Structural Analysis 7th Edition in SI Units 안0 Chapter 12: 변위법 : 모멘트 분배법 Displacement Method of Analysis : Moment Distribution Structural Analysis 7th Edition in SI Units Russell C. Hibbeler

12.1 모멘트 분배법의 원리와 탄성 계수들의 정의 모멘트 분배법은 해(solution)의 수렴에 있어서 높 은 정확도를 갖는 일종의 근사 해법 이 방법은 구조물의 각 절점이 고정되었다고 가정 하는 것으로부터 시작하여, 순차적으로 각 절점을 잠그거나(locking) 풀어줌 (unlocking) 으로써 각 절점이 최종 위치로 회전할 때까지 각 절점에서 반복적으로 모멘트를 분배하 는 방법이다.

12.1 모멘트 분배법의 원리와 탄성 계수들의 정의 부재의 강성 계수(K) 절점의 강성 계수 부재들의 강성 계수의 합 (12-1) 그림 12-4(a)

12.1 모멘트 분배법의 원리와 탄성 계수들의 정의 분배 계수 작용 모멘트에 대한 저항 모멘트(분배 모멘트)의 비를 분배계수(DF : distribution factor) (12-2)

12.1 모멘트 분배법의 원리와 탄성 계수들의 정의 부재의 상대 강성 계수 식 (12-1)의 분자 4E는 동일 재료를 사용한다면 소거될 수 있기 때문에, 탄성 계수가 소거된 강성 계수를 부재의 상대 강성 계수(member relative-stiffness factor), KR (12-3)

12.1 모멘트 분배법의 원리와 탄성 계수들의 정의 전달 계수 위 두 식에서 A를 소거하고 정리하면 이는 고정 지점의 부재단 모멘트(M’)가 핀 지점의 모멘트(M)의 ½이라는 것 따라서 양단이 핀 지점과 고정 지점으로 이루어진 보의 경우 전달 계수는 + ½ 이다.

12.1 모멘트 분배법의 원리와 탄성 계수들의 정의 전달 계수 여기서 양의 부호는 두 모멘트 모두 같은 방향으로 작용한다는 것을 의미한다.

12.2 보에서의 모멘트 분배법 그림과 같은 보에서 그림 12-5(a)

12.2 보에서의 모멘트 분배법 모멘트를 분배하기 전에 우선 각 부재의 강성 계수 를 먼저 계산하고 이를 근거로 분배 계수를 결정해 야 한다.

12.2 보에서의 모멘트 분배법 다음은 고정단 모멘트를 구해야 한다. 그림 12-5(a)

12.2 보에서의 모멘트 분배법 절점 B가 고정되거나 잠겨 있다는 가정에서부터 시작한다. 절점 B의 고정단 모멘트는 부재 BC를 고정 또는 잠금 상태로 유지시켜 주지만 절점 B에 고정단 모멘트와 반대 방향으로 작용 모 멘트 8000 N · m(시계 방향)를 가해서 그 절점에 서의 평형 상태를 맞춰 주어야 한다.

12.2 보에서의 모멘트 분배법 이 작용 모멘트는 분배 계수에 따라 부재 BC와 BA에서 분배 모멘트로 전환될 것이다. BC부재의 분배 모멘트는 0.6(8000) = 4800 N · m AB부재의 분배 모멘트는 0.4(8000) = 3200 N · m 부재들의 전달 계수에 따라 이 분배 모멘트를 지점 A와 C에 전달해야 한다.

12.2 보에서의 모멘트 분배법 핀 지점에서 고정 지점으로의 전달 계수는 +1/2 이다. 분배 절차를 표로 만들어 보았다. 기호 Dist와 CO는 각각 모멘트를 분배하고 전달하 는 것을 나타낸다. 이 예제는 한 번의 모멘트 분배(또는 전달) 절차만 을 보여주고 있는데, 절점 A와 C가 고정 지점으로서 전달 모멘트를 흡 수하여 더 이상 타 절점으로의 모멘트 전달을 하지 않기 때문이다.

