수학에서는 간단한 수학적인 사실이나 기 능이 이후에 연결되는 이해와 문제 해결에서 매우 중요한 역할을 하게 된다. 다음과 같은 문제해결을 해 보자. 3 지식의 지도

 ‘ 어떤수를 제곱해야 할 것을 잘못해서 2 배 하였더니, 제곱한 것보다 15 작게 되었 다고 한다. 원래의 수를 구하여라. ’ (x-5)(×+3) = 0 의 계산  제곱의 뜻, 작다의 뜻 위의 지식이나 기능을 알게 될 때 비로소 미지 수 X 를 잡고 X 2 -2X = 15, (X-5)(X+3) = 0 ∴ X=5 or X = -3 과 같이 해결할 수 있다.

수학적적인 사실 : 2×3= 6, △ ABC 의 넓이는 1/2×( 밑변의 넓이 )×( 높이 ), 22/7 는 π 의 근사값 기능 : 두 자리 수의 곱셈, 근사값에서 유효숫자 표기법, 주어 진 분수를 약분하기, 미분 ∙ 적분 등 현행 중등학교에서 사용하고 있는 교과서를 분석해 보면 많은 내용이 이 영역에 속한다는 사실을 알 수 있 다. 기능과 지식영역의 계획을 어떻게 세울 것인가 를 먼저 이야기하고 지도의 실제를 논한다.

(1) 지식과 기능영역의 분류  수학교사들에게 요구되는 어려운 일 하나는 교과서에서 지식과 기능을 구분하는 일이다. 즉교사의 입장에서 교과서의 어느 부분을 지 식이나 기능으로 분류하며 가르칠 것인가이다.  이러한 결정은 어떤 뚜렷한 조건에 의하여 근 거해야 한다는 것이 아니고, 교사의 주관적 입 장에서 구분해야 한다는 것이 더욱 문제를 어 렵게 만든다.

 교사 A 수학의 거의 모든 영역은 지식과 기능으로 구 성되었다고 본다. 그래서 그는 수학시간에 학 생들이 교과서 내용을 암기하기를 바란다. 따 라서 시험은 전적으로 얼마나 암기를 잘 하고 많이 해서 정직하게 기록하느냐를 평가한다. 그래서 근의 공식을 잘 기억해서 쓴 사람은 점 수를 잘 받고, 근의 공식을 잘 기억하지 못해서 틀리게 쓴 사람은 점수를 잘 받지 못한다.

 B 교사 원리와 과정을 중요시한다. 그래서 간단한 수 학내용, 예를 들어 ‘ <, = ’ 의 뜻, 2+3=5, π ≃ 3.14 등과 같은 사실을 제외하고는 과정을 중 시한다. 어떤 정리나 공식에 대하여 반드시 유 도과정을 강조하고 왜 그러는지를 항상 강조 한다. 다른 평가에서도 교사 B 는 독특하다. 교 사 B 는 언제나 개방된 시험 (open book) 으로 대처한다.

 두 교사의 지도 방법에는 학습에서 결과 (product) 를 중시할 것인가, 과정 (precess) 을 중시할 것인가를 보여 주고 있다. 대부분 교사 들은 이 두가지 지도방법의 사이에 속할 것이 다. A 교사와 같이 수학의 거의 모든 영역을 지 식이나 기능 수준으로 생각하여 지도하는 것 은 문제가 있다고 생각이 든 것이다. 교과서의 어느 부분을 지식과 기능으로 분리할 것인가 는 교사의 결정 문제이다.

지식과 기능의 분리 ① 이 수학적인 사실 ( 내용 ) 은 단순한 ( 또는 특정한 ) 사실의 기억을 강조하는 부분인 가 ? ② 이 수학적인 사실 ( 내용 ) 은 그 과정 유도 가 꼭 필요하다고 보는가 ? ③ 유도하는 시간이 오래 걸린다고 보는가 ? ④ 이 수학적인 사실 ( 내용 ) 은 다른 내용에 어떻게 사용되는가 ?

지식을 목표 진술할 때는 ‘ 학생은 ~ 을 알 야야 한다 ’ 와 같이 나타낼 수 있다. ①학생들은 3.14 가 π 의 값을 소수 둘째자 리까지 계산한 근사값임을 알수 있다. ②학생들은 어떤 실수 x 와 자연수 n 에 대 하여 x 은 x 를 n 번 곱한 결과이고, 이때 n 은 x 의 지수임을 알수가 있다.

기능을 목표 진술할 때는 지식과는 약간 다른 형태가 된다. 기능은 어떤 일정한 지도기간이 끝나면 학생들은 할 수 있어야 한다 (be able to), 즉 행동 (action) 을 강조한다 ①학생들은 직교평면좌표에서 몇 개의 순서쌍을 나타낼 수 있다. ②학생들은 정수의 집합 범위에서 이차식을 인 수분해할 수 있다. ③학생들은 직각삼각형의 어느 두 변이 주어져 있을 때 다른 한 변의 길이를 계산할 수 있다

 가 ) 대수 영역 지수 학생들은 ∈는 ‘ ~ 의 원소이다 ’ 를 나 타내는 기호이고, ∉는 ‘ ~ 원소가 아니다 ’ 를 나타내는 기호임을 알 수 있다. 기능 학생들은 주어진 이차함수를 보고 대응표를 만들어 그래프를 그릴 수 있다.

나 ) 기하 영역 지식 학생들은 평면에서 두 개의 직선 m 과 n 이 평행할 때 필요 충분조건은 m ⋂ n= ∅임을 알 수 있다. 기능 학생들은 주어진 이차함수를 보고 대응표를 만들어 그래프를 그릴수 있다.

(2) 지식과 기능의 지도  지식과 기능의 지도에서 가장 큰 특징은 학생들은 자동적으로 지식과 기능에 대 한 내용을 진술한다거나 제시할 수 있어 야 한다. 즉, 빠르고 정확하게 제시해야 한다. 지식내용은 반복, 부분학습, 기억 법을 이용하여 도입, 실증, 연습단계로 진행이다.

 가 ) 도 입 도입에서는 교사가 목표를 명확하게 제 시하는 단계이다. 즉 수업의 핵심이 어떤 것이며 수업의 효과 ( 응용 ) 는 무엇이 될 것이다 하는 교사의 명확한 진술이다. 주 의할 점은 동기유발이 일어나도록 항상 준비해야 한다

나 ) 실증 교사는 목표제시 후 칠판에 직접 알고리 즘을 모범답안으로 제시한다. 이 때는 전 체과정을 실증해 주고, 부분부분을 강조 해서 계산해 준다. 학생들이 선수학습내용을 알고 있는가를 점검해야 하며 유사절차 (analogy) 를 이 용하는 것도 바람직하다.

 다 ) 검증 및 연습 알고리즘의 각 단계의 성립 이유를 제시 하는 일이다. a/b÷d/c = a/b × 1/(d/c), 나누기의 정의 a/b × 1/(d/c) =, 유리수 곱셈 정의 =, 유리수 성질 (0 은 제외 ) = a/b × c/d ∴ a/b÷d/c = a/b × c/d,

교사는 연습과정으로 학생들을 유도하는 데 연습을 반복시키며 알고리즘 절차는 기억하도록 강조한다. 연습의 효과는 매 우 중요한 것이어서, 교사가 어떤 연습을 어떤 방법으로 주느냐에 따라 그 결과가 결정된다