Ⅵ. 도형의 기초 1. 기 본 도 형 2. 작도와 합동

점, 선, 면 선분 : 두 점을 곧게 이은 선 2. 직선 : 선분을 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선 3. 예각 : 0도 보다 크고 90도 보다 작은 각 4. 직각 : 90도인 각 5. 둔각 : 90도 보다 크고 180도 보다 작은 각 6. 수직 : 서로 만나는 두 직선이 90도를 이룰 때 7. 평행 : 한 평면에서 두 직선이 만나지 않을 때

3. 평면도형은 선으로, 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다. - 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선 점, 선, 면, 각 1. 점이 움직인 자리는 선이 된다. 2. 선이 움직인 자리는 면이 된다. 3. 평면도형은 선으로, 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다. - 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선 - 교점 : 두 선 또는 선과 면이 만나서 생긴 점 교선 교점

주사위에서 다음 물음에 답하여라. 교점의 개수는? 2. 교선의 개수는?

A B A B A B 직선AB 반직선AB 선분AB 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 몇 개인가? 오직 하나 뿐이다. 2. 직선, 반직선, 선분 A B A B A B 직선AB 반직선AB 선분AB 의 길이 3.두 점 A, B 사이의 거리 :

선분 AB의 중점 선분 AB 위의 한가운데 점을 선분 AB의 중점이라 함. A B M

B a O A ∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a  한 점 O에서 그은 두 반직선 OA와 OB로이루어지는 도형 각 이란?  한 점 O에서 그은 두 반직선 OA와 OB로이루어지는 도형 O A B a 점 O를 각의 꼭지점 반직선 OA, OB를 각의 변이라 한다. < 기 호 > ∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a

예각 : 0도 보다 크고, 90도 보다 작은 각 직각 : 90도인 각 (∠R) 각의 분류 예각 : 0도 보다 크고, 90도 보다 작은 각 직각 : 90도인 각 (∠R) 둔각 : 90도 보다 크고 180도 보다 작은 각 평각 : 180도인 각

수직 수직 : 두 직선 l 과 m이 직교할 때, l , m은 서로 수직 이라 하며 직선 l 을 직선 m의 수선이라 한다. m  교각 : 두 직선이 만나서 생기는 각  직교 : 교각이 직각일 때, 기호 : l ⊥ m 수직 : 두 직선 l 과 m이 직교할 때, l , m은 서로 수직 이라 하며 직선 l 을 직선 m의 수선이라 한다. m l

맞꼭지각 두 직선이 만나서 생기는 네 각 중에서 서로 마주 보는 각 d ∠a = ∠c ∠b = ∠d c a b 맞꼭지각의 크기는 서로 같다 d ∠a = ∠c ∠b = ∠d c a b

< 평면에서 두 직선의 위치 관계 > 한 점에서 만난다 만나지 않는다 일치한다 m l l m l,m

공간에서 두 직선의 위치 관계 1) 만난다. 2) 평행하다. l m l m 4) 꼬인 위치 3) 일치한다. l m l=m

A B C D E F A B C D E F G H 다음 각기둥에서 모서리 AB와 1)꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는? 2) 선분BD와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는? A B C D E F A B C D E F G H

<공간에서 한 직선과 한 평면과의 위치관계> 1)한 점에서 만난다. 2)평행하다. 3)포함된다. l P l ∥ P

평면의 결정 조건 3) 만나는 두 직선 4) 평행한 두 직선 1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점 2) 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점 3) 만나는 두 직선 4) 평행한 두 직선

공간에서 두 평면의 위치관계 1) 일치한다. 2) 만난다. 3) 평행하다.

두 직선 l, m은 평행 ( 기 호 : l∥m ) 한 평면 위에서 두 직선 l, m 이 만나지 않을 때,  평행선 : 평행한 두 직선 l m

동위각 : 같은 위치에 있는 두 각 a e ∠a 와 ∠e b f ∠b 와 ∠f c g ∠c 와 ∠g d h ∠d 와 ∠h n l m

엇 각 : 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각 b h ∠b 와 ∠h e c ∠c 와 ∠e n l m

평행선의 성질 a b l ∥ m 이면 ∠a = ∠b c b l∥ m이면 ∠b = ∠c m l a b c 서로 다른 두 직선이 평행하고, 다른 한 직선과 만날 때 1. 동위각의 크기는 서로 같다. 2. 엇각의 크기는 서로 같다. a b l ∥ m 이면 ∠a = ∠b c b l∥ m이면 ∠b = ∠c m l a b c

평행선의 성질 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 1. 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다. 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 1. 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다. 2. 한 쌍의 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 1. 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다. 2. 한 쌍의 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.

