- 6장 - 주파수응답 해석

Contents 6.1 서론 6.2 주파수응답 6.3 Bode 선도 6.4 주파수응답에 관한 사양 6.5 Nyquist 선도 6.1 서론 6.2 주파수응답 6.3 Bode 선도 6.4 주파수응답에 관한 사양 6.5 Nyquist 선도 6.6 Nyquist 안정도 판별법 6.7 Nichols 선도 6.8 상대안정도 6.9 바람직한 주파수응답 6.10 MATLAB을 이용한 주파수응답 해석

6.1 서론 주파수응답 : 시스템에 사인파 입력을 가했을 때 입력주파수 값에 따른 6.1 서론 주파수응답 : 시스템에 사인파 입력을 가했을 때 입력주파수 값에 따른 입력 진폭에 대한 정상상태에서의 출력 진폭의 비 그리고 입력과 출력 사이의 위상차 시스템의 입출력 진폭비 = 주파수 전달함수의 크기 시스템의 입출력 위상차 = 주파수 전달함수의 위상 ∠ - 주파수응답 특성을 나타내기 위한 도해적 방법 Bode 선도 : 주파수 에 따른 크기 와 위상 ∠ 를 직교좌표상에 나타낸 선도 Nyquist 선도 : 주파수 에 따른 의 크기와 위상을 극좌표상에 Nichols 선도 : 주파수 에 따른 의 위상 ∠ 를 수평축에 크기 를 수직축에 나타낸 선도 - 주파수응답 선도 제어시스템의 안정도(공칭 및 상대)와 주파수역 성능 평가

6.2 주파수응답 - 주파수 전달함수 : (6.1) 여기서 또는 (6.2) 여기서 6.2 주파수응답 - 주파수 전달함수 : (6.1) 여기서 또는 (6.2) 여기서 주파수응답 : 주파수 에 따른 주파수 전달함수의 크기 와 위상 그림 6.1 주파수응답

주파수응답과 주파수 전달함수와의 관계 - 사인파입력 u(s)와 출력 y(s) (6.3) (6.4) 또는 (6.6) 여기서 (6.7) 같은 방법으로 (6.8) (6.9)

- 역 Laplace 변환 수행 (6.10) 여기서 (6.11) (6.12) (6.13)

시스템이 안정하다고 가정하면 식 (6.13)에서 둘째 항 이후의 모든 항은 정상상태 에서 0 (6.14) 진폭 진폭 또는 출력의 위상 = 입력의 위상 또는 입출력 위상차 전달함수 = 주파수 전달함수 진폭 진폭 크기 와 위상 를 조사 주파수응답 특성을 알 수 있음

6.3 Bode 선도 - Bode 선도 : 주파수 에 따른 주파수 전달함수의 크기 와 위상 를 직교좌표상에 나타낸 선도 위상 를 직교좌표상에 나타낸 선도 주파수 : 수평축에 로그 스케일로 표시 크기 와 위상 : 수직축에 데시벨(decibel, dB)과 각도(degree)로 표시 여기서 Bode 선도가 주파수응답 특성을 나타내는 선도 중에서 가장 보편적으로 사용됨 (시스템 모델링, 해석 및 설계 시 모두 사용)

Bode 선도의 장점 주파수 전달함수를 여러 개의 기본 요소로 분리 주파수응답을 조직적이며 쉽게 구할 수 있음 크기 : 위상 : 점근선을 이용하여 복잡한 주파수 전달함수를 쉽게 선도화 로그 스케일로 주파수 표시  넓은 주파수역 표시 가능, 중요한 저주파역은 확대 상대적으로 덜 중요한 고주파역은 축소한 합리적 표현 실험적으로 구한 Bode 선도로부터 전달함수 유도 제어기 설계 시, 제어기의 첨가와 제어기의 파라미터의 효과를 쉽게 파악

전달함수 의 5가지 기본 요소 - 상수 게인 요소 : (6.15) - 미분 또는 적분 요소 : 또는 전달함수 의 5가지 기본 요소 - 상수 게인 요소 : - 미분 또는 적분 요소 : 또는 - 실수축상에 있는 극점 또는 영점 요소 : 또는 - 복소 극점 또는 영점 요소 : 또는 - 수송지연(transportation lag) 요소 : (6.15) (6.16) (6.17) (6.18) (6.19)