12.2 보에서의 모멘트 분배법 그림 12-5(e) 그림 12-5(f )

12.2 보에서의 모멘트 분배법 이 예제는 첫 번째 예제의 절점 C가 로커(또는 핀) 지점으로 변경된 경우이다. 그림 12-6(b)의 표에는 총 6단계의 모멘트 분배 절차가 나타나 있다. 충 여섯 단계의 모멘트 분배 절차를 마친 후 모멘트를 합하면 그림의 15번째 줄의 ΣM이 된다. 고정 지점인 A에는 반력 모멘트가 발생하고 있고, 절점 B에서는 모멘트의 평형이 만족되고 있다. 절점 C는 로커 지점이므로 모멘트가 “0”이 됨을 알 수 있다.

12.2 보에서의 모멘트 분배법 그림 12-6(a ) 그림 12-6(b)

#예제 12.1 그림 12-7(a)에 나타난 보의 각 부재단 모멘트를 구하라. EI는 일정하다. 그림 12-7(a)

풀이 먼저 각 절점에서 분배 계수를 구해야 한다. 따라서 각 절점의 분배 계수는 다음과 같다.

풀이 고정단 모멘트는 다음과 같이 계산된다.

풀이 그림 (b)와 같이 4번째 줄의 고정단 모멘트를 시작으로 절점 B와 C의 모멘트는 동시에 분배된다. 각 부재의 단부에 동시에 전달된다. 전달된 모멘트는 다시 분배되어 전달된다. 각 부재단의 모멘트들을 합하면 최종 모멘트가 구해진다. 최종 부재단 모멘트를 각 부재의 자유 물체도에 적용한 후 평형 방정식을 이용하면 (c)와 같은 결과를 얻을 수 있다. 이를 이용하여 주어진 보의 모멘트 선도를 그리면 (d)와 같다.

풀이 그림 12-7(b) 그림 12-7(d) 그림 12-7(c)

예제 12.2 그림 12-8(a)에 나타난 보의 각 부재단 모멘트를 구하라. 각 부재의 단면 2차 모멘트는 그림에 명시되어 있다. 그림 12-8(a)

풀이 내민보 AB의 모멘트를 분배할 수 없기 때문에 분배 계수는 “0” 이다. 스팬 BC의 강성 계수는 4EI/L이다.

풀이

풀이 내민보로인해 절점 B의 좌측 모멘트(MBA)는 +4000 N · m 이다. 지점 B에서는 균형을 맞추기 위해서 이 조건을 만족시키기 위해서 BC에 -2000 N · m를 표 5줄에 가하였다. 분배와 전달되는 과정은 일반적이다. 모멘트가 결정된다면 그림 12-8(c)에서 보는 바와 같이 모멘트 선도를 그릴 수 있다.

풀이 그림 12-8(c) 그림 12-8(b)

12.3 수정 강성 계수 앞의 예제들에서 모멘트를 분배하거나 전달할 때 각 지간(또는 부재)은 원단이 고정 지점으로 구속 되었다고 생각하고 그림 12-9와 같이 강성 계수, 분배 계수 그리고 전달 계수를 계산했다. 그런데 어떤 경우에는 보의 강성 계수를 수정 (stiffness-factor modification)함으로 인해 모멘트의 분배 절차를 간략화 할 수 있다.

12.3 수정 강성 계수 원단이 핀 연결된 부재 작용 모멘트 M은 절점 A를 만큼 회전시키게 된다. 를 계산하기 위해 (b)에 나타낸 공액보의 A’점의 전단력을 다음과 같이 구한다. 그림 12-10

12.3 수정 강성 계수 원단이 핀 연결된 부재 이 보의 강성 계수(수정 강성 계수)는 절점 B는 핀 지점으로 모멘트를 지지할 수 없기 때문에 전달 계수는 “0” 원단이 고정 지점이 아닌 핀 지점(또는 롤러 지점)인 경우네는 K=4EI/L에 3/4를 곱해야 할 것이다. (12-4)

12.3 수정 강성 계수 대칭 하중을 받는 대칭 보 어떤 보의 하중과 기하학적 형상이 모두 대칭이라 면, 절점 B와 C의 모멘트는 같다. 이 모멘트를 M이라 정의하고 지간 BC부분을 공액보로 전환 하면 그림 12-11(a) 그림 12-11(b)

12.3 수정 강성 계수 대칭 하중을 받는 대칭 보 이때의 모멘트 분배는 보의 반쪽만을 고려하면 된다.

