2.4 제Ⅰ 권의 초기 명제들

유클리드 원론중 제 1권은 평면기하(직선, 각 삼각형)에 대하여 다룬다 유클리드 원론중 제 1권은 평면기하(직선, 각 삼각형)에 대하여 다룬다. 구성은 23개의 정의, 5개의 공리5개의 공준, 48개의 명제로 되어있다. 또한 명제는 세 부분으로 나누어져 있다.

명제 1. 유한한 길이의 직선을 주었을때, 그것을 써서 정삼각형을 만드시오. 명제 1. 유한한 길이의 직선을 주었을때, 그것을 써서 정삼각형을 만드시오. 1. 증 명 1. A를 중점으로 AB를 반지름으로 하는 원 BCD를 그려라. ( 공리 3 ) 2. B를 중점으로 BA를 반지름으로 하는 원 ACE를 그려라.( 공리 3 ) 3. 두원이 만나는 점 C에서 두 점 A,B로 직선 CA,CB를 그어라.( 공리 1) 4. AC = AB , BC = BA ( 정의 15) 5. AC= AB= BC ( 공준1 ) C B E D A

2. 해 설 ⑴ 명제 1의 흠: 그림에 통해서 설명 ⑵ 힐버트의 20개의 공리, 킬링, 제논, 프로클루스 등이 이를 해결하려고 노력함. ⑶ 각 명제들은 다음의 명제들을 증명하는데 도움 을 준다.

명제2. 유한한 길이의 직선과 어떤 점을 주었을 때, 그 점을 끝점으로 하여 주어진 직선과 길이가 같은 직선을 그으시오. 명제3. 길이가 다른 두 직선을 주었을 때, 긴 직선에서 짧은 직선의 길이만큼 잘라 내시오.

명제 4. 두 삼각형이 있는데, 두 변이 각각 길이가 같고, 그 두 변이 만드는 각이 크기가 같다고 하자 명제 4. 두 삼각형이 있는데, 두 변이 각각 길이가 같고, 그 두 변이 만드는 각이 크기가 같다고 하자. 그러면 나머지 한 변도 길이가 서로 같으며, 두 삼각형은 서로 같다. 따라서 나머지 두 각도 각각 크기가 같다. 바꿔 말하면, 같은 길이인 변과 마주보는 각은 서로 크기가 같다. AB=DE, AC=DF ∠ BAC =∠ EDF 라 가정하자. 그리고 삼각형 두 개를 포개 놓아보자. 그러면 AB와 DE가 포개어지고, AC와 DF가 포개어진다. 그러므로 C와 F가 일치한다. 그러면 밑변BC, 밑변EF도 일치한다. 즉 BC = EF ( 공준 4 ) 따라서 △ ABC 와 △ DEF 가 일치한다. 1. 증 명 A D E B C F

2. 해 설 ⑴ 최초로 삼각형의 합동을 논한 명제 ⑵ 최초로 밑변이라는 용어 등장 ⑶ 겹쳐서 일치한다는 증명법 사용 힐베르트의 합동공리

명제5. 이등변 삼각형에서 두 밑각은 크기가 서로 같다 명제5. 이등변 삼각형에서 두 밑각은 크기가 서로 같다. 길이가 같은 두 변을 길게 늘였을 때, 밑변 아래에 생기는 두 각도 크기가 서로 같다. 1.증 명 AF = AG 이면 △ AFC≡ △ AGB ( 명제 4 ) 그러므로 ∠ AFC = ∠AGB 이며 △BFC ≡ △CGB ( 명제4 ) 그러므로 ∠FBC = ∠GCB 그런데 ∠ABG = ∠ACF , ∠CBG = ∠BCF 따라서 ∠ ABC = ∠ACB

2. 해 설 (1) 탈레스가 먼저 이등변삼각형의 두 밑각이 같음 을 발견 2. 해 설 (1) 탈레스가 먼저 이등변삼각형의 두 밑각이 같음 을 발견. (2) 이 명제의 두 번째 부분의 목적; 명제7의 두 번 째 부분 때문에 (반론을 제기 하지 못하게 하 기 위해서)

