삼각형의 합동에 대한 증 명 2013. 6. 11 1조. 김필란, 신명화, 추청화

힐베르트 공리 , △합동 증명 1 결합 공리군 2 순서 공리군 3 합동 공리군 4 연속 공리군 5 평행공리군 힐베르트 공리 , △합동 증명 1 결합 공리군 2 순서 공리군 3 합동 공리군 4 연속 공리군 5 평행공리군 6 삼각형의 합동 정리

발표 내용 순서 힐베르트 ‘기하학 기초론’ 힐베르트 공리체계 삼각형 합동 증명

힐베르트의 기하학 유클리드 기하학 원론 공리는 논리적으로 불완전하다. 기하학에 대해 논리적으로 완전한 공리계는, 19세기 후반 힐베르트는 냉정한 추상적 관점에서 연역체계를 생각하는 메타수학으로 알려진 방법으로 제시되었다. 체계를 완전히 형식화한 것으로, 기호나 용어가 서로 어떤 방법으로 결합하여 정리를 만드는 지만 관심 가질 뿐, 그 기호, 용어의 의미가 무엇인지, 현실적 직관에 어울리는 내용을 표현하는지는 전혀 상관하지 않는 것이다. 힐베르트는 1899년 '기하학 기초론'에서 유클리드의 기하학의 불완전성을 보완하여 완전한 공리체계를 구성하였다. 힐베르트는 점, 직선, 평면을 무정의 용어로 하고, 그 개념 사이에 ‘위에 있다', ‘사이에 있다', '합동', '평행' 등 관계가 성립하는 것이라 하고, 그 관계를 다음 5개의 공리군으로 규정했다. 출 처 : 학교 수학에서의 작도와 합동에 관한 연구 – 황슬기, 동의대학교 2010 유클리드 기하학에서 삼각형의 합동조건의 도입 비교 – 강미광, 수학교육제49권

1 결합 공리 (incidence axioms) 두 점 A, B를 지나는 직선 a가 존재한다. 두 점 A, B를 지나는 직선 a가 오직 하나뿐이다. 하나의 직선 위에는 적어도 두 개의 서로 다른 점이 있다. 한 직선 위에 있지 않은 점이 적어도 세 개 있다. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있지 않으면, 이들 점을 지나는 평면 α가 존재한다. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있지 않으면, 이들 점을 지나는 평면 α는 오직 하나뿐이다. 직선 a 위의 서로 다른 두 점 A, B가 평면 α 위에 있으면, a 위의 모든 점은 α 위에 있다. 두 평면 α, β가 한 점 A를 공유하면 두 평면 α, β는 적어도 다른 한 점 B를 공유한다. 하나의 평면 위에 있지 않은 점이 적어도 네 개는 존재한다.

2 순서 공리 (axioms of order) >>>타원기하학이 분리됨 점 B가 두 점 A, C 사이에 있으면, A, B, C는 한 직선 위의 서로 다른 세 점이고, 이때 B는 A, C 사이에 있다. 이것을 기호로 A*B*C로 표기한다. A*B*C와 C*B*A는 동일한 의미이다. 두 점 A, C에 대하여 직선 AB 위에 한 점 B를 잡아서 C가 A, B 사이에 있도록 할 수 있다. 한 직선 위의 임의의 세 점 A, B, C에 대하여 A*B*C, B*C*A, C*A*B 중 하나만 성립한다. 점 A, B, C는 한 직선 위에 있지 않은 세 점이고, 직선 a는 평면 ABC 위에 있고, 점 A, B, C를 지나지 않는 직선이라 할 때, a가 선분 AB의 한 점을 지나면, a는 반드시 선분 AC의 한 점 또는 선분 BC의 한 점을 지난다.

3 합동 공리 (axioms of congruence) A, B가 직선 a 위 두 점이고 A’는 직선 a 또는 다른 직선 a' 위의 한 점 일 때, 직선 a 또는 직선 a' 위에 한 점 B'을 택하여 선분 AB와 선분 A'B’ 가 합동이 되게 할 수 있다. 2) A'B’ ≡AB , A''B''≡AB이면, A'B’ ≡ A''B‘’ 3) 선분 AB와 BC가 직선 a 위의 공유점이 B뿐인 두 선분이고 선분 A'B’와 B'C'도 직선 a 또는 다른 직선 a' 위의 공유점이 B‘ 하나인 두 선분이라 하자. 이때 AB=A'B', BC=B'C' 이면 언제나 AC=A'C' 이다. 4) 평면 α에서 각 ∠(h, k)와 평면 α에서 한 직선 a와, a와 정하는 쪽에서 h'을 직선 a 위의 점 O'에서 나온 반직선이라 하자. 이때 평면 α에 반직선 k'이 오직 하나 존재, ∠(h, k)≡∠(h', k') or ∠(h, k)=∠(h', k‘)이다. 동시에 각 ∠(h', k')의 모든 내점은 a의 주어진 쪽에 있다. 두 삼각형 ABC와 A'B'C'에 대하여 AB = A'B', AC = A'C', ∠BAC = ∠B'A'C'이면 => ∠ABC = ∠A'B'C' 이다.

