가속도와 자기장 센서를 이용하여 스마트폰의 방위(기울기)를 어떻게 알아낼까? 물리 사사반 권산, 민서현, 임영준 지도교수 윤석수

탐구 동기 스마트폰의 별자리 관측 어플은 어떻게 스마트폰의 기울기 를 알아낼까? 센서 증강현실

들어가며 …. yaw Roll (Yaw, Roll, Pitch) Pitch 스마트폰은 이 3가지 각도를 어떻게 스스로 알아내어 별자리 관측, 증강현실 등이 가능하도록 할까? 스마트폰이 가속도와 자기장 등의 센서를 가지고 있어서 3가지 각을 측정하는 것이 가능하다고 하는데 어떻게 가능할까? yaw Roll (Yaw, Roll, Pitch) Pitch

탐구 개요 및 내용 탐구 개요 과연 어떤 방법으로 스마트폰은 기울기 각들을 가속도와 자기장 센서 측정 값으로부터 계산하는지를 탐구하면서 삼각함수, 벡터, 행렬의 수학적 개념을 이해 수학적 개념이 어떻게 형성되며 과학에 응용되는지 직접 경험 탐구 내용 스마트폰의 가속도와 자기장 센서를 이용하여 벡터 개념 이해하기 벡터의 성분을 표현하기 위해 삼각함수의 개념 도입 좌표축 회전에 따른 벡터의 성분 변화를 표현하기 위해 행렬 개념 도입 스마트 폰의 기울기 각들을 가속도와 자기장 성분으로부터 구하는 식을 유도하기 가속도와 자기장 센서 기울기 각을 계산하는 스프레드 시트 작성하기

탐구 1.1 스마트폰의 가속도 센서가 측정 하는 값이 무엇인가? 탐구 개요 스마트폰의 가속도 센서가 측정하는 값은 무엇인가? 왜 가속도 센서가 측정하는 값이 스마트폰의 기울기 각도에 따라 변하는가? 가속도 센서가 측정하는 값이 스마트폰의 기울기 각도에 따라 변하는 규칙을 어떻게 수학적으로 표현할 수 있을까? 탐구 방법 스마트폰에 센서 값을 측정해주는 어플설치(Sensor List) 스마트폰의 기울기 각도를 바꿔가면서 가속도 센서가 측정하는 값의 변화를 탐구

탐구 1.1 스마트폰의 가속도 센서가 측정 하는 값이 무엇인가? 탐구 결과 -0.21 9.79 -0.92 -9.99 0.35 -0.45 -7.75 6.28 -0.89 -0.50 0.27 9.62 가속도 센서가 측정하는 값은 3개가 있다. 수직으로 세우거나 눕히면 3개 중 하나의 값만 10 가까운 값을 보이며 나머지 두 개는 0에 가깝다. 수직으로 세운상태에서 약 45도 기울이면 두 개 값이 크게 측정되며 나머지 한 개는 0 에 가깝다. 왜 그럴까? 간단하게 설명할 수 있는 방법이 없을까?

탐구 1.1 스마트폰의 가속도 센서가 측정 하는 값이 무엇인가? 탐구 결론 스마트폰의 가속도센서가 측정한 값은 9.8 m/s2 크기의 중력가속도다. 중력가속도는 수직아래로 향하는 방향을 가지고 있다. 스마트폰은 3개의 수직된 축을 가지고 있으며 가속도센서가 측정한 3가지 값은 3개의 축이 중력가속도 방향과 어떤 각도로 놓여 있는가에 따라 달라진다. y y -g z y y -g g -g z z g x x -9.99 0.35 -0.45 x g (중력가속도) -7.75 6.28 -0.89 -0.21 9.79 -0.92 x y z 중력가속도는 크기와 방향을 가진 벡터이다. 벡터는 3개의 좌표축 성분을 가진다. 벡터의 성분은 좌표축의 기울기 각도에 따라 달라진다.

