수학 I Week 7. Differentiation B. K. Park, Ph.D. Department of Mechanical Engineering

7.1 미분계수 d: ~의 작은 조각 ‘작음’의 상대적 크기 du, dx, dy: u, x, y의 작은 조각, u의 미분, x의 미분, y의 미분 ‘작음’의 상대적 크기 이 직선의 길이를 x라고 하고 이 직선의 1/100 만큼을 dx라고 하자. dx의 1/100은 d(dx) 또는 (dx)2 이라 할 수 있으며, 이는 원래 길이의 1/10000 만큼이다. 우리는 ‘~의 작은 조각의 작은 조각’은 무시할 수 있는 것으로 간주한다.

7.1 Cont’d 상수 (constant): a, b, c, d, … 변수 (variable): x, y, z, u, v, w, t, … 두 개 이상의 변수가 존재하면서 하나의 변수가 다른 변수에 의존하는 경우 (함수) 30 O x dx y dy x → x + dx y → y - dy

7.1 Cont’d : x가 변화했을 때 y가 얼마나 변화할 지에 대한 비율 대수식의 미분 x에 대한 y의 미분 계수 미분이란 의 값을 찾는 것 대수식의 미분 에 대해 x가 dx만큼 커지면 y는 dy만큼 커진다. x = 100이고 dx = 1일 때 x = 100이고 dx = 0.1일 때 옆의 연산은 어떻게 되는가?

7.1 Cont’d 에 대해, 에 대해, 다항식 이항정리로부터 → (a = x, b = dx)로 일반화하면…

7.1 Cont’d 상수를 어떻게 다룰 것인가?

7.1 Exercise 를 미분하라 를 미분하라. 일 때, x에 대한 y의 미분계수는? 반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥의 부피는 이다. r = 5.5 mm, h = 20 mm 일 때 반지름에 대한 부피의 변동률은 얼마인가? r = h 이고, 반지름이 1 mm 바뀜에 따라 부피가 400 mm3 바뀐다면 반지름의 길이는 얼마인가? 어떤 온도계의 눈금 θ는 실제 온도 t와 다음과 같은 관계를 가지고 있다. 기준 온도 t1 = 1000 oC에서 눈금 θ1 = 25 이다. t = 800 oC, 1000 oC, 1200 oC에서 이 온도계의 감도를 구하고 비교하라.

7.1 Cont’d 함수의 합, 곱, 몫의 미분 u = f(x), v = g(x) 라는 함수가 있을 때 y = u + v 라면, u = f(x), v = g(x) 라는 함수가 있을 때 y = u × v 라면,

7.1 Cont’d u = f(x), v = g(x) 라는 함수가 있을 때 y = u / v 라면,

7.1 Cont’d 백열등에 들어있는 필라멘트의 온도 t는 그 백열등을 흐르는 전류량 C와 다음과 같은 관계를 갖는다. 필라멘트의 온도가 변화할 때 그에 따른 전류의 변화율을 나타내는 식을 구하라. (a, b, c는 상수) 다음 공식들은 온도가 t oC 일 때 세 종류의 전선의 전기저항 R의 크기를 나타내는 식이다. 각각의 공식에 대해 온도에 대한 저항의 변화율을 나타내는 식을 구하라. (R0는 0 oC일 때의 저항값, a, b, c는 상수)

7.1 Cont’d 함수 y = f (x) 에 대해 일반적으로 로 표기한다. 를 축차미분하면,

7.1 Cont’d 시간에 대한 미분 y = f (x)가 아니라 y = f (t) 인 경우, ex.) 거리, 속도, 가속도 힘 일

7.2 유용한 우회기법 를 미분하라 로 놓으면, y를 u로 미분하면, u를 x로 미분하면,

7.2 Cont’d (exercise) 를 미분하라 을 미분하라 yn을 y5에 대해 미분하라

7.3 미분의 기하학적 의미 함수의 그래프에서 한 점의 기울기 y = f (x)에서 f``(a)는 x = a 인 함수 상의 점 (a, f (x))에서 함수의 기울기를 의미한다. 양의 기울기 기울기의 증가 = dy/dx 의 증가 양의 기울기 기울기의 감소 = dy/dx 의 감소 음의 기울기 기울기의 증가 = dy/dx 의 증가 음의 기울기 기울기의 감소 = dy/dx 의 감소

7.3 Cont’d dy/dx = 0 의 의미

7.4 극대와 극소 dy/dx = 0 의 활용 극대와 극소의 구분은? dy/dx = 0을 만족시키는 x보다 조금 작은 값 또는 조금 큰 값의 dy/dx를 구해본다. 2차 미분을 수행한다. Ex). 60을 임의로 나눈 숫자를 각각 a와 b라고 하자. 다시 말해 a + b = 60이라고 할 때, a × b 가 최대가 되는 a와 b의 값은 무엇인가?

7.4 Cont’d (Exercise) 반지름이 R인 원에 내접하는 직사각형 중에 넓이가 가장 큰 것의 가로와 세로 길이를 구하라. 비스듬한 옆면의 길이 (모선의 길이)가 l인 원뿔형 그릇이 가장 큰 부피를 가지기 위한 입구의 반지름은 얼마인가? 높이가 밑면의 반지름에 비해 두 배인 원기둥의 부피가 비율은 유지하면서 점점 더 부풀어오른다. (크기가 변화하지만 형태는 계속 닮음을 유지한다.) 밑면의 반지름이 r일 때 원기둥의 겉넓이는 초당 20 cm2의 속도로 증가한다고 한다. 그때 원기둥의 넓이가 변화하는 속도는 얼마인가? l

7.4 Cont’d 다음 함수의 극대값과 극소값을 구하라 위 식을 다시 쓰면, 따라서 x = 0 또는 x = 16/25

7.5 곡선의 구부러진 정도 축차미분 중 이계도함수의 의미는? 가속도는 변위의 시간에 대한 이계도함수이다. 가속도가 a = 2로 일정할 때 시간 t에 대한 변위의 그래프는? 가속도가 a = t -2로 변화할 때 변위의 그래프는? 가속도가 a = 2 – t 로 변화할 때 변위의 그래프는? (모든 경우 초기 위치 xi = 0, 초기 속도 vi = 0 으로 가정한다.)

7.5 Cont’d 변위가 극대, 극소가 되는 지점에서 가속도의 부호를 확인하라