보 이론 I Beam Theory Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea

개론 - 세장부재에 관한 고체역학의 총정리 2 3 4 5 6 7 10 Chapter Key words Member Load 변형 변형의 기하학 응력 힘-변형 관계 관계식 2 Uniaxial loading Truss, rod load 3 Torsion Shaft Twisting moment 4 Shear force, bending moment Beam Lateral force, bending moment 5 Stresses in beams Bending moment 6 Deflection of beams, statically determinate system 7 Deflection of beams, statically indeterminate system 10 Buckling Column Lateral force, moment, axial force(P)

개론 - 세장부재, 보의 정의와 특징 가느다란 긴 부재(세장부재, Slender member)에 작용하는 힘과 응력 트러스 부재 (Truss member) 또는 봉 (Rod) 보에 작용하는 응력 축력 법선응력 원형축 (Circular shaft) 비틀림모멘트 전단응력 보 (Beam) 기둥 (Column) 측력-굽힘모멘트, 전단력 법선응력, 전단응력 I-beam, H-beam 압축력 좌굴 Column Flange Buckled Web

개론 - 봉과 원형축에서의 변형률 봉의 단축하중 시의 변형률 축의 비틀림 시의 변형률 일반적인 변형률(Strain)

개론 – 측력과 굽힘 그림 8.1a 보에 작용하는 측력 그림 8.1b 굽힘에 의한 처짐 그림 8.2a 길이방향 대칭면

개론 - 순수굽힘 그림 8.4 굽힘 변형 그림 8.3 보의 영역별 순수굽힘의 예

개론 - 순수굽힘 순수굽힘(Pure bending): 일정

개론 - 주요 용어 정의 용어 정의 및 설명 굽힘(처짐)곡선: 기울기 각도: 기울기: 곡선의 길이: O 기울기: 곡선의 길이: 곡률( ) 및 곡률반경( ): 대칭면: 대칭축과 보의 방향(중립축)이 이루는 면 중립축: 대칭면 상의 선으로 길이가 변하지 않는 선 기타: 굽힘강성, 변형에너지

개론 - 곡률의 정의와 곡률-함수 관계식 관계의 유도 정의: 접선 의 계산: 의 계산:

개론 - 원의 곡률과 곡률의 기하학적 의미 원의 곡률 원의 곡률의 기하학적 의미 하부원 상부원

개론 - 단면특성과 면적적분 단면(도형)의 특성(Properties): 면적, 도심, 단면극관성모멘트, 단면관성모멘트 도심(Centroid)의 정의: 도형의 중심 취급하는 보의 단면이 대칭이므로 보의 단면에 대한 면적 적분 기타

순수굽힘보이론 - 보 이론의 가정과 과정 보 이론 전개를 위한 주요 가정 보 이론의 전개 과정 좌표 축의 설정 기하학적 가정: 보의 단면은 좌우대칭이 되어야 함. 적은 변형(Small deformation) 재료학적 가정: 대칭축에 대하여 재료가 대칭이어야 하며, 모든 재료는 후크법칙을 따름 역학적 가정: 하중, 즉 측력은 대칭축에서만 작용함. Flange (O) (X) Web (O) (X) (O) (X) 보 이론의 전개 과정 좌표 축의 설정 순수굽힘 보 이론: 전단력이 작용하지 않고 굽힘모멘트가 일정하게 작용하고 있는 보에 작용하는 응력(굽힘응력)을 구함 대칭축 대칭축에서 이론을 전개 함. 대칭면에 평행한 면에서는 대칭면에서 유도한 결과가 그대로 적용된다고 가정함 대칭면 중립축 공학 보 이론: 전단력이 작용하더라도 순수굽힘 보 이론에서 구한 굽힘응력, 변형과 굽힘모멘트 관계식 등은 그대로 사용 가능하다는 가정하에 전단응력을 계산함 중립면

순수굽힘보이론 - 변형의 기하학적 적합성 보의 순수굽힘 변형의 대칭성 논리 축의 비틀림 변형의 기하학적 적합성 대칭성 논리 중립축에 수직한 단면의 거동: 중립축에 수직한 단면(평면)은 변형 후에도 평면으로 남음 기하학적 적합성 조건에 어긋남 그 원인은 단면이 불룩하게 (오목하게) 된다는 가정이 잘못된 것에 있음 Cavity 중립면의 변형 모양: 보의 길이 방향과 평행한 직선은 변형 후에 원호가 됨 대칭면 (X) (X) 임의의 평면 Contradiction 발생 : 가정에 모순이 있음. 즉 Curved profile의 가정이 잘못되었음. J J' C B B' F F' (O) 대칭면 E D D'

순수굽힘보이론 - 변형과 변위와의 관계 변형률(Strain)의 계산 그림 Anticlastic curvature 이 식은 변형의 기하학적 적합성에 근거하여 도출된 것으로 재료와는 무관하게 성립함. 따라서 두 개 이상의 재료로 구성된 복합보에 대 해서도 성립함 그림 Anticlastic curvature

순수 굽힘보이론 - 응력과 변형률의 관계 등방성 재료의 일반화된 후크법칙 후크법칙의 적용, 응력 성분의 계산 응력 성분 가정: Flange 가정: Web

순수굽힘보이론 – 힘의 평형조건 평형조건식의 적용: 단면이 하나의 소재로 되어 있을 경우(단일재료 보) : 굽힘강성 좌우대칭으로 자동적으로 성립 단면2차관성모멘트

