강원대학교 공과대학 제어계측공학과 2010년도 제2학기 로봇공학 : 동차행렬 강원대학교 공과대학 제어계측공학과 2010년도 제2학기

학습 내용 이전시간 학습 목표 학습목표 학습 내용 1. 다양한 로봇 시스템의 소개를 통해 로봇에 흥미를 가진다. 2. 로봇공학 분야에서 사용하고 있는 다양한 용어에 대해 이해한다. 학습목표 로봇의 운동을 3차원 공간상에서 표현하는 방법과 각 관절과 말단 장치 사이의 공간상의 위치 관계에 대해 이해한다. 학습 내용 로봇 운동 관련 수학적 배경 계의 표시방법 회전행렬 복합회전 동차행렬 D-H 좌표계 동차행렬에 의한 순방향 기구학

동차행렬 x0 y0 z0 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x0 y0 z0 x1 y1 z1 x2 y2 z2 회전 행렬의 한계 회전행렬 : 각 좌표계 사이의 회전 관계를 나타냄 회전 행렬의 좌표계의 원점은 항상 같음 기존 회전 행렬로만은 두 좌표계 사이의 위치를 나타낼 수 없음 위치와 자세를 동시에 나타내는 표현 필요 x0 y0 z0 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x0 y0 z0 x1 y1 z1 x2 y2 z2

동차행렬 전체 좌표계(월드좌표계)와 지역 좌표계(로컬 좌표계) 물체의 특정 지점의 위치는 하나의 고정된 기준 좌표계(전체 좌표계)에 대해 표현하기보다는 여러 기준 좌표계(지역 좌표계) 사이의 상대개념을 이용하면 손 쉽게 필요한 위치정보를 표현하고 얻을 수 있음  로봇에도 적용 전체 좌표계 지역 좌표계

동차행렬 z1 z0 y1 y0 x1 x0 이동행렬 좌표계 사이의 관계는 이동과 회전으로 정의가 됨 이동행렬 : 두 좌표계 사이의 병진 이동에 관련된 정의 회전이 없는 두 좌표계 사이의 이동에 대해 정의하는 행렬 x0 y0 z0 x1 y1 z1

동차행렬 동차행렬 정의 이동행렬에 기존 회전 행렬에 결합하여 정의 회전변환 부분 이동변환 부분 x0 y0 z0 x1 y1 z1

동차행렬 동차행렬 이동변환 + 회전변환 정방행렬을 구성하기 위하여 행렬계산이 용이하도록 추가된 행

동차변환행렬 예제 1. 두 좌표계가 원점을 공유하고, 기준좌표계 {A}를 XA축을 기준으로 30도 회전한 좌표계가 {B}인 경우 동차변환 행렬을 구하시오. 2. 두 좌표계가 원점을 공유하고, 기준좌표계 {A}를 YA축을 기준으로 45도 회전한 좌표계가 {B}인 경우 동차변환 행렬을 구하시오.

동차변환행렬 예제(계속) 3. 기준좌표계 {A}를 YA축 방향으로 5 이동한 좌표계가 {B}인 경우 동차변환 행렬을 구하시오. 4. 기준좌표계 {A}를 XA축 방향으로 5, YA축 방향으로 10, ZA축 방향으로 -2 이동한 좌표계가 {B}인 경우 동차변환 행렬을 구하시오.

동차변환행렬 예제(계속) 5. 기준좌표계 {A}에서 XA 축 기준으로 45도 회전시키고, YA 방향으로 10, ZA 방향으로 -5 이동한 경우, 동차변환행렬을 구하시오.

동차변환행렬 예제(계속) 6. 예제3의 동차변환행렬(이동만 존재)을 이용하여 좌표계 {B}의 한 점 BP = [1 2 0]T이 기준 좌표계 {A}에서 어떻게 표현되는지 구하시오. 7. 예제2의 동차변환행렬(회전만 존재)을 이용하여 {B}의 한 점 BP = [1 2 0]T이 기준 좌표계 {A}에서 어떻게 표현되는지 구하시오.

동차행렬 연속 변환 연속 변환의 순서 이동좌표계, 고정 좌표계의 정의 상대변환, 절대변환의 정의 이동좌표계 : 변환에 의해 새롭게 얻어지는 좌표계 고정좌표계 : 변환에 상관없이 처음과 동일하게 고정된 좌표계 상대변환, 절대변환의 정의 상대변환 : 각 단계의 변환 후 얻어진 새로운 좌표계인 이동 좌표계에 대해 다음 변환이 수행되는 것 절대변환 : 전 단계의 변환에 관계 없이 계속 초기의 고정 좌표계 기준으로 수행하는 것 연속 변환의 순서 상대변환의 경우 : 회전과 병진을 나타내는 변환 행렬이 앞에서부터 뒤로 순차적으로 곱해짐 절대변환의 경우 : 변환 행렬이 뒤에서부터 앞으로 순차적으로 곱해짐