4 평행선 공리 (axiom of parallels) 쌍곡 기하학이 분리됨 a를 임의의 직선이라 하고, A를 a 밖의 한 점이라 하면, a와 A가 정하는 평면 위에서 A를 지나고 a와 만나지 않는 직선은 오직 하나뿐. 5 연속성 공리 (axioms of continuity) 아르키메데스의 공리(또는 측도의 공리). 서로 다른 네 점 A, B, C, D가 있을 때, 직선 AB 위의 유한 개의 점 A1, A2, …, An을 다음 조건이 성립하도록 택할 수 있다:① CD = AA1 = A1A2 = … = An-1An,② B는 A와 An 사이에 있는 점이다. 직선의 완전성 공리. 직선 a 위의 점의 집합은 결합 공리의 1., 순서 공리의 2., 합동 공리의 1., 연속성 공리의 1.을 만족시키지만 이 집합을 더욱 확장하여 만들어진 집합은 이 공리를 만족시키도록 할 수 없다. <서로 동치> 유클리드의 평행공리 플레이페어의 평행공리 힐베르트의 평행공리 삼각형의 내각의 합은 180도 이다.

** 삼각형의 합동 정리 1. 삼각형의 SAS 합동정리 p∙f) 2. 삼각형의 ASA 합동정리 두 삼각형에 대해 AB=A’B’ AC=A’C’ ∠B=∠B’ △ABC =△A’B’C’ 이다. p∙f) by 합동공리5, ∠B=∠B , ∠C=∠C by 합동공리1, 선분BC 상에 BC=BD인 점D를 잡을 수 있다. by 합동공리5, ∠BAC=∠B’A’D 한편 ∠BAC=∠B’A’C’ , ∠BAC=∠B’A’D →점 D=점C’, BC≡B’C’ ∴ 세 변, 세 각이 같으므로 합동이다. 2. 삼각형의 ASA 합동정리 △ABC, △ABC에서 AB=A’B’ ∠A=∠A’ ∠B=∠B’ △ABC =△A’B’C’ p∙f) AC=A’C’임을 보이면, SAS 합동정리에 의해 두 △은 합동이다. A’C’위에 AC=A’D 되도록 D를 잡는다. AB=A’B’ AC=A’D ∠A=∠A’이므로 by 합동공리5, ∠B≡A’B’D이다. 한편 ∠B≡A’B’C’≡A’B’D By합동공리4, D ∈ 반직선AC D = 선분 A’C’ B’C’의 교점 ⇔ AC≡A’D= A’C’ By △의 SAS합동정리 ,△ABC =△A’B’C’

<보조정리> 선분 합동의 대칭 Z, Z’ 가 직선 XY의 서로 다른 반평면 위에 있는 점 일때 만약 XZ=XZ’ 이고 YZ=YZ’ 이면 ∠XYZ=∠XYZ’ 3. 삼각형의 SSS 합동정리 두 △ABC △A’B’C’ 에서 AB=A’B’, BC=B’C’, CA=C’A’ => △ABC =△A’B’C’ p∙f) by 선분합동의 대칭성, △SAS합동정리, ∠BAC≡∠B’A’C’임을 보이자 선분 A’C’양쪽에 ∠B’’A’C’ , ∠B’’’A’C’를 작도한다. 이때, 선분 A’C’에서 B’ 있는 쪽에 A’B’’=AB 되게 B’’를 잡고 그 반대쪽에 A’B’’’=AB 되게 B’’’를 잡으면 by SAS합동정리, △ABC ≡△A’B’’C’이고 △ABC ≡△A’B’’’C’ => BC=B’’C’이고 BC=B’’’C’ 한편 합동 공리 (추이성 공리)에 의해 A’B’ =A’B’’ B’C’=B’’C’ A’B’ =A’B’’’ B’C’=B’’’C’이다. 즉 △A’B’’C’와 A’B’C’ 그리고 △A’B’’’C’와 A’B’C’ 는 보조정리를 만족하므로 ⇒∠B’’A’C’ =∠B’A’C’ ∠B’’’A’C’=∠B’A’C’ By 합동공리4 (각의 작도의 유일성), 반직선A’B’’와 A’B’ 일치 ⇒ ∠B’’A’C’ ≡ ∠B’A’C’ 이다. ∴ 삼각형의 SAS합동에 의하여 △ABC ≡△A’B’C’

THANK YOU! 다음에 건강한 모습으로 만나요…^^