다음 그림은 직사각형 모양의 종이를 접은 그림이다. ∠x 의 크기를 구하여라. x

1)∠x 의 크기를 구하여라. l a l b x c m d m 다음 에서 직선 l과 m이 서로 평행일 때, 2) ∠a+ ∠b+ ∠c+ ∠d 의 값을 구하여라. m l x m l a b c d

작도 : 눈금이 없는 자와 컴퍼스 만을 사용하여 도형을 그리는 것 자 : 직선을 긋거나 주어진 선분을 연장할 때 사용 도형의 작도 작도 : 눈금이 없는 자와 컴퍼스 만을 사용하여 도형을 그리는 것 자 : 직선을 긋거나 주어진 선분을 연장할 때 사용 컴퍼스 : 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를 옮길 때 사용

선분의 수직이등분선의 작도 ② ① ① B A ① 두 점 A, B를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 두 점에서 만나도록 그린다. ② ① ① B A ② ①의 두 교점을 지나는 직선을 긋는다.

각의 이등분선의 작도 A ② ③ ① C E O B D ① O를 중심으로 하는 원을 그려서 반직선OA와 OB가 만나는 점을 각각 C, D라 한다. A ② C, D를 각각 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 그려서 만나는 점을 E라고 한다. ② ③ E ① C D ③ 반직선 OE를 긋는다. O B

각 의 이 동 B ⑤ ④ D´ ③ D C ① C´ ② O´ A´ O A

점 P를 지나면서 직선 l에 수직인 직선의 작도 P ① l ② ③

3대 작도 불능 문제 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제 (2) 임의의 각을 삼등분하는 문제   (3) 임의의 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 문제  이제 첫번째 문제에 대하여 알아보자. 정육면체의 부피를 2배로 할 수 있는가에 관한 문제의 발단에 대한 이야기는 2종류가 있다. 하나는 고대 그리스 시인으로부터 비롯되었다는 것이다. 미노스 왕이 그의 아들 글라우쿠스를 위해 세운 묘비의 크기에 불만스러워 했다고 표현한 대사에서 그 문제가 나타났다고 한다. 미노스는 묘비의 크기를 두 배로 하라고 그 시인에게 명령했는데, 이 때 시인은 묘비의 각 변의 길이를 두 배함으로써 묘비를 두 배로 만들 수 있다고 말하였다. 이 잘못된 생각이 기하학자들로 하여금 부피만 두 배로 늘리는 것이 어떻게 가능한가 하는 문제에 빠져들게 하였다. 또 하나의 이야기는 데리안 족이 어떤 병을 퇴치하기 위해서는 아폴로의 정육면체의 제단의 크기를 두 배로 해야만 한다는 신탁을 받았다는 것이다. 그러면 이 문제는 19세기에 어떻게 해결되었을까? 이 문제가 자와 컴퍼스만으로는 풀릴 수 없다는 것은 여러 책에 증명되어 있는데 그 내용 중의 하나는 "유리근을 갖지 않는 3차방정식의 근을 크기로 하는 선분을 작도할 수 없다"는 것이다. 처음 정육면체는 한 모서리의 길이가 1이라면 부피도 1이다. 구하려는 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면 x의 세제곱이 2가 되어야 한다. 그런데 세제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에 없으므로 는 유리근을 갖지 않는 3차방정식이다. 따라서 한 모서리의 길이가 x 인 정육면체의 길이는 작도할 수 없는 것이다. 3가지의 작도문제를 연구하면서 얻은 부산물은 작도법의 발달, 히피아스의 곡선, 유선형의 콩코이드(Concoid)곡선, 원추곡선에 대한 연구, 제도 기구의 발명 등이 그것이다. 생각치 않았던 곳에서 쏟아져 나온 이 지식들은 수학의 발달에 큰 도움을 주었다. 그러한 부산물이 아니더라도 우리는 그리스 인들의 사고를 결코 우습다고 무시해서는 안된다. 자와 컴퍼스만을 고집했듯이 실용적인 것보다는 논리적이고 합리적인 지식 체계를 원했던 그들의 노력은 유클리드의 '원론'과 같은 위대한 결과들을 남겼다. 그러한 것들이 당장은 쓸데없어 보이지만 그 기초 위에 더욱 복잡하고 어려운 것들을 쌓아올려 현대 과학 문명을 만들었다는 것을 생각해보면 그들의 고집스런 사고 방식에 고마움을 느끼게 된다.