12.3 수정 강성 계수 역대칭 하중을 받는 대칭 보 그림과 같은 보에서 (a)의 실제보와 (b)의 공액보를 고려해보자. 반대의 하중(역대칭 하중)으로 인해 절점 B와 C에 발생하는 모멘트의 크기는 같고 방향은 서로 반대이 다. 그림 12-12(a) 그림 12-12(b)

12.3 수정 강성 계수 역대칭 하중을 받는 대칭 보 이 모멘트를 M으로 정의하고 기울기 를 구하면 (12-6)

#예제 12.3 그림 12-13(a)에 나와 있는 보의 부재단 모멘트를 구하라. EI는 일정하다. 그림 12-13(a)

풀이 보의 형상과 하중은 대칭이다. 그림 12-13(b)

예제 12.4 그림 12-14(a)에 나와 있는 보의 부재단 모멘트를 구하라. 각 부재의 단면 2차 모멘트는 그림에 나와 있다. 그림 12-14(a)

풀이 절점 C가 롤러로 지지되어 있으므로 부재 BC의 강성 계수는 식 K = 3EI/L 을 이용하여 계산할 수 있 다.

풀이

풀이 계산된 값들을 이용하여 최종적인 부재단 모멘트를 계산하는 절차 가 정리되어 있다. 비교하면, 이 방법이 훨씬 간단하게 해에 수렴. 보의 자유 물체도와 모멘트 선도. 그림 12-14(c) 그림 12-14(b)

12.4 가로흔들이가 없는 부정정 프레임 가로흔들이(sidesway)가 없는 부정정 프레임의 모멘트 분배법을 이용한 해석 절차는 부정정 보의 경우와 같다.

예제 12.5 그림 12-15(a)에 나와 있는 프레임의 부재단 모멘트를 구하라. 절점E와 D는 핀 지점이고 절점 A는 고정 지점이다. EI는 일정하다. 그림 12-15(a)

풀이 절점 E의 핀 지점은 프레임의 횡변위(또는 가로흔들이)를 구속한 다. 부재 CD와 CE의 수정 강성 계수는 K = 3EI/L을 사용하여 구할 수 있다. 60kN의 외부 하중은 절점 하중으로 작용하므로 고정단 모멘트를 계산할 때 고려하지 않는다.

풀이

풀이 이 값들은 그림 12-15(b)에 나타나 있다. 모멘트의 분배와 전단을 절점 B와 C에서 동시에 진행된다. 구해진 최종 모멘트를 사용하여 프레임의 모멘트 선도를 작도하 면 그림 12-15(b) 그림 12-15

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 모멘트 분배법을 사용하여 가로 흔들이가 있는 경 우 절점의 처짐과 모멘트를 구하기위해 중첩의 원 리를 이용해보자 C점을 핀 지점으로 변환하고, 모멘트 분배법과 힘 의 평형 방정식을 사용하여 C점의 구속력(반력) R을 계산한다. 구속력과 크기는 같고 방향이 반대인 힘 R을 프레 임에 작용한 후,

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 모멘트 분배법을 이용하여 프레임의 모멘트를 계 산한다. 그림 12-16

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 다층 프레임 층에 따라 몇 개의 독립적인 절점 변위를 가지고 있기 때문에 모멘트를 분배할 때 많은 계산 과정을 요구한다.

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 다층 프레임 구조물은 1층의 횡변위 Δ1이 2층의 횡변위 Δ2와 독 립적이므로 2개의 독립적인 절점 변위를 가지고 있 다. 그림 12-17

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 다층 프레임 초기에는 이 변위들을 알 수 없기 때문에 중첩의 원리를 이용하여 해석 R1 과R2 가 구속되어 있을 때 고정단 모멘트를 결정하고 분배한 후, 평형 방정식을 사용하여 R1 과 R2 의 값을 구한다.

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 다층 프레임 1층의 가상의 구속 절점을 제거하고 Δ’의 변위가 생 기도록 힘 R’1을 작용 이 변위는 프레임에 고정단 모멘트를 발생시키므로 이 고정단 모멘트를 분배하고 평형 방정식을 적용하 면 R1’ 과 R2’ 을 구할 수 있다.

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 다층 프레임 비슷한 방법으로 R1” 과 R2” 의 값을 구할 수 있다. (b)의 반력 R1 과 R2 는 그림 12-17(c)와 12-17(b) 의 반력의 합으로서 다음과 같이 표현된다.