탐구 1.2 가속도 센서가 측정한 값을 수학적으로 표현예측하는 방법? 탐구개요 스마트폰이 기울여진 각도를 알 때 가속도 센서가 측정하는 값을 수학적으로 어떻게 표현하고 예측할 수 있을까? 생각해보자! x z y y 직각삼각형 높 이 길 빗면길이 z 밑면길이 x 높이길이/빗면길이 밑면길이/빗면길이 각도에만 의존 수학에서 삼각함수의 정의 탐구결과 벡터의 성분은 수학에서의 삼각함수로 표현할 수 있다. 삼각함수 값을 미리 구해두면 벡터의 성분을 쉽게 예측할 수 있다.

탐구 1.3 가속도 센서를 이용하여 각도에 따른 삼각함수의 그래프를 실험적으로 구하라 탐구개요 스마트폰을 아래 그림과 같이 5도씩 증가시켜 가면서 가속도 센서 값을 측정하여 기록 각도에 따라서 다음 값들을 구하고 그래프 그리기 탐구결과 y x z 스마트폰의 가속도 센서를 이용하여 삼각함수 그래프의 특성을 그려볼 수 있었다.

탐구 1.4 벡터를 이용하여 삼각함수 공식을 증명하라 탐구개요 벡터를 이용하여 다음 공식들이 성립한다는 것을 증명해 보라 벡터의 성분이라는 실체적 모델을 이용하면 삼각함수에 대한 공식을 쉽게 증명하고 기억할 수 있다 y y y x x x

탐구 2.1 좌표축이 회전할 때 벡터의 성분이 변하는 규칙을 탐구하라 탐구개요 주어진 좌표축에서 어떤 벡터의 성분이 좌표축이 특정한 각도로 회전했을 때 회전된 새 좌표축에서 성분은 어떤 규칙으로 변할까? 회전된 새 좌표축에서 어떤 벡터의 성분을 회전하기 전의 예전 좌표축에서의 성분과 회전한 각도로 표현하는 식을 구하라. y’ x’ z

탐구 2.2 좌표축이 회전할 때 벡터의 성분이 변하는 규칙을 일반화 하라 탐구개요 주어진 좌표축에서 어떤 벡터의 성분이 좌표축이 특정한 각도로 회전했을 때 회전된 새 좌표축에서 성분을 구하는 일반적인 식으로 확장하라 새로운 축과 예전 축 사이의 각도로 표현해 보라

탐구 2.3 좌표축 회전에 따른 벡터 성분의 변화를 수학적으로 간단명료하게 표현하는 방법을 탐구하라 탐구 2.3 좌표축 회전에 따른 벡터 성분의 변화를 수학적으로 간단명료하게 표현하는 방법을 탐구하라 탐구개요 탐구 2.2에서 구한 좌표축 회전에 따른 벡터성분의 변화를 구하는 식을 유심히 살펴서 수학적으로 보다 간단 명료하게 표현하는 방법이 없을까? 생각해보자! 행과 열로 배치하고 분리해서 표현 수학의 행렬을 도입하면 보다 간단명료하게 표현할 수 있다. 형렬은 곱해질 수 있으며 곱하는 규칙이 왜 그렇게 정의되는지 알 수 있다.

탐구 2.4 좌표축이 2번 연속으로 회전한 후 벡터의 성분변화로부터 행렬의 곱에 대한 정의를 일반화 하라 탐구 2.4 좌표축이 2번 연속으로 회전한 후 벡터의 성분변화로부터 행렬의 곱에 대한 정의를 일반화 하라 좌표축을 1차 회전한 후 다시 2차로 회전하였을 때 최종 좌표축에서 벡터의 성분을 구해보라. 그 결과로부터 행렬을 곱하는 일반적인 정의를 찾아라. 좌표축 연속 회전으로부터 행렬을 곱하는 일반적인 정의를 알 수 있었다.