(1) 상수 게인 요소의 Bode 선도 그림 6.2 상수 게인 요소 의 Bode 선도

(2) 미분 또는 적분 요소의 Bode 선도 - 미분 요소 에 대한 크기 와 위상 (6.20) (6.21) - 미분 요소 에 대한 크기 와 위상 (6.20) (6.21) - 적분 요소 에 대한 크기 와 위상 (6.22) (6.23)

- 일반적으로 미적분 요소 에 대한 와 위상 (6.24) (6.25) 그림 6.3 미적분 요소 의 Bode 선도

(3) 실수축상에 있는 극점 또는 영점 요소의 Bode 선도 - 실수축상에 있는 극점 요소의 주파수 전달함수 (6.26) - 주파수 전달함수의 크기 와 위상 (6.27) (6.28) - 식 (6.26)의 극점 요소에 대한 크기 와 위상 의 근사값 일 때(저주파역) 일 때(고주파역) 일 때 (6.29) (6.30) (6.31) 절점주파수 또는 구석주파수 : 저주파 및 고주파 점근선이 교차하는 점에서의 주파수

그림 6.4 실수축상에 있는 극점 요소 의 Bode 선도

(4) 복소 극점 또는 영점 요소의 Bode 선도 - 복소 극점 요소의 주파수 전달함수 (6.32) - 복소 극점 요소의 크기 와 위상 (6.33) (6.34)

- 복소 극점 요소의 절점주파수 (6.35) 일 때(저주파역) 일 때(고주파역) (6.36) 그림 6.5 복소 극점 요소 의 Bode 선도

(5) 수송지연 요소의 Bode 선도 - 수송지연 요소의 주파수 전달함수 여기서 는 수송지연 시간 (6.38) 여기서 는 수송지연 시간 (6.38) - 수송지연 요소의 크기 와 위상 , (6.39) 그림 6.6 수송지연 요소 의 Bode 선도

Bode 선도 작도 절차 - Bode 선도를 위한 전달함수의 일반형태 (6.40) - 각각의 기본 요소들에 대한 절점주파수 계산 - 절점주파수 를 중심으로 크기 의 점근선 작도 - 각각의 기본 요소에 대한 점근선의 산술적 합  주파수 전달함수의 크기 작도 - 각각의 절점주파수 근처에서 실제 크기 Bode 선도와의 오차를 적절히 보정, 나머지는 각각의 점근선에 가깝도록 크기 Bode 선도 작도 - 각각의 기본 요소에 대한 절점주파수 를 중심으로 위상 의 점근선 작도 - 각각의 기본 요소에 대한 점근선의 산술적 합  위상 작도 - 각각의 절점주파수 근처에서 실제 위상 Bode 선도와의 오차를 적절히 보정, 나머지는 각각의 점근선에 가깝도록 위상 Bode 선도 작도

예제 6.1 시스템 에 대한 Bode 선도 그리기 - 시스템의 기본 요소 : ① 상수 게인 요소( ) ② 적분 요소 ① 상수 게인 요소( ) ② 적분 요소 ③ 실수축상에 있는 극점 요소( ) ④ 실수축상에 있는 영점 요소( ) ⑤ 복소 극점 요소( ) 그림 6.7 의 각 기본 요소의 크기에 대한 점근선

크기 Bode 선도 작도 - 상수 게인 요소 : - 적분 요소 : 에서 선과 교차, - 실수축상에 있는 극점 요소( ) : - 적분 요소 : 에서 선과 교차, - 실수축상에 있는 극점 요소( ) : - 실수축상에 있는 영점 요소( ) : - 복소 극점 요소( ) : 모든 주파수에서 에서 기울기 에서 기울기 그림 6.8 의 크기 Bode 선도 에서 기울기

위상 Bode 선도 작도 - 상수 게인 요소 : 로 일정 - 적분 요소 : 로 일정 - 절점주파수 에서 - 절점주파수 에서 - 상수 게인 요소 : 로 일정 - 적분 요소 : 로 일정 - 절점주파수 에서 - 절점주파수 에서 - 절점주파수 인 복소 극점 요소 에 대한 위상 특성 : 그림 6.5 이용 그림 6.9 의 각 기본 요소의 크기에 대한 점근선

