지평좌표계 고도, 방위각

 적도 좌표계 적경RA, 적위Dec

황도 좌표계   황도면 : 황경(춘분점)= l, 황위= b    

은하좌표계 은경 ㅣ, 은위 b

구면천문학 구면삼각형 기본 공식

1.1 구면 삼각형 : 세 개의 대원이 교차 구면 삼각형의 각 ; 두 평면이 교차하는 각 A, B, C, 1.1  구면 삼각형 : 세 개의 대원이 교차 구면 삼각형의 각 ; 두 평면이 교차하는 각  A, B, C, 구면 삼각형의 변 : 대원 호의 길이 a, b, c ( 구 중심에서 측정된 각)

소원 : 구의 중심을 지나지 않는 원 대원 : 구의 중심을 지나는 원 SP = R *각 SOP        SOP (라디안),  R=1

1.2 기본 공식 AD=OA tan c, OD= OA sec c, a. Cosine -Formula : 공식 A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ANGLE BAC = angle DAE = A TRIANGLE OAD에서 angle OAD = 90 angle AOD = c AD=OA tan c, OD= OA sec c,

AD=OA tan c OD= OA sec c TRIANGLE OAE, AE = OA tan b, OE = OA sec b TRIANGLE DAE, DE2 = AD2 +AE2 -2 AD X AE cos angle DAE = OA2 [tan2 c + tan2 b - 2 tan b tanc cos A] TRIANGLE DOE, DE2 = OD2 +OE2 - 2 OD X OE cos ∠ DOE ∠ DOE=∠ BOC = a = OA2 [ sec2 c + secb - 2 sec b X sec c cos a sec2 c + sec2 b -2 sec b X sec c cos a = tan2 c + tan2 b - 2 tan b X tan c cos A (sec2 c = 1 + tan2 c, sec2 b = 1 + tan2 b ) 2 - 2 sec b sec c cos a = - 2 tan b tan c cos A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A 즉 두 변과 긴 각을 알면 그 각에 대응되는 변을 추정    또는 모든 변이 알려지면  각을 추정

cos A = cosec b cosec c[ cos a - cos b cos c] cos A = 1 -2 sin2 ( A/2 ) cos a = cos b cos c +sin b sin c [1-2 sin2 ( A/2 )] =cos (b-c) -2 sin b sin c sin2( A/2 ) cos (b-c) - cos a = 2 sin b sin c sin2( A/2) (2 sin A sin B = cos (A-B) - cos (A+B), cos A - cos B = 2 sin (A+B)/2 sin( A-B)/ 2 2sin[a+(b-c)]/2 sin[a-(b-c)]/2=2sinb sinc sin2 A/2

let s,  2s=a+b+c, a+b-c=2(s-c), a-b+c= 2(s-b) sin (s -b) sin (s-c) = sin b sin c sin2 A/2 sinA/2 = SQRT {[sin (s-b) sin (s-c)]/(sin b sin c)} sinB/2 = SQRT {[ sin (s-c) sin (s-a)]/(sin c sin a) } sinC/2 = SQRT {[ sin (s-a) sin (s-b)]/(sin a sin b)} cos A = 2 cos 2 A/2 -1 이므로 cos A/2 = SQRT {[sin s sin (s - a)]/(sin b sin c)} tan A/2 = SQRT {[sin (s-b) sin (s-c)]/[sin s sin (s-a)] }

b. Sine-Formula : 공식 B cosine 공식에서 sin b sin c cos A = cos a - cos b cos c 를 제곱 sin2 b sin2 c cos2 A = cos2 a - 2 cos a cos b cos c + cos2 b cos2 c 좌변 : sin2 b sin2 c – sin2 b sin2 c sin2 A = 1-cos2 b - cos2 c + cos2 b cos2 c - sin2 b sin2 c sin2 A 따라서 1-cos2 a - cos2 b -cos2 c + 2 cos a cos b cos c = sin2 b sin2 c sin2 A Let X X2 sin2 a sin2 b sin2 c = 1 - cos2 a -cos2 b -cos2 c + 2 cos a cos b cos c sin2 A / sin2 a = X2 , X= +- sin A /sin a ( - ; 불가) 같은 방법으로 sin A/sin a = sin B/sin b = sin C/sin c

c. Analogue Formaula ; C 공식 cosine 공식에서 sin c sin a cos B = cos b - cos c cos a = cos b - cos c ( cos b cos c + sin b sin c cos A) = cos b sin2 c - sin b sin c cos c cos A sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A

