n각형의 무게중심

1. 탐구주제 선정의 이유

2. 탐구의 목적 오각형과 육각형의 무게중심을 찾는 방법을 알아본다. 구한 방법이 모든 다각형에 적용되는지 알아본다.

3. 이론적 배경 중선 : 한 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선분 ① 중선은 삼각형의 면적을 2등분한다. ② 3개의 중선은 무게중심이라고 하는 1점에서 만난다. 무게중심과 각 꼭짓점을 이은 세 선분(중선의 일부)은 삼각형의 면적을 3등분한다. 삼각형의 무게중심 : 삼각형의 무게중심은 항상 삼각형의 내부에 존재하며 무게중심의 위치는 한 각과 마주보는 대변의 중점을 연결한 세 중선의 교점을 무게중심이라 한다. 평면도형인 삼각형을 실제 모양으로 오려내고 무게중심에 실을 연결하면 정확하게 바닥면과 평행을 이루며 중선에 의해 나누어진 6개의 삼각형의 무게(넓이)는 동일하다. 또한 중선은 무게중심에 의해 꼭짓점으로 대변의 중점까지 2 : 1 로 내분된다.

아르키메데스의 지렛대의 원리 : 기원전 250년경, 그리스의 아르키메데스는 일찍이 지렛대의 반비례법칙을 발견하였다. 지레는 힘의 모멘트의 원리를 이용한 것이다. ‘힘의 모멘트’란 물체의 무게와 받침점에서 물체까지의 거리의 곱을 의미하는데, 지렛대가 수평이 되기 위해서는 받침점 양쪽의 힘의 모멘트가 같아야 한다. 따라서 받침점에서 가까운 곳에 있는 데에 큰 힘이 작용하더라도 받침점에서 더 먼 곳에 있는 데에 작은 힘을 작용시키면 지렛대는 수평을 유지할 수 있다. 그러므로 힘점에서 작은 힘을 들이고, 작용점에 보다 큰 힘을 내게 하기 위하여는 받침점을 되도록 작용점에 가까운 곳에 정하면 된다.

지레는 다음과 같은 관계가 성립할 때 평형이 된다. M ☓ a = n ☓ b M , m : 물체의 무게 a , b : 물체로부터 받침점까지의거리 n 받침점에서 물체가 놓인 곳까지의 거리보다 받침점에서 힘을 주는 곳까지의 거리가 길 때에는 물체를 작은 힘으로 들어 올릴 수 있는 대신 움직여야 할 거리는 길어진다. 반대로, 받침점에서 물체가 놓인 곳까지의 거리보다 받침점에서 힘을 주는 곳까지의 거리가 짧을 때에는 큰 힘을 주어야 물체를 들어 올릴 수 있는 대신 움직여야 할 거리는 짧아진다.

4. 탐구 과정 오각형을 10개의 삼각형으로 나눈 다음 각각의 무게중심을 찾는다. 그 무게중심을 서로 연결하여 사각형 찾을 때 처럼 교점을 찾으려고 하니까 교점이 없었다. 결국 이 방법은 실패를 하였다.

내분점 무게중심 3. 삼각형과 내분점이 있는 사각형의 넓이의 역수의 비만큼 내분점과 나머지 삼각형의 무게중심을 이은 선분을 나누어 무게중심(내분점)을 찍는다.

5. 탐구결과 사각형의 무게중심 찾는 방법1과 동일한 방법으로 오각형의 무게중심을 찾는 방법은 실패하였다. 오각형에서 총 무게중심을 10개 찾았지만 그 점들의 교점이 없었다. 오각형, 육각형의 무게중심 오각형은 3개, 육각형 4개의 삼각형으로 나누고 각각의 무게중심을 찾는다. 두 개의 무게중심을 연결하여 그 선분을 그 선분을 포함한 삼각형의 무게(넓이)의 역수의 비로 나눈 다음 내분점을 찍는다.그 내분점을 나머지 삼각형의 무게중심과 연결하고 그 선분을 위와 동일한 방법으로 나누어 내분점을 찍는다. 이 과정을 5각형은 3번 육각형은 4번 반복한다. 마지막 내분점이 무게중심이 된다.

6. 느낀점 처음에는 책에 있는 이론을 이해하는 과정이 복잡하고 어렵게 느껴졌지만, 직접 아크릴 판을 이용해 만들어보니 생각보다 이해하기 쉽고 재미있었다. 만드는 과정 중 아크릴 판을 자를 때 화학 약품 냄새도 나고 자르기도 힘들었지만 나중에 도형을 완성하고 나니 뿌듯하였다. 아크릴 판에 네임펜 그렸던 것을 아세톤으로 지웠었는데 아세톤 냄세가 엄청 독해서 조금 힘들었다. 무게중심을 찾은 후 실을 연결하는 대신 네임펜 위에다 올려놓았는데 예상했던 결과와 딱 맞아 떨어져서 자부심을 느낄 수 있었다.

7. 그 밖에 알게 된 점 여러 종류의 다각형의 무게중심을 찾다가 알게 된 점이다. n각형 x (n-3) = 총 무게중심의 개수 4 x 1 = 4 5 x 2 = 10 6 x 3 = 18 7 x 4 = 28 8 x 5 = 40 .

8. 참고문헌 배종수 외 7명(2001), 수학8-나, 한성교육연구소 이준열 외 4명(2001), 수학8-나, (주)도서출판 디딤돌 한인기 외 1명(2001), 한국수학교육학회지 수학교육논문집-삼각형 무게중심의 증명에 관한 다양한 접근 방법들 한인기(2001), 중등교육연구 제 13집-유추를 활용한 무게중심 탐구에 관한 연구 중국사천대학(1994), ‘올림피아드 수학의 지름길’(세화출판사) 권영한(1989), ‘재미있는 수학이야기’(전원문화사)

감사합니다^^