최소위상 및 비최소위상 시스템의 Bode 선도 (6.41) - 최소위상 시스템의 특성 크기: 일때 위상: 일때 - 비최소위상 시스템의 특성 크기: 일때 위상: 일때 보다 작음 - 최소위상 시스템은 크기 및 위상 특성이 직접적인 관계  크기 선도만으로 시스템 성능 파악 가능 - 비최소위상 시스템은 크기 및 위상 특성을 동시에 파악해야 함 - 실제 제어시스템에서는 비최소위상 요소나 시간지연 요소에 의한 과도한 위상지연을 피해야 함 그림 6.10 최소위상 시스템 와 비최소위상 시스템 의 Bode 선도

그림 6.11 주파수응답에 관한 성능 사양들을 표시한 Bode 선도 6.4 주파수응답에 관한 사양 - DC 게인( ) : 주파수 일 때의 시스템 게인 - 대역폭(bandwidth, ) : 주파수 전달함수의 크기가 dB일 때의 주파수 - 공진최댓값( ) : 시스템의 주파수응답 중 시스템 게인의 최댓값 - 공진주파수( ) : 공진최댓값이 나타나는 주파수 - 차단율(cutoff rate) : 고주파역에서 게인이 롤오프(roll-off)하는 정도, 시스템의 입력신호에서 잡음을 차단하는 특성을 나타냄 그림 6.11 주파수응답에 관한 성능 사양들을 표시한 Bode 선도

단순 2차 시스템에 대한 주파수응답 특성 - 단순 2차 시스템의 전달함수 (6.42) - 공진주파수 (6.45) 공진주파수 는 시간역에서 출력의 감쇠고유주파수 보다 작다. - 공진최댓값 공진최댓값 는 감쇠비 에 의해서만 결정됨 - 대역폭 (6.49) 감쇠비 근처에서는,

6.5 Nyquist 선도 주파수 값에 따른 개루프 전달함수 의 크기 와 주파수 값에 따른 개루프 전달함수 의 크기 와 위상 를 극좌표 상에 표시한 선도, 극좌표선도라고도 함 단 한 개의 선도로부터 모든 주파수에 대한 시스템의 주파수응답 특성을 파악할 수 있음 시스템의 각 요소가 주파수응답에 미치는 영향을 분명하게 알려 주지 못함 그림 6.13 극좌표선도

기본적인 시스템 요소에 대한 극좌표선도 (1) 미분 또는 적분 요소의 극좌표선도 - 미분 요소의 주파수 전달함수 (6.50) 그림 6.15 (a) 미분 요소의 극좌표선도, (b) 적분 요소의 극좌표선도

(2) 실수축상에 있는 극점 또는 영점 요소의 극좌표선도 - 실수축상에 있는 극점 요소의 주파수 전달함수 (6.51) 그림 6.16 (a) 의 극좌표선도, (b) 의 극좌표선도

(3) 복소 극점 또는 영점 요소의 극좌표선도 - 복소 극점 요소의 주파수 전달함수 (6.52) 그림 6.17 의 극좌표선도 그림 6.17 의 극좌표선도 그림 6.18 의 극좌표선도

(4) 수송지연 요소 의 극좌표선도 - 수송지연 요소의 주파수 전달함수 (6.60) 그림 6.19 수송지연 요소 의 극좌표선도

일반적인 시스템에 대한 극좌표선도 (6.61) 제0형 시스템 ( 인 경우) :   제0형 시스템 ( 인 경우) : 주파수 일 때 주파수응답 궤적의 접선은 실수축에 직교, 주파수 일 때 원점이며 궤적이 실수축 또는 허수축 중의 하나에 접함 제1형 시스템 ( 인 경우) : 주파수응답 궤적은 주파수 일 때 음의 허수축 방향에서 크기로 출발 주파수 에서는 제 0형 시스템과 동일 제2형 시스템 ( 인 경우) : 주파수 궤적은 주파수 일 때 음의 실수축 방향에서 의 크기로 출발 주파수 에서는 역시 위와 동일