동차행렬 연속 변환 변환 행렬 곱 순서 이동좌표계 기준 : ‘이동변환 + 이동/회전변환’의 경우 고정좌표계, 이동좌표계의 경우 순서가 다름  회전행렬의 순서와 동일 고정좌표계의 경우, 뒤에서 예제로 다룸 이동좌표계 기준 : ‘이동변환 + 이동/회전변환’의 경우

동차행렬 연속 변환 (계속) 이동좌표계 기준 : 이동 및 회전변환이 동시에 있는 변환

동차행렬 동차 변환 행렬 : 연속 변환 (계속) 이동좌표계 기준 : 이동 및 회전변환이 동시에 있는 변환

동차행렬 동차 변환 행렬 : 역변환(역행렬) 증명

동차행렬 예제 : 동차변환행렬의 해석 및 역변환 다음 동차변환행렬의 이동 및 회전을 기술하시오. 위 동차변환행렬에 대한 역변환을 구하시오. 이동좌표계{B} = 기준좌표계 {A}의 z축을 기준으로 45도 회전하고, 각 x,y,z축방향으로 7, 3, 0 이동

Denavit-Hartenberg 좌표계 로봇 관절 좌표계 로봇의 각 관절은 서로 직렬로 연결됨  로봇의 끝점(작용점, 동작점)에서 표시된 위치와 방향을 기저(base) 또는 기준(reference) 좌표계의 위치와 방향으로 표현해야 함 각 좌표계의 설정 및 설정 방법 필요(∵좌표계 사이의 동차변환행렬의 손쉬운 표현 및 계산) 데나비트-하텐버그 규약 표시법(Denavit-Hartenberg convention) 1955년. J. Denavit와 R.S.Hartenberg에 의해서 처음 제안 D-H 표시법 또는 규약 으로 불림 각 관절 좌표축 설정 방법 + 동차변환을 4개의 기본변환행렬의 곱으로 표현하는 방법

Denavit-Hartenberg 좌표계 D-H 표시법 : 좌표계 설정 방법 좌표계의 생성 : 원점+세 축 정의 필요 1. (z축 설정) 관절 i+1축(link i+1의 회전축)을 따라서 Zi축을 선택 2. (원점설정) zi-1축과 zi 축 모두에 수직인 축과 zi 축이 만나는 점을 Oi’으로 설정 3. (x축 설정) 관절(joint) i-1과 관절(joint) i에 수직하는 축을 따라서 xi 설정 (zi-1과 zi에 공통으로 수직인 축) 4. (y축 설정) 위에서 구한 zi와 xi를 오른손 법칙을 이용하여 yi 축 설정

Denavit-Hartenberg 좌표계 공간상에서 직선과 직선의 관계 한 점에서 만난다. 두 직선이 같은 평면에 존재 1. 한 점에서 만나는 경우 두 직선에 수직인 선분이 존재하지 않음 두 직선이 같은 평면상에 존재하지 않을 때 -. 있을 수 없는 경우 한 점에서 만나지 않는다. 두 직선이 같은 평면상에 존재 2. 평행한 경우 두 직선에 수직인 선분이 무수히 많음 3. 꼬인 위치에 있는 경우 두 직선에 수직인 선분이 유일하게 존재함

Denavit-Hartenberg 좌표계 좌표축에 대한 유일한 정의를 할 수 없는 경우 기준좌표계 0에서 z0의 방향이 설정된다면, x0와 원점은 임의로 선택할 수 있음 마지막 좌표계 n에서 xn만 설정이 됨  zn과 yn은 임의로 설정할 수 있음 두 개의 연속적인 축(연속되는 각 조인트의 회전축)이 평행할 때, 두 축사이의 공통으로 수직인 축은 유일하게 정의 되지 않음 두 개의 연속적인 축이 교차할 때, xi의 방향은 임의로 선택 관절 i가 prismatic joint의 경우 zi 방향만이 결정되고, xi 및 yi는 임의의 방향으로 선택 D-H 파라미터 좌표계 i-1에 관한 좌표계 i의 위치와 방향은 다음의 파라미터들에 의해 완전하게 기술됨

Denavit-Hartenberg 좌표계 D-H 파라미터에 의한 {i-1} 좌표계와 {i} 좌표계의 동차변환행렬 {i-1} z축 기준 θ만큼 회전  {i-1}z,θ 좌표계 생성 {i-1}z,θ z축 따라 d만큼 이동  {i-1}z, d 좌표계 생성 {i-1}z,d 의 x축 따라 a만큼 이동  {i-1}x,a 좌표계 생성 {i-1}x,a 의 x축 기준따라 α만큼 이동  {i} 좌표계 일치

Denavit-Hartenberg 좌표계 D-H 파라미터에 의한 {i-1} 좌표계와 {i} 좌표계의 동차변환행렬 {i-1} z축 기준 θ만큼 회전  {i-1}z,θ 좌표계 생성 {i-1}z,θ z축 따라 d만큼 이동  {i-1}z, d 좌표계 생성 {i-1}z,d 의 x축 따라 a만큼 이동  {i-1}x,a 좌표계 생성 {i-1}x,a 의 x축 기준따라 α만큼 이동  {i} 좌표계 일치