직각의 3등분 작도  이제 첫번째 문제에 대하여 알아보자. 정육면체의 부피를 2배로 할 수 있는가에 관한 문제의 발단에 대한 이야기는 2종류가 있다. 하나는 고대 그리스 시인으로부터 비롯되었다는 것이다. 미노스 왕이 그의 아들 글라우쿠스를 위해 세운 묘비의 크기에 불만스러워 했다고 표현한 대사에서 그 문제가 나타났다고 한다. 미노스는 묘비의 크기를 두 배로 하라고 그 시인에게 명령했는데, 이 때 시인은 묘비의 각 변의 길이를 두 배함으로써 묘비를 두 배로 만들 수 있다고 말하였다. 이 잘못된 생각이 기하학자들로 하여금 부피만 두 배로 늘리는 것이 어떻게 가능한가 하는 문제에 빠져들게 하였다. 또 하나의 이야기는 데리안 족이 어떤 병을 퇴치하기 위해서는 아폴로의 정육면체의 제단의 크기를 두 배로 해야만 한다는 신탁을 받았다는 것이다. 그러면 이 문제는 19세기에 어떻게 해결되었을까? 이 문제가 자와 컴퍼스만으로는 풀릴 수 없다는 것은 여러 책에 증명되어 있는데 그 내용 중의 하나는 "유리근을 갖지 않는 3차방정식의 근을 크기로 하는 선분을 작도할 수 없다"는 것이다. 처음 정육면체는 한 모서리의 길이가 1이라면 부피도 1이다. 구하려는 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면 x의 세제곱이 2가 되어야 한다. 그런데 세제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에 없으므로 는 유리근을 갖지 않는 3차방정식이다. 따라서 한 모서리의 길이가 x 인 정육면체의 길이는 작도할 수 없는 것이다. 3가지의 작도문제를 연구하면서 얻은 부산물은 작도법의 발달, 히피아스의 곡선, 유선형의 콩코이드(Concoid)곡선, 원추곡선에 대한 연구, 제도 기구의 발명 등이 그것이다. 생각치 않았던 곳에서 쏟아져 나온 이 지식들은 수학의 발달에 큰 도움을 주었다. 그러한 부산물이 아니더라도 우리는 그리스 인들의 사고를 결코 우습다고 무시해서는 안된다. 자와 컴퍼스만을 고집했듯이 실용적인 것보다는 논리적이고 합리적인 지식 체계를 원했던 그들의 노력은 유클리드의 '원론'과 같은 위대한 결과들을 남겼다. 그러한 것들이 당장은 쓸데없어 보이지만 그 기초 위에 더욱 복잡하고 어려운 것들을 쌓아올려 현대 과학 문명을 만들었다는 것을 생각해보면 그들의 고집스런 사고 방식에 고마움을 느끼게 된다.

다음 중 작도할 수 없는 각은? ① 10° ② 15° ③ 22.5° ④ 60° ⑤ 135°  다음 중 작도할 수 없는 각은? ① 10° ② 15° ③ 22.5° ④ 60° ⑤ 135°  이제 첫번째 문제에 대하여 알아보자. 정육면체의 부피를 2배로 할 수 있는가에 관한 문제의 발단에 대한 이야기는 2종류가 있다. 하나는 고대 그리스 시인으로부터 비롯되었다는 것이다. 미노스 왕이 그의 아들 글라우쿠스를 위해 세운 묘비의 크기에 불만스러워 했다고 표현한 대사에서 그 문제가 나타났다고 한다. 미노스는 묘비의 크기를 두 배로 하라고 그 시인에게 명령했는데, 이 때 시인은 묘비의 각 변의 길이를 두 배함으로써 묘비를 두 배로 만들 수 있다고 말하였다. 이 잘못된 생각이 기하학자들로 하여금 부피만 두 배로 늘리는 것이 어떻게 가능한가 하는 문제에 빠져들게 하였다. 또 하나의 이야기는 데리안 족이 어떤 병을 퇴치하기 위해서는 아폴로의 정육면체의 제단의 크기를 두 배로 해야만 한다는 신탁을 받았다는 것이다. 그러면 이 문제는 19세기에 어떻게 해결되었을까? 이 문제가 자와 컴퍼스만으로는 풀릴 수 없다는 것은 여러 책에 증명되어 있는데 그 내용 중의 하나는 "유리근을 갖지 않는 3차방정식의 근을 크기로 하는 선분을 작도할 수 없다"는 것이다. 처음 정육면체는 한 모서리의 길이가 1이라면 부피도 1이다. 구하려는 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면 x의 세제곱이 2가 되어야 한다. 그런데 세제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에 없으므로 는 유리근을 갖지 않는 3차방정식이다. 따라서 한 모서리의 길이가 x 인 정육면체의 길이는 작도할 수 없는 것이다. 3가지의 작도문제를 연구하면서 얻은 부산물은 작도법의 발달, 히피아스의 곡선, 유선형의 콩코이드(Concoid)곡선, 원추곡선에 대한 연구, 제도 기구의 발명 등이 그것이다. 생각치 않았던 곳에서 쏟아져 나온 이 지식들은 수학의 발달에 큰 도움을 주었다. 그러한 부산물이 아니더라도 우리는 그리스 인들의 사고를 결코 우습다고 무시해서는 안된다. 자와 컴퍼스만을 고집했듯이 실용적인 것보다는 논리적이고 합리적인 지식 체계를 원했던 그들의 노력은 유클리드의 '원론'과 같은 위대한 결과들을 남겼다. 그러한 것들이 당장은 쓸데없어 보이지만 그 기초 위에 더욱 복잡하고 어려운 것들을 쌓아올려 현대 과학 문명을 만들었다는 것을 생각해보면 그들의 고집스런 사고 방식에 고마움을 느끼게 된다.