그림 6.20 시스템 형태에 따른 극좌표선도의 일반 형태 그림 6.21 시스템의 극점과 영점의 개수 차 에 따른 극좌표선도의 일반 형태

6.6 Nyquist 안정도 판별법 Nyquist 안정도 판별법의 특징 편각의 원리 - 폐루프 제어시스템의 공칭안정도를 판별할 수 있는 방법, 불안정한 폐루프 극점의 개수 판정 가능 - 시스템의 상대안정도를 시각적으로 알 수 있으며, 필요할 때에는 시스템의 안정도를 개선할 수 있는 방법 제안 가능 - 시스템의 주파수응답에 대한 정보 제공 - 수송 지연 요소를 포함한 시스템의 안정도 해석에 적합 - 안정도-강인성 이론의 기본 개념 편각의 원리 - C 는 s-평면에서 폐쇄된 시계방향의 컨투어(contour)이고, 는 다음과 같은 성질을 갖는 복소함수라고 가정한다. 는 컨투어 상에서 해석적이다. 는 컨투어 내부에 개의 영점을 가지고 있다. 는 컨투어 내부에 개의 극점을 가지고 있다.

컨투어 를 복소함수 로 사상할 때의 상(image) 은 다음과 같은 성질을 갖는다. 그림 6.23 복소평면에서 로의 사상 컨투어 를 복소함수 로 사상할 때의 상(image) 은 다음과 같은 성질을 갖는다. 복소평면에서 폐쇄된 컨투어를 만든다. 컨투어 은 원점을 시계방향으로 번 둘러 싼다. - 폐쇄된 시계방향의 컨투어 를 복소함수 로 사상한 상 이 복소수 점 a를 시계 방향으로 둘러싸는 횟수 라고 하면, 이때 편각의 원리는 (6.62) 복소함수 일 때 (6.63)

Nyquist 컨투어 : 우반 s-평면 전체를 둘러싸는 반지름이 인 반원을 그리는 폐쇄된 시계방향의 컨투어 반지름이 인 반원을 그리는 폐쇄된 시계방향의 컨투어 폐루프 시스템의 특성방정식과 극점다항식 (6.64) (6.65) - 폐루프 시스템이 안정하기 위해서는 (6.66) 또는 그림 6.24 Nyquist 컨투어 (6.67)

- 식 (6.63)을 이용하면 (6.68) 는 개루프 극점다항식이므로 는 Nyquist 컨투어 내부에 존재하는 개루프 극점, 즉 불안정한 개루프 극점의 개수( )이다. (6.69) - Nyquist 컨투어 D 를 복소함수 1 +G(s)로 사상한 상이 원점을 둘러싸는 횟수 = Nyquist 컨투어 D 를 복소함수 G(s)로 사상한 상이 점 -1을 둘러싸는 횟수 (6.70) - 폐루프 극점이 Nyquist 컨투어 내부, 즉 불안정한 영역에 개 존재한다면 (6.71) 또는 (6.72)

그림 6.25 Nyquist 안정도 판별법에 대한 응용 예

개루프 극점이 허수축상에 있을 때 Nyquist 컨투어 설정 및 Nyquist 선도 작도 (6.73) 그림 6.26 시스템 에 대한 Nyquist 컨투어

- 확대된 Nyquist 컨투어 부분 2에 대하여 지수표시 식 으로 나타내면 (6.76) 그림 6.27 (a) 그림 6.26의 Nyquist 컨투어의 부분 2, (b) 부분 2에 대응하는 의 Nyquist 선도

- Nyquist 컨투어 부분 4에 대하여 지수표시 식 으로 나타내면 (6.79) 그림 6.28 (a) 그림 6.26의 Nyquist 컨투어의 부분 4, (b) 부분 2에 대응하는 의 Nyquist 선도

양의 허수축을 따라 움직이는 부분 3에 대한 Nyquist 궤적 : 식 (6.73)에서 를 대입하고 -평면의 실수축을 교차하는 점을 구함으로써 개략적으로 그릴 수 있다. 또는 (6.81) 그림 6.29 시스템 의 Nyquist 선도

수정된 Nyquist 컨투어 Nyquist 안정도 판별법은 폐루프 시스템의 공칭안정도를 해석할 수 있을 뿐만 아니라 와 감쇠비를 어느 지정된 값까지 보장할 수 있는지를 파악할 수 있다. 그림 6.30 수정된 Nyquist 컨투어