명제 6. 삼각형에서 두 각이 크기가 같으면, 그 각들과 마주보는 두 변은 길이가 같다. 명제 6. 삼각형에서 두 각이 크기가 같으면, 그 각들과 마주보는 두 변은 길이가 같다. 1. 증 명 만약 두 변의 길이가 다르다면 즉, AB의 길이가 더 길다고 가정하자. DB = AC가 되도록 D를 잡으면, △ DBC ≡ △ ACB ( 명제4 ) 작은 삼각형과 큰 삼각형이 합동이 되므로 모순이다. A D B C

2. 해 설 (1) 가하학에서 처음으로 ‘ 모순을 이끌어 내어’ 증명하는 증명 방법. (2) 명제 5의 역 2. 해 설 (1) 가하학에서 처음으로 ‘ 모순을 이끌어 내어’ 증명하는 증명 방법. (2) 명제 5의 역

명제 7. 어떤 직선을 주었을 때, 그 양 끝점에서 두 직선을 그어 그들이 한 점에서 만나도록 해 삼각형을 만들 어라 명제 7. 어떤 직선을 주었을 때, 그 양 끝점에서 두 직선을 그어 그들이 한 점에서 만나도록 해 삼각형을 만들 어라. 직선의 양 끝에서 방금 그은 것과 같은 방향 으로, 방금 그은 두 직선들과 길이가 각각 같도록 두 직선을 그어서, 이들이 다른 어떤 점에서 만나 삼각형을 만들도록 할 수 없다. 명제 8. 두 삼각형이 있는데, 두 변의 길이가 두 변의 길이 와 각각 같고, 밑변의 길이도 밑변의 길이와 같다 고 하자. 그러면 같은 변들 사이에 놓이는 각들은 서로 크기가 같다. 명제 9. 어떤 직선각을 주었을 때, 그것을 이등분하시오. 컴퍼스와 곧은자로 각을 이등분

명제 10. 유한한 길이의 직선을 주었을 때, 그것을 이등분 하시오. ( 유한 직선의 이등분 ) 명제 11 명제 10. 유한한 길이의 직선을 주었을 때, 그것을 이등분 하시오. ( 유한 직선의 이등분 ) 명제 11. 어떤 직선이 있고, 그 직선에서 한 점을 잡았을 때, 그 점을 지나고 주어진 직선과 수직이 되는 직선을 그으시오.( 직선상의 주어진 점에서 수직선 작도 ) 명제 12. 한없이 긴 직선이 있고, 그 직선에 있지 않는 어떤 점을 잡 았을때, 그 점에서 직선으로 수직선을 그 으시오. 오에노피데스에 의해 처음 연구됨 천문학에 이용 ( 시간을 알아봄 )

명제 13. 직선에다 다른 한 직선을 세우면, 그것은 두 개의 직각을 만들거나, 또는 두 각을 더한 것이 두개의 직각과 같은 크기가 된다. 명제 14. 어떤 직선의 한 점에서 두 직선을 서로 다른 방향 으로 그었는데, 그들이 만드는 두 개의 이웃한 각 을 더한 것과 크기가 같다고 하자. 그러면 두 직선 은 한 직선에 놓인다. 접각에 관한 명제

명제 15. 두 직선이 만나면, 그들이 만드는 맞꼭지각들은 크 기가 서로 같다. 최초로 딸린 명제가 나왔다. 명제 16 명제 15. 두 직선이 만나면, 그들이 만드는 맞꼭지각들은 크 기가 서로 같다. 최초로 딸린 명제가 나왔다. 명제 16. 삼각형의 한 변을 길게 늘였을 때 생기는 바깥각 은 삼각형의 다른 두 안 각보다 더 크다. ( 외각정리 ) 기하학의 부등식 명제 26. 두 삼각형이 있는데, 두 각의 크기와 각각 같고, 한 변의 길이가 한 변의 길이와 같다고 하자. 즉, 크기가 서로 같은 각 사이에 놓이는 변이든, 또는 같은 크기의 각과 마주보는 변이든, 변의 길이가 같다고 하자. 그러면 나머지 변들도 나머지 변들 과 길이가 각각 같고, 나머지 각도 나머지 각과 크기가 같다.