12.5 가로흔들이가 있는 부정정 프레임 다층 프레임 이 방정식을 연립하여 풀면 수정 계수 C’ 와 C” 을 얻을 수 있고 이 수정 계수를 그림 12-17(c)와 12-17(d)에서 계 산된 절점 모멘트(부재단 모멘트)에 곱한다. 이 수정된 모멘트와 (b)의 프레임에서 얻어진 모멘 트를 합하면 최종적인 부재단 모멘트를 구할 수 있 다.

예제 12.6 그림 12-18(a)에 나와 있는 프레임의 각 부재단 모멘트를 구하 라. EI는 일정하다. 그림 12-16(a)

풀이 그림 12-18(b)와 같이 횡변위(가로흔들이)가 없는 프레임을 고려 각 부재의 강성 계수는 4EI/L 또는 I/L(상대 강성 계수)로 계산된 다. 그림 12-16(b)

풀이 분배 계수(DF)와 모멘트의 분배 절차는 그림 (d)에 나타나 있다. 기둥의 자유 물체도에 평형 방정식을 적용하면 Ax와 Dx를 구할 수 있다. 이 값들과 반력에 대한 수평 방향(x 방향)의 평형 조건을 적용하면 그림 (b)에 보인 반력R을 다음과 같이 구할 수 있다. 그림 12-16(d), (e)

풀이 이제는 크기가 같고 방향이 반대인 R=9.02kN인 힘을 C점에 작 용시켜 부재단 모멘트를 구해야 한다. 횡방향 변위 Δ’을 유발하는 힘 R’를 가정하여 C점에 작용시켜 보 자. 절점 B와 C는 일시적으로 회전이 구속되기 때문에 고정단 모멘 트를 발생시킨다. 그림 12-16(c) 그림 12-16(f )

풀이 부재 AB와 DC는 동일한 E, I, L을 가지고 있기 때문에 부재 AB와 DC의 고정단 모멘트는 같아진다. (f)와 같이 임의로 고정단 모멘트를 가정하면 고정단 모멘트에 대한 모멘트 분배는 (g)와 같다. 그림 12-16(g)

풀이 평형조건으로부터 A, D의 수평반력을 (h)와 같이 구할 수 있다. R’=56kN 은 결국 (g)에서 계산된 부재단 모멘트(ΣM)를 유발한 다는 것을 의미 R = 0.92kN 에 의한 부재단 모멘트는 R’=56kN 에 의한 값을 비례적으로 이용하여 구할 수 있다. 그림 12-16(h)

#예제 12.7 그림 12-19(a)에 나타난 프레임의 각 부재단 모멘트를 구하라. 각 부재의 단면 2차 모멘트는 그림에 표시되어 있다. 그림 12-19(a)

풀이 그림 12-19(b)처럼 횡방향 변위가 구속된 경우를 고려해보자. 그림 12-19

풀이 D점이 핀 지점이 때문에 부재 CD의 강성 계수는 3EI/L이다. 이 값 들과 반력 R에 대한 수평 방향의 힘의 평형 조건을 고려하면 반력 R을 다음과 같이 구한다. 그림 12-19

풀이 그림 12-16(g)

풀이 고정단 모멘트가 결정되었기 때문에 모멘트의 분배와 전달 절차를 거치면 부재단 모멘트를 그림 12-19(g)와 같이 구할 수 있다. 그림 12-19(h)

#예제 12.8 그림 12-20(a)에 나타난 프레임의 각 부재단 모멘트를 구하라. EI는 일정하다. 그림 12-20 (a)

풀이 그림 12-20(b)처럼 횡변위는 힘 R에 의해 구속되어 있다. 그림 12-20

풀이 절점 A와D가 핀 지점이므로 부재 AB와DC의 강성 계수는 3EI/L를 사용하여 구한다. 그림 12-20

풀이 R에 의한 모멘트를 구하기 위해 먼저 그림 12-20(f)와 같이 가정된 힘R’ 을 프레임의 C점에 가하고 프레임의 형상이 대칭이므로 변위 BB’=CC’ =△’이고, 이 변위로 인해 부재 BC는 회전하게 된다.프레임의 각 부재단 은 부재들을 회전시키려고 하는 변위를 유발 하므로, 이때 적용되는 고 정단 모멘트는 책의 식을 이용한다. 그림 12-20(f)

풀이 (FEM)BA=(FEM)CD=-100kN·m로 가정하여 △’계산한다. 그림 12-20