6.7 Nichols 선도 폐루프 주파수응답의 일정한 크기궤적( 궤적)과 일정한 위상궤적( 궤적)을 폐루프 주파수응답의 일정한 크기궤적( 궤적)과 일정한 위상궤적( 궤적)을 개루프 전달함수 의 위상 대 로그 크기 평면 내에 그린 선도 - 폐루프 주파수 전달함수 (6.83) 여기서 : 개루프 전달함수 (6.84) 이때 (6.85) 따라서 (6.87)

- 만일 이면 (6.89) 일정한 폐루프의 위상궤적( 궤적)을 구하기 위하여 폐루프 시스템의 위상 를 개루프 전달함수 의 실수부 와 허수부 로 표시 (6.90) 따라서 (6.91) - 만약 위상 으로 정의하면 (6.97)

Nichols 선도 개루프 주파수응답으로부터 폐루프 주파수응답을 해석하는데 매우 유용하게 사용 궤적의 교차점은 각 주파수에서의 폐루프 주파수응답의 크기 과 위상 를 나타냄 궤적이 궤적과 접할 때의 주파수가 공진주파수 , 크기가 공진최댓값 그림 6.33 Nichols 선도

Nichols 선도를 이용하여 개루프 전달함수 인 시스템에 대하여 폐루프 시스템의 공진최댓값 와 공진주파수 구하기 예제 6.3 폐루프 시스템의 공진최댓값 와 공진주파수 구하기 예제 6.3 - 공진최댓값 , 공진주파수 그림 6.34 (a) Nichols 선도 위에 겹쳐진 의 작도, (b) 폐루프 주파수응답 곡선

6.8 상대안정도 모델링 오차에 대한 안정도-강인성(stability-robustness) 상대안정도 문제가 6.8 상대안정도 모델링 오차에 대한 안정도-강인성(stability-robustness) 상대안정도 문제가 실제 제어시스템 설계 시 매우 중요함 단일입출력 시스템 : 게인여유(gain margin)와 위상여유(phase margin) 고려 다변수 시스템 : 모델링 오차에 대한 특이값 이용 - Nyquist 궤적 의 임계점 에 대한 근접도가 상대안정도의 척도 그림 6.35 안정한 개루프 시스템에 대한 게인 K값의 변화에 따른 일반적인 Nyquist 선도

게인여유와 위상여유 게인여유 : 개루프 전달함수의 위상 일 때의 주파수를 위상교차주파수 라고 하면 또는 (6.98) 게인여유 : 개루프 전달함수의 위상 일 때의 주파수를 위상교차주파수 라고 하면 또는 (6.98) 게인여유 는 위상교차주파수 에서 공칭 폐루프 시스템이 불안정한 경계에 이를 때까지 추가될 수 있는 게인에 대한 여유를 나타내는 지수 위상여유 : 개루프 전달함수의 크기 일 때의 주파수를 게인교차주파수 라고 하면 (6.99) 위상여유 는 게인교차주파수 에서 공칭 폐루프 시스템이 불안정한 경계에 이를 때까지 추가될 수 있는 위상지연에 대한 여유를 나타내는 지수

상대안정도와 공칭안정도 그림 6.36 폐루프 시스템이 안정한 경우와 불안정한 경우에 대한 주파수응답 곡선의 형태

감쇠비 값에 따른 위상여유 위상여유는 상대안정도뿐만 아니라, 과도응답 성능을 나타내는 척도로도 사용됨 (6.105) 감쇠비 값에 따른 위상여유 위상여유는 상대안정도뿐만 아니라, 과도응답 성능을 나타내는 척도로도 사용됨 (6.105) 그림 6.37 감쇠비 값에 따른 2차 시스템의 위상여유

위상여유 값에 따른 최대오버슈트 와 공진최댓값 위상여유 값에 따른 최대오버슈트 와 공진최댓값 그림 6.38 2차 시스템의 위상여유 값에 따른 최대오버슈트 와 공진최댓값

