자 측정된 양의 정확성을 나타내는 모든 숫자 유효숫자의 개수가 많을수록 측정이 더 정확하다. 예 : 0.002 0.00200, 2307.0 7 7.0 7777 밑줄을 친 숫자는 유효숫자 적색 숫자는 자리만 차지한 숫자이므로 유효숫자가 아니다.

어떤 숫자의 유효숫자의 개수를 결정할 때에 다음 규칙을 따른다. 모든 0이 아닌 숫자는 유효하다.: 1.05 0.0110 내부의 0은 유효하다. : 4.0208 50.1 소수점 뒤에 붙은 0은 유효하다. : 5.10 3.00 소수점 앞에 붙은 0은 유효하다. : 50.00 1700.24 앞에 붙어있는 0은 유효하지 않다. 단순히 소수점의 위치를 정해주는 역할을 한다. 예 : 0.002 1개의 유효숫자 0.00200 3개의 유효숫자

예 : 유효숫자의 개수 맨 끝에 붙지만 소수점 앞에 있는 0은 분명하지 않아서 과학적 표기법에 따라 피해야 한다. 예 : 350은 유효숫자가 유효숫자 개수가 불분명함. 350 → 3.5  102 또는 3.50  102 유효숫자 2개 3개 예 : 유효숫자의 개수 1.05 , 0.110, 4.0208, 50.1, 5.10, 300, 0.0005 , 3개 3개 5개 3개 3개 불분명 1개

완전수– 제한을 받지 않는 개수의 유효숫자를 갖는다. 완전수– 제한을 받지 않는 개수의 유효숫자를 갖는다. 분리된 대상을 정확히 셀 때 비롯된다. 3개의 원자는 3.0000---개를 의미함 7페니의 동전은 7.00-----페니를 의미함. 1m를 cm로 환산했을 때와 같이 정의 된 양 1m = 100cm 방정식의 일부인 정수 반지름 = 지름/2

예제 2.4 어떤 숫자에서 유효숫자의 개수 결정하기 아래 예시된 수들의 유효숫자 개수는 각각 몇 개인가? 풀이 0.0035 2개의 유효숫자 1.080 4개의 유효숫자 2.371 4개의 유효숫자 2.97  10 3개의 유효숫자 1다스 = 12 제한을 받지않는 유효숫자 (완전수) 100.00 5개의 유효숫자 100,000 불확실함

2.4 계산에서 유효숫자 곱셈과 나눗셈 가장 적은 개수의 유효숫자를 갖는 인자와 동일한 개수의 유효숫자를 갖도록 반올림한다. 예: 5.02  89.665  0.10 = 45.0118 = 45 (3) (5) (2) (2) 5.892  6.10 = 0.96590 = 0.966 (4) (3) (3)

반올림 2개의 유효숫자가 되도록 반올림하시오. 2.33 → 2.3 2.37 → 2.4 2.34 → 2.3 2.35 → 2.4 2.349 → 2.3

예제 2.5 1.01  0.12  53.51  96 (3) (2) (4) (2) = 0.067556 = 0.068 (2) b. 56.55  0.920  34,2585 (4) (3) (6) = 1.51863 = 1.52 (3)

덧셈과 뺄셈 가장 적은 개수의 소수 자리를 갖는 수와 동일한 개수의 소수 자리를 갖도록 반올림한다. 5.74: 0.82:3 + 2.65:1 9.21:4 = 9.21

예제 2.6 덧셈과 뺄셈에서의 유효숫자 (a) 0.9:87 +125.1: -1.2:2 124.8:67 = 124.9

(b) 0.76:5 - 3.44:9 - 5.98: -8.66:4 = -8.66

곱셈과 나눗셈, 덧셈과 뺄셈을 모두 포함하는 계산 3.489  (5.6:7 – 2.3:) = 3.489  3.3:7 = 3.489  3.37 (4) (2) = 11.758 = 12 (2)

예제 2.7 6.78  5.903  (5.48:9 – 5.01:) = 6.78  5.903  0.47:9 = 6.78  5.903  0.479 (3) (4) (2) = 19.1707 = 19 (2)

2.5 측정에서의 기본 단위 표준 단위 영국식 단위체계 – pound, foot, gallon 미터법 단위체계 – 국제적 단위체계, SI 단위체계 표준 단위 길이 – 미터 (m) 질량 – 킬로그램 (kg) 시간 – 초 (s) 온도 – 켈빈 (K)

18p

그림 2.5 길이의 표준 단위. 1983년 국제협약에서 제정된 미터의 정의는 빛이 진공에서 1/299,792,458초 동안 이동한 거리이다. 질문: 이처럼 정확한 표준이 필요한 이유가 무엇이라고 생각하는가?

▲ 니켈(5 cent 동전)의 질량은 약 5 g이다.