증명 : △ ABC의 변 c < 90도 라면 AD = 90 –c, ∠CAD =180 - A, arc CD = χ △DAC 에서 : cos χ = cos (90 -c) cos b + sin (90 - c) sin b cos (180 -A) = sin c cos b - cos c sin b cos A △DBC에서 : cos χ = cos 90 cos a + sin 90 sin a cos B= sin a cos B 따라서 : sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A

d. Four Part Formula cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B = cos a ( cos b cos a + sin b sin a cos C) + sin a sin c cos B cos b sin2 a = cos a sin b sin a cos C + sin a sin c cos B cot b sin a = cos a cos C + (sin c/sin b) cos B ( sin c / sin b = sin C / sin B ) 따라서 cos a cos C = sin a cot b - sin C cot B cos(inner side)*cos(inner angle) = sin(inner side)*cot(other side)    - sin(inner angle)*cot(other angle)

E. Proofs of A, B. C Formulas QS // tangent to  AB,   QP // tangent to AC  각 PQS= A, 각 PRS=B , 각 COB= a, 각 COA=b, 각AOB=c

PS 는  AOB면에 수직 :   OQ수직PQ  & 수직 QS   ==> OQ수직 PQS면  같은 방법으로 OR수직PS ( OR 수직PR & 수직 RS ==> 수직 PSR면)  PS수직OQ  &  수직OR  ==> PS수직 AOB면 PS수직OS   & SQ & SR   ===> 삼각형 PQS & 삼각형PRS 직각 삼각형 1) 삼각형 OQP & 삼각형 ORP 에서 PQ = OPsin b, PR = OPsin a, OQ = OPcos b, OR = OP cos a ∠ SOQ = χ, ∠ROS = c- χ, OS = OQ sec χ = OR sec ( c - χ)  OR cos χ = OQ cos (c -χ) OP cos a cos χ = OP cos b cos (c-χ) cos a = cos b cos c + cos b sin c tan χ tan χ = QS/OQ = PQ cos A/OQ = (OP sin b /OP cos b) cos A = tan b cos A 따라서 cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A : A 공식

2) 삼각형 PQS & 삼각형 PRS에서 PS = PQ sin ∠ PQS = PQ sin A PS = PR sin ∠ PRS = PR sin B PQ sin A = PR sin B  OP sin b sin A = OP sin a sin B sin A /sin a = sin B /sin b : B 공식

C 공식 3) 삼각형 OSQ & 삼각형 OSR 에서 QS = OS sin χ, RS = OS sin (c -χ) RS sin χ = OS sin c cos χ sin χ - OS cos c sin χ sin χ =QS ( sin c cos χ - cos c sin χ RS = QS ( sin c cot χ - cos c) RS = PR cos B = OP sin a cos B QS = PQ cos A = OP sin b cos A OP sin a cos B = OP cos b sin c - OP sin b cos c cos A sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A

직각 삼각형(right angled) 과 사분(quadrantal) 삼각형 one of angles = 90 도 ==> 직각 삼각형     one of sides = 90도 ==> 사분 삼각형 1)  C = 90 도의 경우 : 직각 삼각형           c=90도의 사분 삼각형 sin( middle)=product of tangents of  adjacent sin(middle )=product of cosines of opposite         

천체의 좌표 측정 == 기본 위치 (기본목록 = Fundamental Catalog) 자오의 = 트랜시트(transit) 별의 자오선 통과 = transit =남중 = 정중 이 때의 자오의 환의 눈금=적위   이 때의 항성시 = 적경  항성시의 0시 = 춘분점의 자오선 통과 시각

천구의 극 결정 자오선 통과 = 상방정중(남중) 과 하방정중(남중) 자오선 통과 = 상방정중(남중)  과 하방정중(남중)    극의 고도 = 1/2(상방정중 고도 - 하방정중 고도) + 하방 정중고도 극의 도고 =관측자의 위도   

자오의의 동서 축이 잘못된 경우 북극 근처 별의 자오선 통과 6시간 전과 6시간 후의 관측에서 : 동일고도, 시야중심으로 부터 동일 거리  아닐 경우 자오의의 동서축의 방위각조절

숙제 1 주극성이 상방정중 고도가 51도 24초이고 하방정중 고도가 16도 12초로 관측 되었다. 이들은 대기 굴절과 기기오차를 보정한 값이다. 관측자의 위도는 얼마인가? 관측된 별의 적위는 얼마인가?