바람직한 상대안정도 최소위상 플랜트에서 바람직한 상대안정도 게인여유 : 2 ~ 10 게인여유 : 2 ~ 10 위상여유 : 30°~ 60°  게인교차주파수 근처( )에서 개루프 전달함수의 크기 의 기울기가 보다 완만해야 함 위상관계식 : (6.106) 여기서 n은 로그좌표계상에서 주파수 값에 따른 크기 의 기울기 실제 시스템의 안정도를 보장하기 위해서는 게인교차주파수 근처 에서 의 기울기가 가 되도록 하여 충분한 위상여유 확보 의 기울기 이면, 실제 시스템이 불안정해질 수 있음 의 기울기 이면, 실제 시스템이 불안정함

벡터여유 벡터여유 : 임계점 에서 가장 가까운 Nyquist 궤적까지의 거리 (6.107) 벡터여유 : 단 하나의 값을 가지고 시스템의 상대안정도를 평가 그림 6.40 안정도-강인성에 취약한 Nyquist 선도의 예 그림 6.41 Nyquist 선도에서 벡터여유의 정의

6.9 바람직한 주파수응답 - 일반적인 피드백 제어시스템의 출력 (6.108) 6.9 바람직한 주파수응답 - 일반적인 피드백 제어시스템의 출력 (6.108) 여기서 : 플랜트 전달함수, : 제어기 전달함수 그리고 , , 는 각각 기준입력, 외란입력, 센서잡음입력을 나타낸다. 그림 6.42 일반적인 피드백 제어시스템

추적오차식 루프(loop) 전달함수 : 감도(sensitivity) 전달함수 (6.109) 여감도(complementary sensitivity) 또는 폐루프(closed-loop) 전달함수 (6.110) 추적오차(tracking error) (6.111) - 각 입력의 항으로 표시한 추적오차 (6.112) 또는 (6.113)

바람직한 루프 형상 임의의 입력에 대하여 이 되려면, , 동시에 성립되어야 함 임의의 입력에 대하여 이 되려면, , 동시에 성립되어야 함 - 다음 구속조건식이 충족되어야 함으로 동시에 0은 불가능함 (6.114) 각 입력이 에너지를 갖는 주파수역 특성 이용 그림 6.43 일반적인 제어시스템의 루프 형상

그림 6.44 루프 전달함수 , 감도 전달함수 , 폐루프 전달함수 의 바람직한 주파수응답 형상

6.10 MATLAB을 이용한 주파수응답 해석 - Bode 선도를 그리는 MATLAB 명령어 주파수역: bode(num, den) 또는 bode(num, den, w) 시간역: bode(A, B, C, D) 또는 bode(A, B, C, D, w) 등식의 왼쪽에 [mag, phase, w]가 명시되면 [mag, phase, w] = bode(num, den, w) ‘bode’ 명령은 시스템의 주파수응답을 행렬 mag, phase, w에 나타낸다. - 주파수 의 범위를 지정하는 명령어 : logspace(d1, d2) 또는 logspace(d1, d2, n) logspace(d1, d2)는 로그좌표상에서 10d1 과 10d2 범위에서 50개의 등간격 지점을 선택한다.

예제 6.5 MATLAB을 이용하여 전달함수 에 대한 Bode 선도 그리기 - ‘bode(num, den)’ 명령을 사용하는 경우에는 주파수의 범위가 자동적으로 조정

그림 6.50 의 Bode 선도

MATLAB을 이용하여 전달함수 의 Nyquist 선도 그리기 예제 6.8

MATLAB을 이용하여 전달함수 의 Nichols 선도 그리기 예제 6.10 MATLAB을 이용하여 전달함수 의 Nichols 선도 그리기 MATLAB 프로그램 6.10 그림 6.59 의 Nyquist 선도

- 시스템의 상대안정도에 관한 명령어: margin(num, den) 또는‘margin(A, B, C, D) - 게인 및 위상 여유 그리고 게인 및 위상 교차주파수를 수치적으로 얻기 위한 명령어 : [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(num, den) 또는 [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(A, B, C, D) 여기서 Gm은 게인여유, Pm은 위상여유, Wcg는 게인교차주파수, 그리고 Wcp는 위상교차주파수

MATLAB을 이용하여 개루프 전달함수 에 대한 Bode 선도를 그리고 상대안정도 평가 예제 6.11 게인여유 : 9.59 dB 위상여유 : 49.41° 만족스러운 상대안정도 유지 그림 6.60 의 Bode 선도