건축 속의 수학 10235 주현우, 10311 문치훈, 10317 안원의, 10324 임도안, 10429 조정훈, 11021 오승주

목차 탐구 동기 및 목적 탐구 속 수학적 원리 탐구 내용 탐구 활동 사진 작품 탐구 결과 느낀점 출처

탐구 동기 및 목적 요즘 컴퓨터를 이용한 학습으로 많은 학생들이 컴퍼스나 자를 이용한 기본적인 작도 능력이 떨어지고 있다는 지적이 있다. 이를 보완하기 위해 건축이라는 소재로 다가가고 싶었다. 이러한 동기를 가지고 모인 조원들과 함께 탐구하고 발표하고, 우리만의 작품을 만들며 수학 능력과 더불어 협동심까지도 기를 수 있다. 조원 중 한 조원이 아버지의 건축 사업을 보고 건축에 대해 흥미를 느껴 이러한 주제로 해서 그 흥미를 성장시켜 줄 수 있다. 건축, 공학 쪽을 꿈꾸며 수학을 사랑하는 조원들을 위해 그들을 융합한 ‘건축 속의 수학’이라는 주제로 하여금 융합 자율 탐구를 할 수 있다.

탐구 속 수학적 원리 테셀레이션 삼각함수 싸이클로이드 라인디자인 황금비

테셀레이션 테셀레이션은 네덜란드 미술가 에스허르에 의하여 예술의 한 분야로 인정받게 되었다. 그는 반복되는 기하학적 패턴을 이용하여 평행이동과 대칭이동의 아름다움을 느낄 수 있는 테셀레이션 작품을 많이 남겼다. 그 중 대표적인 작품은 “도마뱀”이다.

에스허르의 대표 작품

테셀레이션-정칙 테셀레이션 정의 : 하나의 정다각형으로만 이루어진 테셀레이션, regular tesselation이라고 한다. 정칙 테셀레이션은 평면에서 3가지만이 존재한다. (3,3,3,3,3,3) (4,4,4,4) (6,6,6)

<주현우> 정칙 테셀레이션이 3가지 밖에 존재하지 않음을 증명한 것이다 <주현우> 정칙 테셀레이션이 3가지 밖에 존재하지 않음을 증명한 것이다. 요약하자면 360의 약수 중 정다각형의 한 내각의 크기가 될 수 있는 것이 60, 90, 120인데 이는 각각 정삼각형, 정사각형, 정육각형의 한 내각의 크기이므로 이렇게 3가지 밖에 존재하지 않는다는 증명 방식이다.

테셀레이션-반정칙 테셀레이션 서로 다른 정다각형이 같은 배열로 이루어진 테셀레이션, semiregular tessellation이라고 한다. 반정칙 테셀레이션은 평면에서 8가지만이 존재한다.

오른쪽 위부터 차례대로 (3,12,12), (4,6,12), (4,8,8), (3,6,3), (3,4,6,4), (4,3,3,4,3), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4) 이렇게 총 8가지의 반정칙 테셀레이션이 존재한다.

테셀레이션-준반정칙 테셀레이션 서로 다른 정다각형이 2가지 이상의 배열로 이루어진 테셀레이션, demiregular tessellation이라고 한다. 준반정칙 테셀레이션은 무한히 많은 수로 존재한다.

테셀레이션-비주기적 테셀레이션 어떠한 평행이동에 대해서도 주어진 테셀레이션과 일치하지 않는 테셀레이션, aperiodic tiling이라고 한다. 이의 대표적인 예로는 영국의 수학자 Roger Penrose가 고안한 펜로즈 타일링이 있다. 이는 결정(crystal) 구조를 연구하는 등 여러 분야에서 중요하게 사용된다. <펜로즈 타일링>

테셀레이션의 활용 스페인 아함브라 궁전에는 같은 문양의 도형들이 반복해서 평면을 가득 덮고 있는 것을 알 수 있다. 루브르 박물관의 입장료를 판매하는 유리 피라미드는 마름모꼴의 도형이 반복되면서 평면을 가득 덮고 있다.

삼각함수 정의 : 좌표평면에서 x축과 원점과 (x,y)를 잇는 선분이 이루는 각에 대한 삼각함수를 표현하는 식이다. 건축구조분야에선 삼각함수가 주로 힘의 크기를 구하는데 사용된다. 각각의 부재가 직각인 경우는 상관없지만 일정한 각도를 가지고 있을 경우 힘의 크기를 제대로 알 수 없으므로 삼각함수를 이용한다.

삼각함수-다리 먼저 삼각함수는 아치형 다리에서의 포물선 모양 즉, 다리의 현수선에 이용된다. 이유는 삼각함수의 포물선 모양이 가장 안정적이기 때문이다. 현수선은 엄밀히 하이퍼 코사인함수의 모양이다. 또한 삼각함수는 비파괴검사에도 사용된다. 비파괴 검사는 다리나 레일 등을 깨뜨리지 않고 검사하는 검사법이다.

삼각함수-피사의 사탑 삼각함수로 피사의 사탑의 기울기를 구할 수 있다. 일단 피사의 사탑의 높이는 55.8m이다. 그리고 탑 꼭대기의 수직선에서 5m 떨어져있다.

삼각함수-피사의 사탑 그러면 여기서 선분 AB의 길이가 5m이고, 선분 CA의 길이가 55.8m인 직각삼각형으로 생각할 수 있는데 이 삼각형에서 tanB값을 구하면 11.16이 된다. 그러면 B각의 크기가 84~85가 되고 기울기가 4~5가 된다.

삼각함수-석굴암 우리나라에서의 삼각함수의 예로는 석굴암이 있다. 석굴암의 뒤쪽의 벽은 sin12의 그래프를 띄는 돔 구조이다. 이는 신라시대에 건축되었다는 점에서 우리 선조들의 수학적 지식을 엿볼 수 있다.