좌표계 1. 좌표계 1.1 지평좌표계=수평좌표계 = 알트-아즈므스(Altazimuth) 좌표계 수직권(Vertical circle) : 천장과 천체를 지나는 대원  시간권(Hour circle) : 남,북극을 지나는 대원 수평면 : 방위각( 북점기준으로 동쪽으로), 고도 Theodolight : 고도와 방위각을 재는 기기 천문박명(astronomical twillight) ;태양고도 -18도

1.1 지평좌표계

1.2 적도 좌표계 1.2 적도 좌표계 천구의 적도, 천구의 북극점, 남극 점:   천구의 적도, 천구의 북극점, 남극 점: 적경(천구의 적도에서 춘분점을 기준)=RA =a, 0시 ~24시  1시= 15도, 1분 = 15’=15각분, 1초 =15” =15 각분 적위=Dec = d (+90도 ~ -90도) 천구 자오선(celetial meridian) =자오선 =관측자의 천정을 지나 북, 남점을 지나는 대원으로 하늘을 동쪽 반, 서쪽 반으로 나눈다.  시간각 : 관측자의 자오선과 천체를 통과하는 시간권 사이의 각   (자오선 동쪽= 음, 자오선 서쪽=양)

적도좌표계변환 북반구

남반구 QZ=90 –f L에서 최고 고도 DX =d= 음, QX=90+d ZX=z QZX=A(방위각) ZQX=H(시간각)

적도 좌표계 구면 삼각형 PZX 주어진 위도, 천체의 적위와 시간각 H ==> 천체의 천장거리와 방위각?  적도 좌표계 구면 삼각형 PZX     주어진 위도, 천체의 적위와 시간각 H ==> 천체의 천장거리와 방위각?     cos ZX = cos PZ cos PX + sin PZ sin PX cos ZPX     cos z = sin f sin d + cos f cos d cos H     cos PX = cos PZ cos ZX + sin PZ sin ZX cos PZX     sin d = sin f cos z + cos f sin z cos A     주어진 위도, 천체의 천장거리와 방위각 ==> 천체의 적위와 시간각?      cos H = cos z sec f sec d - tan f tan d      sin d = sin f cos z + cos f sin z cos A

시간각과 항성시 적경 = g D = a g = 춘분점 R g = RD + g D 춘분점의 시간각 (= 항성시)    춘분점의 시간각 (= 항성시) = 천체의 시간각 + 천체의 적경     관측자의 위치   춘분점의 시간각 == local 항성시 춘분점의 시간각 = 0 시  항성시 = 0 시

1.3 황도 좌표계   황도면 : 황경(춘분점)= l, 황위= b  l  = g A   b = XA  e  = RM = KP

구면삼각형 삼각형 KPX에서 cos KX = cos PX cos KP + sin PX sin KP cos KPX      sin KX sin PKX = sin PX sin KPX      sin KX cos PKX = cox PX sin KP - sin PX cos KP cos KPX      sin b = sin  d cos e -cos d sin e sin a      cos b cos l = cos d cos a      cos b sin l = sin d sin e + cos d cos e sin a 같은 방법으로      sin d = sin b cos e + cos b sin e sin l      cos d cos a = cos b cos l      cos d sin a = -sin b sin e + cos b cos e sin l

별의 좌표와 지방항성시을 알고 관측자의 위도를 알 경우  시간각을 찾아 Cos(90-고도) =cos(90-위도)cos(90-적위) + sin(90-위도)sin(90-적위) cos시간각 sin(90-고도)/sin시간각=sin(90-적위)/sin방위각 Sin 고도=sin 위도 sin 적위 + cos 위도 cos적위 cos 시간각 Cos고도/sin 시간각=cos 적위/sin 방위각

1.4 은하 좌표계 은하 적도 =은하수의 중심선을 지나는 대원 , 은경(은하중심 사수별자리)=l, 은위 =b  은하 적도 =은하수의 중심선을 지나는 대원 , 은경(은하중심 사수별자리)=l, 은위 =b 1958 국제천문연맹 : 은하 극의 좌표(1950) : RA = 12h 49m = 192도 15분, DEC = +27도 24분 은하 중심의 좌표(1950) : RA = 17h 42m = 265도 36분, DEC = - 28도 55분  구면삼각형 P GP GC ==> 천구 북극의 은경 P lp = 123도 구면 삼각형 P GP S  ==> 천체의 적경, 적위 (a, d) 를 은하의 경도 위도 (l, b) 로

숙제 2. 위도가 37도인 관측자에 대한 천구의 실제 그림을 그리고 a. 적위 45와 시간각 -1시인 별, b. 적위 -15도, 시간각 +2시인 별의 위치를 나타내라. 별의 시간권, 지평선, 천구의 극, 천정들을 표시. 별a와 b의 고도와 방위각을 구하라 직녀성,베가 (적경=18시36분 적위= 38도 36분) 의 은하좌표와 황도좌표를 구하라