수학 토론 대회 -도형의 세가지 무게중심 21011 안다흰 21023 임수빈

무게중심의 정의 물리적인 정의 물체나 물질에서 각 부분이나 각 물질에 작용하는 중력의 합력의 작용점이라 하며 질량의 중심과 일정하다. 수학적인 정의 삼각형일 때 세 개의 중선이 교차하는 점, 어떤 도형의 각 부분이 같은 무게를 가졌다고 가정할 때 무게의 중심에 위치하는 점이라고도 한다.

먼저, 모든 선분의 선밀도가 일정하다고 가정.

도형의 세가지 관점으로서의 삼각형의 무게중심 삼각형에서의 점의 무게중심 임의의 세 점을 잡고 그 점들의 무게가 모두 같다고 가정 한 점을 제외한 두 점을 1:1로 내분하는 중점으로 이동 지레의 원리에 의해서 나머지 한 점과 두 점이 모인 중점의 무게 중심은 두 지점을 2:1로 내분하는 점

도형의 세가지 관점으로서의 삼각형의 무게중심 Ⅱ. 삼각형에서의 선의 무게중심 -삼각형의 내접삼각형과 내심을 이용 삼각형의 중점연결정리에 의해서 ∆G₁G₂G₃에서 G₁의 대변의 길이는 c가 되고 같은 원리에 의해서 G₂,G₃의 대변의 길이는 각각 a, b가 된다. 각 G₁을 이등분한 선은 선분 G₂G₃를 b:a로 내분하게 된다. 그리고 역시 같은 원리로 선분 G₁G₂는 a:c로, 선분 G₁G₃는 b:c로 내분된다. 이 각의 이등분선들이 내접원의 중심인 내심을 이루게 되고 이 점이 ∆G₁G₂G₃의 무게중심이 됨으로써 ∆ABC의 무게중심이 된다.

도형의 세가지 관점으로서의 삼각형의 무게중심 Ⅲ. 삼각형에서의 면의 무게중심 -연직선 실험을 이용한 면의 무게중심 추를 늘어뜨리면 추는 중력방향으로 향하게 되는데 도형이 균형을 잡으면서 멈춘다. 이러한 방법으로 두 직선이 만나는 교점이 그 도형의 무게중심이 된다. 꼭 삼각형의 꼭짓점에서 실을 달지 않아도 연직선이 만나면서 무게중심을 이루게 된다. 즉, 삼각형 내에서 균형선은 무수히 많이 존재한다.

도형의 세가지 관점으로서의 삼각형의 무게중심 Ⅲ. 삼각형에서의 면의 무게중심 -밀도가 같은 선을 갖는 무게중심을 구하는 문제로 변환 x=l과 평행한 선을 그었을 때 그 선들의 무게중심(중점)을 구한다. 삼각형은 수많은 선들로 이루어져 있으므로 그 선들의 중심을 연결한 선(y=(a-b)x/2)에 무게중심이 위치하게 된다. 그리고 y=(a-b)x/2가 선분 l의 중선이 된다. 삼각형의 무게중심은 한 변의 중선의 2:1에 위치하므로 위 그림에서의 무게중심은 (2l/3, (a-b)l/3)이 된다.

도형의 세가지 관점으로서의 사각형의 무게중심 Ⅰ. 사각형에서의 점의 무게중심 -지레의 원리를 이용 점으로 이루어진 사각형 중에 임의의 대각선을 그어서 세 점의 삼각형과 나머지 한 점으로 나눈다. 삼각형에서의 점의 무게중심 구하는 방법을 사용하여 세 점의 삼각형의 무게중심을 구하고 그 무게중심과 나머지 한 점의 무게중심을 구한다. 점으로 이루어진 사각형 중에 임의의 두 점의 무게중심을 찾고 나머지 두 점의 무게중심을 찾아 그 두 무게중심을 이용하여 점으로 이루어진 사각형의 무게중심을 찾는다.

도형의 세가지 관점으로서의 사각형의 무게중심 Ⅰ. 사각형에서의 점의 무게중심 - 사각형의 각 변의 중점을 연결한 사각형 □G₁G₂G₃G₄ 의 무게중심은 사각형ABCD의 무게중심과 같다. 대각선 AC를 그었을 때 삼각형의 중점 연결 정리에 의해서 선분G₁G₂는 선분AC와 평행하고 선분G₁G₂=1/2선분AC가 되고 선분G₃G₄와 선분AC와의 관계도 그러하다. □G₁G₂G₃G₄는 평행사변형이 된다. 평행사변형 같은 점대칭도형은 그 도형의 중심이 무게중심이 되므로 □G₁G₂G₃G₄의 대각선의 교점이 중심, 즉 □ABCD의 무게중심이 된다.

도형의 세가지 관점으로서의 사각형의 무게중심 Ⅰ. 사각형에서의 점의 무게중심 - 사각형의 각 변의 중점을 연결한 사각형 네점으로 이루어진 사각형의 무게중심은 각 변의 중점을 찾아 연결한 사각형의 무게중심과 일치하게 된다. 이러한 과정을 무수히 반복하게 되면 어느 한 점에서 수렴하게 되는데 그 수렴하는 점이 위 사각형의 무게중심이 된다.

도형의 세가지 관점으로서의 사각형의 무게중심 Ⅱ. 사각형에서의 선의 무게중심 사각형의 네 점이 있을 때 무게중심을 구하는 문제로 변환한다. 각 변의 중점을 구하여 각 선분의 길이와 비례하는 무게를 가진 사각형의 네 점의 무게중심을 구하는 방법을 이용하여 사각형의 무게중심을 구한다.

도형의 세가지 관점으로서의 사각형의 무게중심 Ⅲ. 사각형에서의 면의 무게중심 - 연직선 실험 - 사각형을 삼각형으로 나누어 구하기 삼각형에서의 면의 무게중심을 구할 때 썼었던 연직선 실험의 과정을 통해서 사각형의 내부에서 추를 늘어뜨려 그 교점이 사각형의 무게중심이 된다. 사각형을 대각선을 이용해 삼각형으로 나눈다. 대각선을 중심으로 나뉜 삼각형들의 각각의 무게중심을 구하고 그 점들의 교점이 사각형 내부의 무게중심이 된다.

도형의 세가지 관점으로서의 사각형의 무게중심 Ⅲ. 사각형에서의 면의 무게중심 - 지레의 원리 사각형ABCD에서 대각선 AC를 그으면 ∆ABC(넓이:S₁)와 ∆ACD(넓이:S₂)의 무게중심이 나온다. 그 무게 중심에는 그 삼각형의 넓이만큼 무게가 실려 있다. 여기서 지레의 원리를 사용하면 선분G₁G₂의 무게중심은 선분G₁G₂를 S₂:S₁로 내분하는 점이 사각형ABCD의 무게중심이 된다.

감사합니다 참고: 삼각형과 사각형의 무게중심을 활용한 수학 동아리 활동 자료 개발 논문