접두 승수 SI계는 표준 단위와 함께 접두 승수를 사용한다. 1 km = 1,000 m = 103 m 1 ms = 0.001s = 10-3s

19p

O    O 측정한 양과 크기면 에서 적당한 접두승수를 가진 단위를 사용한다. 예 1 : 25센트짜리 동전의 지름 2.4 cm, 0.024m, 0.000024 km O   예 2 : 화학결합의 길이 1.2  10-10m, 120pm  O

개념 확인 2.4 2.8  10-8 m을 표현하기에 적합한 단위는? (a) 2.8  10-14 Mm (b) 2.8  10-5 mm (c) 2.8  10-2 µm (d) 28 nm 답 (d) 28 nm

유도 단위 유도단위는 다른 단위에 의해서 형성된다. 예 : 부피의 단위 – 길이의 단위의 세제곱 m3, cm3, mL, L,

20p

2.6 문제 풀이와 단위 환산 단위들 간의 전환 1. 항상 모든 숫자와 함께 그와 관련된 단위를 써라 2. 항상 단위를 계산에 포함시켜라. 17.6 인치를 센티미터로 환산하라. 2.54 cm 17.6 in.   = 44.7 cm 1 in. 36

주어진 정보  환산인자 = 얻은 정보 주어진 단위  환산인자 = 원하는 단위 원하는 단위 주어진 단위   = 원하는 단위 주어진 단위 단위가 다른 두 값이 같아야 환산인자를 만들 수 있다. 2.54 cm = 1 in. 양쪽을 1 in.로 나누면 2.54 cm 1 in.  = ------ = 1 1 in. 1 in. 2.54 cm  = 1 1 in. 인치에서 센티미터로 환산할 때에 환산인자로 사용한다.

2.54 cm  = 1 1 in. 2.54 cm 114 cm2 44.7 cm  ------ = ------  1 in. 1 in. 44.7 cm  ------ = 17.6 in. O 2.54 cm 1in. -------- = 1 = ------- 1 in. 25.4 cm

해결도표 21p

일반적인 문제풀이 전략 ‘주어진 값’  해결도표 (관계)  ‘구하는 값’ 분류 : 문제에서 ‘주어진 값’과 ‘구하는 값’의 확인 전략 : 문제를 풀기 위한 해결도표를 결정하고 ‘주어진 값’과 ‘구하는 값’의 관계(물리적 상수, 식, 환산인자)를 찾음. 풀이 : 해결도표 (관계식)를 이용하여 문제를 품. 검토 : 자연스런 이치에 맞는가? 단위가 옳은가? 유효숫자의 개수는 맞는가?

예제 2.8 7.8 km를 mile로 환산하라 0.6214 mi 답 4.8 mi 주어진 값 : 7.8 km 구하는 값 : mi 관계식 1km = 0.6214 mi (표 2.3) 해결도표 풀이 0.6214 mi 7.8 km   = 4.84692 mi 1 km = 4.8 mi 답 4.8 mi

예제 2.9 0.825 m 를 mm로 환산하라 해결도표 1 mm 0.825 m   = 825 mm 관계식 1 mm = 10-3 m 해결도표 풀이 1 mm 0.825 m   = 825 mm 10-3 m 답 825 mm

2.7 다단계 환산 문제의 해결 194cm 를 피트(ft)로 환산하라 1 in. 1 ft (3) 2.54 cm 12 in. = 6.36 ft (3)

예제 2.10 0.75L를 컵으로 환산하라. 답 3.2 컵 = 3.2 컵 1.057 qt = 1 L 4 컵 = 1 qt 구하는 값 : 컵 사용된 관계식 1.057 qt = 1 L 4 컵 = 1 qt 해결도표 풀이 1.057 qt 4 컵 0.75 L     = 3.171 컵 1 L 1 qt = 3.2 컵 답 3.2 컵

2.8 분자와 분모 모두의 단위 환산

예제 2.12 분자와 분모의 단위 환산 문제 풀기

예제 2.12 분자와 분모의 단위 환산 문제 풀기

2.9 거듭제곱된 단위 2.54cm = 1in. (2.54cm)3 = 16.387cm3 (1 in.)3 = 1in.3 (2.54cm)3 = 2.54cm  2.54cm  2.54cm (2.54)3cm3 = 13in.3 16.387cm3 = 1in.3 O 2.54cm3 = 1in.3  2.54cm 1in. 2.54cm 1in. 2.54cm 1in.