합동법칙의 요약 ( 프로클루스 ) 합동의 조건 1. 변들이 일치하는 경우 : 세 변 모두가 각각 길이가 같아 야만 합동 2 합동법칙의 요약 ( 프로클루스 ) 합동의 조건 1. 변들이 일치하는 경우 : 세 변 모두가 각각 길이가 같아 야만 합동 2. 각이 일치하는 경우 : 이것만 가지고는 합동을 보일 수 없다. 3. 변들과 각들이 일치하는 경우 : (1) 한 변의 길이가 같고 세 각의 크기가 같을 때 (2) 두 변들의 길이가 같고 두각들 또는 세 각들의 크기 가 같을 때 (3) 세 변들의 길이가 같고 한 각 또는 두 각들의 크기가 같을 때

1권의 첫 번째 부분에서 유클리드는 주로 삼각형들 다루어 왔다 1권의 첫 번째 부분에서 유클리드는 주로 삼각형들 다루어 왔다. 삼각형들을 만드는 방법, 변과 각의 상호 관계, 여러 삼각형들이 있을 때, 그들의 변과 각의 크기에 따른 비교, 그리고 합동인 삼각형들의 넓이 비교. 두 번째 부분은 세 번째 부분에서 필요한 것들이 나 온다. 세 번째 부분에서는 삼각형, 평행사변형, 정사각형의 넓이 개념으로 합동과 상관없이 넓이 가 같다는 것이 무엇인지 다루게 된다. 이것을 다루려면 평행선이 꼭 필요하므로 두 번째 부분에서는 평행선 이론을 확립하고 있다.

평행선에 관한 명제들 명제 27. 두 직선이 있는데, 다른 한 직선을 그들과 만나도록 그었다고 하자. 이 때 생기는 엇각들의 크기가 같으면, 두 직선은 서로 평행하다. E B 1.증 명 만약 평행하지 않는다고 가정하자. 그러면 AB와 CD를 길게 늘이면 B,D 방향에서 만난다. 만나는 점을 G라 놓자. A G C F D

△ GEF 에서 ∠AEF = ∠EFG 그러나 이것은 불가능 하다. 따라서 직선 AB와CD를 아무리 B,D방향에서 안 만난다 △ GEF 에서 ∠AEF = ∠EFG 그러나 이것은 불가능 하다. 따라서 직선 AB와CD를 아무리 B,D방향에서 안 만난다. A,C방향에서도 마찬가지로 증명( 정의 23 ) 그러므로 AB와 CD는 평행한다.

2. 해설 : 평행선 공리 사용. 유클리드의 공헌 (공리 5) 두 개의 직선이 있고 다른 한 직선이 이 두 개의 직선과 만나는데 어느 한 쪽의 두 내각을 더한 것이 두 개의 직각보다 작다고 하자. 그러면 두 직선을 얼마든지 길게 늘였을 때 두 직선은 내각을 더한 것이 두 개의 직각보다 작은 쪽에서 만난다. 유클리드 이전 : 평행선을 전개할 때 순환논리 이용 유클리드: 공리로 정함 공리에 대한 공격: 프톨레이, 프로클루스, 나시리딘, 왈라스,사체리, 람베르트, 르장드르 등

[프톨레이의 증명] 두 직선이 한 직선과 만나는데, 한쪽의 두 내각을 더한 것이 직각의 두 배보다 더 작고, 두 직선이 만나지 않는다고 하자. 그러면 두 내각을 더한 것이 직각의 두 배보다 큰 쪽은 더 만날 리가 없으므로 평행한다 평행선들이 어떤 직선가 만나면 두 내각을 더한 것은 두 직각과 같다( 명제 29)는 것에 모순이 생기므로 두 직선은 서로 만난다.

