3대 작도 문제 자와 컴퍼스로 작도할 수 없는 도형

고대 그리스 연구의 성과 [원론]으로 통합된 자료의 발전 무한소, 극한, 합의 과정 등과 관련된 개념의 발전. 제논의 패러독스, 실진법 등 고등기하학의 발전 – 3대 작도문제를 풀기 위한 끊임없는 도전

3대 작도문제 주어진 정육면체 부피의 두 배를 가지는 정육면체 작도 각의 삼등분 주어진 원과 동일한 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 문제 19세기에 이르러 작도 불가능함이 밝혀짐

왜 눈금없는 자를 사용했을까? 그리스 시민들은 노동을 멸시하여 수학에서도 길이나 넓이를 재는 따위의 측량술, 계산술은 노예들이나 하는 천한 기술로 치부해 버렸다. 시민들의 ‘고상한’ 정신은 구체적으로 어떤 쓰임새가 있는 것이 아니라 지식 그 자체를 가만히 앉아서 탐구하는 일을 즐겼고 그러다 보니 제한된 조건 내에서 결과에 이르는 ‘멋있는’ 놀이에 가치를 두게 되었다. ‘증명’도 이런 정신에서 나온 것이며 도형을 작도할 때 눈금 없는 자를 사용해야 한다는 조건을 내세운 것도 이런 귀족적인 발상에서 나왔다.

옛날 컴퍼스는 접히는 컴퍼스라구? 작도에서 눈금없는 자와 컴퍼스만을 사용하는 이론적 근거는 유클리드의 <원론>에서 찾아볼 수 있다. 그 중 [공준3]은 작도에 사용했던 컴퍼스의 모양이 지금의 것과는 다르다는 것을 보여주는데 그 내용이 흥미롭다. [공준3〕임의의 한 점을 중심으로 하고 그 중심으로부터 그려진 유한 직선과 같은 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다. 어디에도 선분의 길이를 옮겨올 수 있다는 말은 없다. 즉 고대컴퍼스의 역할은 한 점을 중심으로 하고 컴퍼스의 한 다리가 종이로부터 떨어지면 접히게 되어 있었다. 이러한 이유에서 고대의 컴퍼스를 ‘접히는 컴퍼스’라 부른다.

유클리드 도구 자: 임의의 두 점을 지나는 일정하지 않은 길이의 직선을 그림 컴퍼스: 원을 그림. 거리를 옮기지 못함. 현대의 컴퍼스(원을 그림, 길이를 옮김)와 동치임(문제연구 4.1참고)

정육면체의 배적 고대 그리스 시인의 이야기에서 시작. 신화적인 왕 미노스가 그의 아들 글라우쿠스를 위해 세운 묘비의 크기에 불만스러워했다는 대사 데리안 문제: 넓이가 두 배인 정사각형 플라톤의 아카데미에서 연구 히포크라테스(BC 440): 다음 식에서 x 구하기 s:x=x:y=y:2s

에우토키우스(Eutochius)가 플라톤에 의한 것이라고 주장하는 방법    직각삼각형 CBA와 DAB는 각각 B와 A가 직각, 한 변 AB를 공통으로 갖는다. 2. 빗변 AC와 BD는 한 점 P에서 직교한다. 3. 닮은 삼각형 APB, BPA, APD로부터 PC : PB = PB : PA = PA : PD 4. PD=2(PC)가 되는 점 C와 D를 표시

유클리드적 도구를 써서 작도가능한 선분의 길이는 대수적이다. 유클리드적 도구를 써서 유리계수를 가지지만 유리근을 갖지 않는 3차방정식의 근은 작도할 수 없다.