답 76.59 in.3 1,255 cm3인 오토바이 엔진의 크기를 in3 단위로 변환시키시오. 1 in. (1 in.)3 1 in.3    =  2.54 cm (2.54 cm)3 16.387 cm3 1 in.3 1,255 cm3   = 76.5851 in.3 16.387 cm3 = 76.59 in.3 답 76.59 in.3

예제 2.13 거듭제곱된 단위를 포함한 값의 변환 어떤 원은 면적이 2,659cm2 이다. 제곱미터로 된 면적은 얼마인가? 주어진 값 : 2,659cm2 구하는값 : m2 해결도표 풀이 2,659 cm2  = 0.2659 m2 사용된 관계식 1 cm = 0.01 m 환산인자 답 0.2659 m2

2.9 밀도 밀도는 부피에 대한 질량의 비율 질량 밀도 =  부피 m d =  V

▲ 최고급 자전거 뼈대는 티타늄으로 만드는데, 그것의 낮은 밀도와 높은 상대 강도 때문이다. 예를 들어 티타늄의 4 ▲ 최고급 자전거 뼈대는 티타늄으로 만드는데, 그것의 낮은 밀도와 높은 상대 강도 때문이다. 예를 들어 티타늄의 4.50g/cm3의 밀도를 갖는 반면에 철은 7.86 g/cm3의 밀도를 갖는다.

밀도의 계산 m 27.2 g 어떠한 액체의 부피가 22.5 mL이고 질량은 27.2 g이다. 이 액체의 밀도를 구하라. d =  =  = 1.21 g/mL V 22.5 mL

27p

27p

예제 2.15 밀도 계산 주어진 값 : m = 5.84g, v = 0.556cm3 구하는 값 : g/cm3 단위의 밀도 m 식: d = - v 해결도표: m 5.84 g 식: d = --- = -------- = 10.5 g/cm3 v 0.556 cm3 답 가짜 백금 반지이다.

환산인자로서의 밀도 밀도가 1.32g/cm3 인 액체 68.4g이 필요할 때에 필요한 부피(mL)는 얼마나 되어야 하는가? 1 cm3 1 mL 68.4 g     = 51.8 mL 1.32 g 1 cm3

예제 2.16 환산인자로서의 밀도 주어진 값 : m = 60.0 kg 구하는 값 : cm3 단위의 양 환산인자 : 0.752 g/cm3, 1,000 g = 1 kg 해결도표 : kg  g  cm3 1,000g/1kg 1cm3/0.752g 풀이: 60.0kg  1,000g/1kg  1cm3/0.752g = 7.98  104cm3 답 : 7.98  104cm3

2.10 수치문제-해결 개관 단위 환산 문제 다단계 단위 환산 문제

예제 2.17 단위 환산 주어진 값 : m = 23.5 kg 구하는 값 : L 단위의 양 환산인자 : 0.789 g/cm3, 1,000 g = 1 kg 1,000 mL = 1 L, 1 mL = 1cm3 해결도표 : kg  g  cm3  mL  L 1,000g/1kg 1cm3/0.789g 1mL/1cm3 1L/1,000mL 풀이: 23.5kg  1,000g/1kg  1cm3/0.789g  1mL/1cm3  1L/1,000mL = 29.7845 L 유효숫자 : 29.7845 L = 29.8 L 답 : 29.8 L

복습문제 해답 32. 다음의 수들을 과학적인 표기법으로 나타내라. 7,376,000,000 (전세계의 인구) 답 7.376  109 34. 다음의 수들을 과학적인 표기법으로 나타내라. (a) 0.000000001s (빛이 1ft를 이동하는 데 걸리는 시간) 답 1  10-9 s 36. 다음 각각을 소수 표기법으로 나타내라 (b) 13.7  109 년 (우주의 대략적인 나이) 답 13,700,000,000년 (c) 5  109 년 (지구의 대략적 나이) 답 5,000,000,000년

38. 다음을 소수 표기법으로 표현하라. (a) 1.30  106 = 1,300,000 답 1,300,000 (c) 1.9  102 = 190 답 190 46. 다음 각각의 숫자에는 몇 개의 유효숫자가 포함되어 있는가? (a) 13,001 kg 답 5개 (b) 13,111kg 답 5개 (c) 1.30  104 kg 답 3개 (d) 0.00013kg 답 2개 50. 계산기에 다음 수들이 나타나 있다. 각각을 3개의 유효숫자를 갖도록 반올림하라. (a) 10,776.522 → 답 1.08  104 (b) 4.999902  106 → 답 5.00  106 (c) 1.3499999995 → 답 1.35 (d) 0.0000344988 → 답 0.0000345

52. 다음 각각을 3개의 유효숫자를 갖도록 반올림하라. (a) 65.74 → 답 65.7 (d) 65.750 → 답 65.8 54. 다음 각각의 수들은 2개의 유효숫자를 갖도록 반올림되어야 한다. 바르게 반올림되지 않은 것들을 모두 고르고, 옮게 고쳐라. (b) 3.999  102 → 40 답 4.0  102 (c) 56.21 → 56.2 답 56 58. 유효숫자 개수를 맞춰서 다음을 계산하라. (a) 89.3  77.0 0.08 = 550.088 = 6  102 답 6  102