선택학습(심화과정) 1. 작도가 가능한 정 n각형 (1). 의 꼴이면 가능하다. 정 3, 4, 5 각형은 작도 가능한 정다각형이다. 가장 손쉬운 정다각형 작도방법은 원을 이용하는 것으로 모든 꼭지점이 원 위에 있도록 작도하는 방법이다. 원을 이용하여 정삼각형을 그린 뒤, 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 정삼각형의 꼭지점과 연결하면 정육각형을 작도할 수 있다. 마찬가지로 정육각형의 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 연결하면 정십이각형을 작도할 수 있다.  원을 이용하여 정사각형을 작도한 뒤, 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 이용하면 정팔각형을 그릴 수 있고, 한 번 더하면 정십육각형을 작도할 수 있다. 마찬가지의 방법으로 원을 이용하여 그린 정오각형에서 정십각형을 그릴 수 있고, 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그린 뒤, 정이십각형을 작도할 수 있다. 작도에 대해 많은 관심과 연구를 진행했던 고대 그리스의 수학자들은 정 7, 9, 11, 13각형의 작도방법을 알아내기 위해 많은 노력을 기울였지만, 끝내 알아내지 못하였다. 1796년이 되어서야 당시 18세였던 수학자 가우스 의해 정 7, 9, 11, 13각형은 작도 불가능함이 증명되었다. 가우스에 의해 밝혀진 홀수 개의 변을 가진 정다각형에 대한 작도 가능함에 대한 정리는 다음과 같다. 1.  작도가 가능한 정 n각형 (1).   의 꼴이면 가능하다. (2). n이 꼴인 서로 다른 두 소수의 곱이면, 작도 가능하다. (3). 정 n각형을 작도할 수 있다면, 정 2n각형은 작도가 가능하다. 2. 의 꼴인 경우 (1) k=0 이면, 3=2+1이므로 정3각형은 작도가능하다. (2) k=1 이면, 5=4+1이므로 정5각형은 작도가능하다. (3) k=2 이면, 17=16+1이므로 정17각형은 작도가능하다. (4) k=3 이면, 이므로 정257형은 작도가능하다.   3, 5, 17이 가능하므로 에서 정15각형은 작도가 가능하고,   에서 정51각형은 작도가 가능하다. 에서 정85각형도   작도가 가능하다  이제 첫번째 문제에 대하여 알아보자. 정육면체의 부피를 2배로 할 수 있는가에 관한 문제의 발단에 대한 이야기는 2종류가 있다. 하나는 고대 그리스 시인으로부터 비롯되었다는 것이다. 미노스 왕이 그의 아들 글라우쿠스를 위해 세운 묘비의 크기에 불만스러워 했다고 표현한 대사에서 그 문제가 나타났다고 한다. 미노스는 묘비의 크기를 두 배로 하라고 그 시인에게 명령했는데, 이 때 시인은 묘비의 각 변의 길이를 두 배함으로써 묘비를 두 배로 만들 수 있다고 말하였다. 이 잘못된 생각이 기하학자들로 하여금 부피만 두 배로 늘리는 것이 어떻게 가능한가 하는 문제에 빠져들게 하였다. 또 하나의 이야기는 데리안 족이 어떤 병을 퇴치하기 위해서는 아폴로의 정육면체의 제단의 크기를 두 배로 해야만 한다는 신탁을 받았다는 것이다. 그러면 이 문제는 19세기에 어떻게 해결되었을까? 이 문제가 자와 컴퍼스만으로는 풀릴 수 없다는 것은 여러 책에 증명되어 있는데 그 내용 중의 하나는 "유리근을 갖지 않는 3차방정식의 근을 크기로 하는 선분을 작도할 수 없다"는 것이다. 처음 정육면체는 한 모서리의 길이가 1이라면 부피도 1이다. 구하려는 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면 x의 세제곱이 2가 되어야 한다. 그런데 세제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에 없으므로 는 유리근을 갖지 않는 3차방정식이다. 따라서 한 모서리의 길이가 x 인 정육면체의 길이는 작도할 수 없는 것이다. 3가지의 작도문제를 연구하면서 얻은 부산물은 작도법의 발달, 히피아스의 곡선, 유선형의 콩코이드(Concoid)곡선, 원추곡선에 대한 연구, 제도 기구의 발명 등이 그것이다. 생각치 않았던 곳에서 쏟아져 나온 이 지식들은 수학의 발달에 큰 도움을 주었다. 그러한 부산물이 아니더라도 우리는 그리스 인들의 사고를 결코 우습다고 무시해서는 안된다. 자와 컴퍼스만을 고집했듯이 실용적인 것보다는 논리적이고 합리적인 지식 체계를 원했던 그들의 노력은 유클리드의 '원론'과 같은 위대한 결과들을 남겼다. 그러한 것들이 당장은 쓸데없어 보이지만 그 기초 위에 더욱 복잡하고 어려운 것들을 쌓아올려 현대 과학 문명을 만들었다는 것을 생각해보면 그들의 고집스런 사고 방식에 고마움을 느끼게 된다.