각의 3등분 기울음(verging) 문제 EF=2(BA), G가 EF의 중점이면, EG = GF = GA = BA 이고, 따라서 ∠ABG = ∠AGB = ∠GAF + ∠GFA = 2∠GFA = 2∠GBC 이고 BEF는 각 ABC를 삼등분 -> 각의 삼등분 문제는 DA의 연장선과 AC 사이에 있으면서 길이가 2(BA)인 선분 EF를 작도하는 문제로 바뀜

토마호크

히피아스의 방법(기원전 425년경): 퀴드라트릭스                                                                                                                          그림 1            그림 2         그림 3           그림 4         그림 5

아르키메데스의 방법 그림과 같이 임의의 각 BAC를 만들고, 이 각의 밑변을 왼쪽으로 연장하여 A를 중심으로 임의의 반지름으로 원을 그린다. 그리하여 선분 DE의 길이가 반지름과 같아지는 위치를 자를 대고 직선 BD를 그으면 각 BAC의 의 크기에 해당하는 각 BDA를 작도할 수 있다.

아르키메데스의 나선 나선의 극방정식은 r=aθ이다. 중심이 O이고 반지름이 a인 원을 그리자. 그러면 두 직선 OA와 OP사이의 원호와 OP가 모두 aθ이므로 그들의 크기는 같다. 이때 선분 OP의 삼등분 점을 각각 R, Q라 하고 선분 OR과 OP를 반지름으로 하는 원을 그린다. 그러면 각각의 원과 나선이 만나게 되는 점이 생기는데 이 점들과 점O를 연결하면 각 BOA의 삼등분선이 그려지게 된다.

종이접기를 이용한 방법

3등분할 수 있는 각 모든 각을 3등분 할 수 없는 것은 아니다. 다음과 같은 단계에 의해서 3의 배수와 9의 배수의 각은 3등분 할 수 있다. 1) 60°가 작도 가능하므로 이등분하여 30°가 작도가능 2) 정오각형이 작도가 가능하므로 한 외각인 72°가 작도 가능하고, 이등분하여 36°가 작도 가능 3) 1)과 2)에 의해 60°와 30°가 작도 가능하므로 36°- 30°= 6°가 작도 가능 4) 6°가 작도 가능하므로 이등분하여 3°가 작도 가능 5) 따라서 3 °가 작도 가능하므로 3×3=9 °는 3등분이 가능 이때, 1°는 작도 가능하지 않다. 만약 1°가 가능하면 2°가 가능하고 3°, °가 작도 가능하다. 따라서 1°는 작도 가능하지 않다. 임의의 각을 3등분하는 문제는 자와 컴퍼스로 3등분할 수 없는 각이 존재한다는 것이다.

원적 아르키메데스의 나선 중심이 O이고 반지름이 a인 원을 그리자. 그러면 두 직선 OA와 OP사이의 원호와 OP가 모두 aθ이므로 그들의 크기는 같다. 만일 OP가 OA와 수직이 되면 OP는 이 원의 원주의 1/4 의 길이를 갖는다. 원의 면적 K는 그의 반경과 원주의 곱의 반이므로 K=(a/2)(4OP)=(2a)(OP) 가 된다. 따라서 원하는 정사각형의 한 변은 2a와 OP 혹은 원의 직경과 OA와 수직인 나선의 반경벡터의 길이의 비례중앙이 된다.

π의 역사 기원전 240년 경: 223/71과 22/7 사이에 있는 값. 고전적 방법 150년 경: 프톨레마이오스(알렉산드리아)의 [알마게스트]. 60진법으로 3 8’ 30’’ 480년 경: 조충지(중국). 355/113 530년 경: 아리아바타(인도) 62832/20000 1150년 경: 바스카라(인도). 3927/1250 1579년: 비에트. 소수 90자리까지 계산

1585년: 안소니준. 중국에서 나온 비 355/113 발견 1671년: 그레고리(스코틀랜드) 1719년: 그레고리 급수로 소수 112자리까지 정확히 계산 1767년: 람베르. 무리수임을 증명 1777년: 뒤퐁의 바늘문제 (p.109)