명제 32. 삼각형의 한 변을 길게 늘여라. 이 때 생기는 외각 의 크기는 다른 두 내각을 더한 것과 같다 명제 32. 삼각형의 한 변을 길게 늘여라. 이 때 생기는 외각 의 크기는 다른 두 내각을 더한 것과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각을 더하면 직각을 두 개 더한 것과 크기가 같다. 1. 증 명 점 C에서 직선 AB와 평행하도록 직선 CE를 그어라. ( 명제 31) 그러면 엇각으로 ∠BAC = ∠ACE 동의각으로 ∠ECD = ∠ABC (명제29) 그러면 ∠ACD = ∠ ABC + ∠BAC 따라서 삼각형 세 내각의 합은 직각 두 개를 더한 것과 같다. A E ∙ ∙ .. .. B C D

2. 해 설: 유클리드 이전에 발견 (1) 제미누스: 고대 기하학자( 정삼각형, 이등변 삼각형, 부등변 삼각형) 후대 기하학자(일반화) (2) 유데무스: 피타고라스 학파에 의해 발견 (3) 팜필레 : 탈레스, 탈레스를 가르치던 이집트 선생들이 증명( ‘직각 삼각형이 반원에 내접한다’ 이용) (4) 반박 : 정삼각형, 이등변 삼각형, 부등변 삼각형의 경우 를 가지고, 모든 삼각형으로 일반화 할 수 없다.

명제 35. 두 평행사변형의 밑변이 같고, 윗변이 한 직선에 놓인다고 하자. 그러면 이들은 넓이가 같다. 1. 증 명 AD = BC , EF = BC (명제34) 그러면 AD = EF ( 공준 1) 그리고 AE = DF ( 공준 2) AB = CD, BE = CF , ∠ EAB = ∠FDC ( 명제 29) 그러면 △ EAB = △ FDC ( 명제 4) A D E F ∙ ∙ G B C

여기서 삼각형 DGE를 빼면 사각형 ABGD = 사각형 EGCF 삼각형 GBC의 넓이를 더하면 평행사변형 ABCD = 평행사변형 EBCF

2. 해 설 (1) 도형들간에 같다는 것의 새로운 개념을 처음 소개 도형들간의 합동(포개 놓으면 일치) ‘ 같다’는 낱말뜻이 바뀜을 구체적으로 설명안함 넓이가 같다. (2) ‘ 넓이가 같은거 빼고 더한면 넓이가 같다.’ 이용

따라서 평행사변형 ABCD의 넓이는 삼각형 EBC의 두배다. 명제 41 평행사변형과 삼각형이 있는데, 이들이 밑변이 같고 같은 평행선들에 놓여 있다고 하자. 그러면 평행사변형의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배이다. 1. 증 명 직선 AC를 그으면 삼각형 ABC = 삼각형EBC ( 명제 37) 평행사변형 ABCD의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이의 2배다. ( 명제 34) 따라서 평행사변형 ABCD의 넓이는 삼각형 EBC의 두배다. A D E B C

2. 해 설 (1) 프로클루스: 이 명제를 해석하다가 연습삼아 사다리꼴의 넓이를 다루었음 2. 해 설 (1) 프로클루스: 이 명제를 해석하다가 연습삼아 사다리꼴의 넓이를 다루었음. (2) 유클리드의 넓이: 평행사변형의 넓이 공식 (밑변) × (높이) 유도. 하지만 대수적이 아닌 기하 학적으로 도형 생각함

46개의 명제와 정의, 공리, 공준을 바탕으로 1권의 마지막 명제인 피타고라스를 증명함. 46개의 명제와 정의, 공리, 공준을 바탕으로 1권의 마지막 명제인 피타고라스를 증명함.

참 고 문 헌 기하학 원론 – 평면기하- , 교우사, 유클리드 기하학 원론 해설서, 교우사, 토마스 히드 수학의 천재들 , 경문사, 오승재