삼각형에 대한 용어 A c b B C a 세 선분 AB, BC, CA로 둘러싸인 삼각형 ABC를  ∠A, ∠B, ∠C를 △ABC의 내각이라고 한다. ∠A와 마주 보는 변 BC를 ∠A의 대변, ∠A를 변 BC의 대각이라고 한다. A B C c a b

삼각형의 변의 길이 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 다른 한 변의 길이보다 크다. 세 변 중 길이가 최대인 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형이 될 수 없다.

삼각형의 결정조건 1. 세 변의 길이가 주어질 때 2. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때 3. 한 변의 길이와 그 양끝각의 크기가 주어질 때 위의 세 가지 조건 중에 어느 한 가지만 주어지면 삼각형의 모양과 크기가 한 가지로 결정된다.

다음 조건을 만족하는 △ABC를 그릴 때, 삼각형이 하나로 결정되는 것을 모두 고르면? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

< 기 호 > △ABC≡△A’B’C’ 합동의 뜻 한 평면도형 P를 그 모양이나 크기를 바꾸지 않고 다른 평면도형Q와 포갤 수 있을 때, P와 Q를 서로 합동이라고 한다. B ´ A B C A ´ C´ < 기 호 > △ABC≡△A’B’C’ 합동인 두 도형에서 포개어지는 꼭지점, 변, 각은 서로 대응한다고 한다.

합동인 도형의 성질 합동인 두 도형은 대응하는 변의 길이는 서로 같다. 대응하는 각의 크기는 서로 같다.

삼각형의 합동조건 ≡ ≡ ≡ 1. 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 (SSS합동 ) 2. 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS합동) ≡ 3. 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 같을 때 (ASA합동) ≡

A B O C D A B O C D A B C D 다음 각 그림에서 합동인 삼각형을 찾아서 기호로 나타내고, 합동조건을 말하여라. A B O C D A B O C D (2) (1) A B C D (3)

두 쌍의 변의 길이가 같고 한 쌍의 각의 같의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 할 수 있나?

한 쌍의 변의 길이가 같고 두 쌍의 같의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 말 할 수 있나?

그림에서 △EAB, △DBC는 정삼각형일 때, ∠x 의 크기는? A B C D E P x b a 60 120

각의 이등분선의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라. A ② ③ E ① C D O B

B ⑤ D´ ① ② ④ ③ O´ A´ O C´ A C D 크기가 같은 각의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라. B ⑤ ④ D´ C ① ③ D C´ ② O´ A´ O A