Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2.1 Ritz 법과 유한요소법 ⊙ 유한요소법의 이론적 배경: 미분방정식의 근사해법, Ritz 법과 Galerkin 법 ⊙ 변분유한요소법(Variational approach to finite element method) ○ Ritz 법 ○ 유한요소 보간법(Finite element interpolation) ○ 기초함수(근사해법) ⇒ 보간함수(유한요소법) ⊙ 유한요소이산화(FE discretization) ○ 해석영역을 요소(Element)로 분할함 ○ 요소는 절점(Node)에 의하여 정의됨 ○ 선분요소, 삼각형요소, 사각형요소, 사면체요소, 육면체요소, 등등

2.1 Ritz 법과 유한요소법 a) 1차원 선분 b) 2차원 평면 d) 3차원 연속체 c) 3차원 곡면 그림 2.1 유한요소 해석모델

2.1 Ritz 법과 유한요소법 ⊙ 보간함수 ○ 근사해법에서 기초함수와 동일함 ○ 절점당 하나의 보간함수를 정의함 ○ : ○ : ▷1차원 해석영역에서 절점 I 에서 정의된 보간함수 ▷절점 I 에서 1의 값을 갖고 다른 절점에서는 0의 값을 갖는 연속함수 ▷절점 I 와 무관한 요소에서 0의 값 (a) (b) ○ 적분영역을 요소별로 나누어서 적분을 실시할 수 있음 ○ 하나의 요소에 대한 적분시 그 요소의 정의에 사용된 보간함수만 고려하면 됨 (c) ⊙ 수계산 문제의 정의 그림 2.2 보간함수 후보 ○ 문제 1 ○ 문제 2

2.2 이산화 및 번호매김 ⊙ 이산화 요구조건 및 목적 ○ 요소 관점에서의 적분 ○ 매우 자유로운 시도함수의 선정 ○ 보간함수가 그 역할을 수행함 ⊙ 보간함수 ○ 사고력이 전혀 없는 컴퓨터가 인식하거나 생성할 수 있는 매우 단순한 함수 ⊙ 이산화와 번호매김 체계 ○ 이산화: 해석영역을 유한요소로 분할, 유한요소는 절점에 의해 정의됨 ⊙ 절점 및 요소 번호 매김 ○ 전체번호매김(Global numbering)      ▷ 절점과 요소에 중복되지 않도록 순차적으로 번호를 부여함 ▷ 결과에 영향을 주지 못함 ▷ 선형방정식의 해법에 따라 계산시간 및 사용 메모리의 크기에 영향을 줄 수 있음

2.2 이산화 및 번호매김 ○ 최적절점매김: 계산시간과 소요 메모리의 최소화 ▷띠형행렬법(Banded matrix method), 벤드폭(Bandwidth) ▷스카이라인법(Skyline method), 스카이라인 아래의 성분 수 a) banded matrix b) skyline 그림 2.3 유한요소법에서의 강성행렬 ○ 최적절점매김 불필요 선형방정식 해법: 각종 반복법, 저밀도행렬기법(Sparse matrix technique), 전선해법(Frontal solution method)

2.2 이산화 및 번호매김 ⊙ 이산화 관련 부호 규약 ○ 절점번호: 대문자 (I, J, K, L) 그림 2.4 해석영역 이산화 ○ 절점번호: 대문자 (I, J, K, L) ○ 요소번호: ○가 씌워진 소문자 또는 대문자로 표시 ○ 요소 수: M ○ 절점 수: N ○ 유한요소 해석모델: ▷절점과 요소로 구성된 해석 대상 형상 정보(협의의 유한요소 해석모델) ▷경계조건(하중 포함) 관련 정보 ▷절점의 수, 요소의 수, 절점의 좌표, 요소의 연결정보, 경계조건, 소재정보 ○ : 절점 I 의 좌표 그림 2.5 유한요소 해석모델

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ 유한요소기교(Finite element technique)의 핵심: 보간함수 ○ 보간함수 = Ritz 법에서 기초함수와 동일한 역할 수행 ○ 보간함수에 대한 적합성 조건(Compatibility condition): 연속함수 ○ 보간함수에 대한 완전성 조건(Completeness condition): 보간함수의 선형조합인 시도 함수가 각 요소에서 임의의 p차 이하의 다항식을 정확하게 표현할 수 있어야 함 ⊙ 보간함수(Shape function, SF) ○ 표준보간함수(Standard SF): 대부분 이 보간함수를 사용함 ○ 계층보간함수(Hierarchical SF): 요소망 조밀화시 유리, 무한영역 문제에 유리 ⊙ 선형요소 ○ 2차 미분방정식의 경우, 적합성조건과 완전성조건을 만족하는 최소 차수의 요소 ○ 보간함수가 선형(2중선형, 3중선형 포함)임

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ ○ 1차원 선형요소의 절점 I 에 정의된 보간함수 또는 ② 요소내부에서: 절점에서 0 또는 1로 주어진 보간함수의 값을 선형적으로 연결한다. ○ 함수의 구체적 표현 그림 2.6 보간함수

2.3 보간함수와 절점치 ☞ 해석모델의 형상정보 ○ 보간함수 ○ ○ 예제 2.1 보간함수의 계산 요소 ① 에서 요소 ② 에서 요소 ③ 에서 ③ 요소 ④ 에서 ④ ○ ③ ③ ③ ③ ③ ③

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ ○ 정의구역을 요소 ⓙ로 하는 ○ ⊙ ○ ○ ⊙ 절점치 ○ ⓔ ○ ⊙ ○ ○ ⊙ 절점치 ○ ○ 가 온도 분포라면, 는 절점 I 의 온도를 의미함

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ 필수 경계조건의 부과 ○ 예: ○ ○ ⊙ 자유도 ○ 절점당 자유도: 절점당 미지수의 수 ○ 요소당 자유도: 절점당 자유도 × 요소당 절점의 수   ○ 문제 전체의 자유도: 절점당 자유도 × 전체 절점의 수 - 기지의 변수 수