탐구 3.1 스마트폰이 Yaw, Roll, Pitch 회전 후 가속도와 자기장 센서가 측정한 값을 예측하는 식을 유도하라 탐구개요 앞에서의 탐구로 알게 된 것들을 이용하여 스마트폰이 yaw, roll, pitch 각도로 회전 후 중력가속도와 지구자기장의 스마트폰 3축에 대한 성분을 구하는 식을 유도하자

탐구 3.1 스마트폰이 Yaw, Roll, Pitch 회전 후 가속도와 자기장 센서가 측정한 값을 예측하는 식을 유도하라 탐구개요 Yaw, Roll, Pitch 연속회전 후 변환행렬 구하기

탐구 3.1 스마트폰이 Yaw, Roll, Pitch 회전 후 가속도와 자기장 센서가 측정한 값을 예측하는 식을 유도하라 탐구개요 Yaw, Roll, Pitch 연속회전 후 변환행렬 구하기

탐구 3.1 스마트폰이 Yaw, Roll, Pitch 회전 후 가속도와 자기장 센서가 측정한 값을 예측하는 식을 유도하라 탐구개요 Yaw, Roll, Pitch 연속회전 후 중력가속도 벡터 등의 성분 구하기 벡터와 행렬을 이용하여 Y,R,P 회전 후 가속도 및 자기장 센서가 측정하는 값을 구할 수 있었다.

탐구 3.2 스마트폰의 가속도와 자기장 센서가 측정한 값으로부터 Yaw, Roll, Pitch를 구하는 식을 유도하라 앞의 탐구에서 구한 벡터들의 성분 값으로부터 역으로 Y,R,P 각을 구하는 식을 유도하자 스마트폰의 가속도 센서 값으로 부터 Pitch와 Roll 각을 구하는 식을 유도할 수 있었다

탐구 3.2 스마트폰의 가속도와 자기장 센서가 측정한 값으로부터 Yaw, Roll, Pitch를 구하는 식을 유도하라 앞의 탐구에서 구한 벡터들의 성분 값으로부터 역으로 Y,R,P 각을 구하는 식을 유도하자

탐구 3.2 스마트폰의 가속도와 자기장 센서가 측정한 값으로부터 Yaw, Roll, Pitch를 구하는 식을 유도하라 탐구결론 스마트폰의 가속도 센서와 자기장 센서가 측정한 중력가속도와 지구자기장의 3축 성분을 이용하면 옆의 식을 이용하여 Y,R,P 각을 모두 구할 수 있다.

탐구 3.3 센서측정값으로 부터 Yaw, Roll, Pitch 값을 구하는 엑셀시트 작성하고 계산 결과가 맞는지 검증하라 탐구개요 엑셀시트에 스마트폰이 측정한 중력가속도와 지구자기장 성분 측정값을 입력하면 Y,R,P 값을 계산해 주는 시트를 작성한다 스마트폰 어플이 계산한 Y,R,P 값과 우리가 구한 값을 비교하여 검증한다. g B Bⅹg 각도(계산값,rad) 각도(계산값,deg) 각도(측정값,deg) x 성분 -1.800 -34.00 212.010 θ(2) -0.721 -41.30 -40.3 y 성분 -6.500 -18.90 -271.580 φ(3) 0.181 10.36 14 z 성분 -7.400 11.10 186.980 η(1) 2.153 123.35 116.4 |B|= 40.453 |g|= 10.012 gysinθ-gzcosθ 9.849 (Bⅹg)ycosθ/g+(Bⅹg)zsinθ/g -32.703 Bycosθ+Bzsinθ -21.525 rad>deg 57.2958 우리가 유도한 Y,R,P 각을 계산하는 식을 검증하였다.

결론 스마트 폰의 기울기 각(Yaw, Roll, Pitch)들을 어떻게 스마트폰의 가속도 센서와 자기장 센서로부터 구하는지를 직접 알아낼 수 있었다 본 사사과정의 단계별 탐구과정을 통해 벡터, 삼각함수, 행렬 등의 수학적 개념들이 어떻게 정립되었는지를 직접 체험할 수 있었다 수학적 개념들이 물리학(과학) 현상을 표현하고 응용하는데 어떻게 유용한지를 직접 체험할 수 있었다 평소 학교수업을 통해서 수학적 개념을 그냥 받아들이기만 했는데, 이번 사사과정을 통해 수학의 개념이 정립되는 과정과 이를 과학에서 응용하는 방법 등을 직접 체험할 수 있었기에 앞으로 수학과 과학을 공부하는데 큰 도움이 될 것 같다.