순수굽힘보이론 - 중립축, 처짐곡선, 응력 평형조건식의 적용 결과의 정리: 단면이 하나의 소재로 되어 있을 경우(단일재료 보) 중립축과 도심은 일치함 단면 2차 관성모멘트(Area moment of interia of the cross-section)

순수굽힘보이론 - 총정리 가정 및 결과 주요 결과 및 공식 남은 문제: 도심의 결정, 단면2차관성모멘트의 계산 굽힘모멘트 가 일정함(전단력이 작용하지 않음) 대칭성논리가 적용될 수 있는 환경(기하학적, 역학적 대칭, 재료학적 대칭 등) 주요 결과 및 공식 중립축: 도심과 일치함 보의 변형된 모양: 원호임(원의 반경은 임), 처짐곡선: 또는 응력: 변형률: 남은 문제: 도심의 결정, 단면2차관성모멘트의 계산

단일재료 보의 중립점과 단면2차관성모멘트 별도로 면적적분 부분에서 상술하였음

굽힘모멘트와 굽힘응력

표준 강재 형상들 21 (a) 광폭플랜지 형상(W형강) (b) ‘T’형상(WT형강) (c) 체널형상(C형강) (d) 중공구조단면(HSS형강) (e) 엥글형상(L형강) 21

알루미늄과 나무의 등가 보 (a) 순수굽힘을 받는 봉 (b) 알루미늄보의 단면 치수 (c) 등가 나무보의 단면치수

두 가지 재료를 갖는 보: 단면의 기본 형상과 변형 형상 (a) 초기 단면 (b) dA = dy dz를 갖는 초기 단면 (c) 탄성계수비 n을 사용하여 변환된 재료 2

두 가지 재료를 갖는 보: 변형률과 응력 분포 (a) 초기 단면 (b) 법선변형률의 분포 (c) 법선응력의 분포

편심축하중에 의한 굽힘 (a) 굽힘부재의 구성 (b) 자유물체도

편심단축하중에 의한 법선응력

사고시험을 통한 비대칭 굽힘 (a) z단면에 작용되는 동등한 크기의 굽힘모멘트 M (b) 굽힘이 x-y평면에서만 발생할 경우 z단면내에 생성된 굽힘응력들 (c) 플랜지의 굽힘응력에 의해 생성된 합력

임의단면과 보의 굽힘

그림 8.17 양쪽에 U-형상의 노치를 갖는 평판봉의 굽힘에 대한 응력집중계수 K

그림 8.18 어깨 모양의 필렛을 갖는 평판보의 굽힘에 대한 응력집중계수 K

그림 8.19 U-형상 홈을 갖는 원형단면보의 굽힘에 대한 응력집중계수 K

그림 8.20 어깨 모양의 필렛을 갖는 다단원형단면보의 굽힘에 대한 응력집중계수 K

보의 응력 계산 예제 8.1 (p.297) T -형상 단면을 갖는 보가 의 양의 굽힘모멘트를 받고 있다 -형상 단면을 갖는 보가 의 양의 굽힘모멘트를 받고 있다 도심 위치, z축에 관한 단면2차관성모멘트, 그리고 z축에 관한 단면 계수를 구하라. 점 H와 점K에서의 굽힘응력, 그리고 법선응력이 인장 또는 압축인지를 설명하라. 단면에서 발생하는 굽힘응력, 응력이 인장 또는 압축인지를 설명하라.

보의 응력 계산 예제 8.2 (p.299) 최대 허용굽힘응력이 일 때, 보가 지탱할 수 있는 최대 굽힘모멘트 M 을 결정하라. 주의, 단면의 둥근모서리는 단면특성치 계산에서 무시할 수 있다.

보의 응력 계산 예제 8.3 (p.310) 그림에서 보는 바와 같이 플랜지를 갖는 단면 보가 하중을 지탱하고 있다. 보의 전체 길이 20 ft 를 고려하여 다음을 결정하라. 전체 보에서 최대 인장굽힘응력 전체 보에서 최대 압축굽힘응력

보의 응력 계산 예제 8.5 (p.321) 그림에서 보는 바와 같이 24 ft 길이의 단순지지나무보에 등간격으로 1,200 lb의 하중이 가해지고 있다. 나무의 허용굽힘응력은 1,800 psi이다. 중실 직사각형 나무보의 종횡비는 h/b =2.0 이라면, 보의 최소 허용폭 b 를 결정하라.

보의 응력 계산 예제 8.6 (p.322) 그림의 보는 허용응력이 30 ksi 인 표준 W형상으로 제작되었다. 이 보를 위해 사용 가능한 W형강의 가능한 목록을 만들어라. 가능한 W형강 목록에 가장 경제적인 W8, W10, W12, W14, W16, W18 형상을 포함하라. 이 보에 대해 가장 경제적인 W 형강을 선택하라.

보의 응력 계산 예제 8.9 (p.342) 그림의 C-클램프는 인장 또는 압축 모두 324 MPa의 항복강도를 갖는 합금으로 만들어졌다. 3.0의 안전계수가 요구되는 경우 , 클램프가 견딜 수 있는 허용체결력을 구하라.

보의 응력 계산 예제 8.10 (p.356) C180 X 22의 표준 C형강은 z축에 관하여 의 각도 방향으로 의 굽힘모멘트를 받고 있다. 점 H와 K에서의 굽힘응력과 굽힘의 방향을 결정하라.