60. 다음 각각이 유효숫자 개수가 맞게 계산되었는지 확인하고 틀렸다면 옮게 고쳐라. 45.3254  89.00205 = 4034.05 45.3254  89.00205 = 4034.053517 = 4034.05 답 맞음 0.00740  45.0901 = 0.334 0.00740  45.0901 = 0.33366674 = 0.334 (c) 49,857 904,875 = 0.05510 49,857 904,875 = 0.05509821799 = 0.055098 답 틀림 0.055098 (d) 0.009090  6007.2 = 54.605 0.009090  6007.2 = 54.605448 = 54.61 답 틀림 54.61

유효숫자 개수를 맞춰서 다음을 계산하라. 1459.3 + 9.77 + 4.32 1459.3 + 9.77 + 4.32 = 1473.39 답 1473.4 (1.7  106  2.63  105) + 7.33 = (0.646387  101 ) + 7.33 = 6.46387 + 7.33 = 13.79387 = 13.8 답 13.8

다음 각각이 유효숫자 개수가 맞게 계산되었는지 확인하고, 틀렸다면 옳게 고쳐라. (908.4 – 3.4)  3.52  104 = 0.026 (908.4 – 3.4)  3.52  104 = 905.0  3.52  104 = 257.1022757  10-4 = 0.0257102 = 0.0257 답 틀림 0.0257 70. 미터법 단위체계에 따라서 다음 각각을 환산하라. 155.5 cm → meters 155.5 cm = 155.5cm  1m/100cm = 1.555m 답 1.555m

72. 미터법 단위체계에 따라서 다음 각각을 환산하라. 1.08 Mm ⟶ kilometers 1.08 Mm = 1.08 Mm  106m/Mm  1km/103m = 1.08  103 km 답 1.08  103 km 영국식 단위체계와 미터법 단위체계 사이의 다음 환산을 하여라 78.3 in. → centimeters (a) 78.3 in. = 78.3in. 2.54cm/1in. = 198.882cm = 199cm 답 199cm  67

76. 영국식 단위체계와 미터법 단위체계 사이의 다음 환산을 하여라 (a) 254cm ⟶ inches 254cm = 254cm  1in./2.54cm = 100in. = 1.00  102 in. 답 1.00  102 in.

80. 1.88 10-6 g을 다음 각각의 단위로 변환하라. (a) mg (b) cg (c) ng (d) µg (a) 1.88 10-6 g = 1.88 10-6 g  103mg/1g = 1.88  10-3 mg (b) 1.88 10-6 g = 1.88 10-6 g  102cg/1g = 1.88 10-4cg (c) 1.88 10-6 g = 1.88 10-6 g  109ng/1g = 1.88 103ng (d) 1.88 10-6 g = 1.88 10-6 g  106ng/1g = 1.88µg 답 (a) 1.88  10-3 mg (b) 1.88 10-4cg (c) 1.88 103ng (d) 1.88µg 88. 빈칸을 채워라. (c) 1.0m2 = ___________yd2 1.0m2 = 1.0m2  (1.094yd)2/(1m)2 = 1.196836 yd2 = 1.2 yd2 답 1.2yd2

98. 어떤 처방된 약은 체중 lb당 0.00225g이다. 이 양을 체중 kg 당 요구되는 mg수로 바꾸고 105kg인 환자를 위한 적당한 양(g)을 계산하라. 주어진 값: 0.00225g 약/lb 체중 구하는 값: mg 약/kg 체중 105kg 체중에 대한 약 관계식: 1g = 1,000mg, 1kg = 2.205 lb 풀이: 0.00225g/lb  1,000mg/g  2.205lb/kg = 4.96125mg/kg = 4.96mg/kg 105kg  4.96mg/kg  1g/1,000mg = 0.5208g = 0.521g 답: 체중 1kg 당 4.96mg, 0.521g

104. 어떤 꽃병이 순수한 백금으로 만들어졌다고 한다. 이를 물속에 넣었더니 18 104. 어떤 꽃병이 순수한 백금으로 만들어졌다고 한다. 이를 물속에 넣었더니 18.65mL의 물이 넘쳤고 꽃병의 질량은 157g이었다. 이 꽃병은 정말 순수한 백금으로 만들어졌는가? 주어진 값: 질량 = 157g 부피 = 18.65mL 1cm3/1mL = 18.65cm3 구하는 값: 밀도 관계식: 밀도 = 질량/부피, 1cm3 = 1mL 풀이 : 밀도 = 157g  18.65mL  1mL/1cm3 = 8.4183g/cm3 = 8.42g/cm3 답 표2.4에서 백금의 밀도는 21.4g/cm3이므로 이 꽃병은 백금이 아니다.