유클리드와 그의 원론

유클리드 생애와 인격에 대해서는 거의 알려진 것이 없음 알렉산드리아 대학의 수학과 교수, 알렉산드리아 수학학교의 설립자 플라톤 학교에서 수학을 배운 것으로 추측 프로클로스의 <에우데무스 요약> 「기하학에는 왕도가 없다」 「이런 것을 배워서 무엇을 얻을 수 있습니까?」-> 「그에게 동전 한 닢을 주어라. 그는 자기가 배운 것으로부터 무엇을 얻어야 하니까!」

유클리드 원론 1482년: 초판 인쇄, 지금까지 1천 판이 넘을 정도로 인쇄, 2천년 이상 기하학의 교과서로서 군림 유클리드 당대의 날짜가 적혀 있는 <원론>의 어떤 사본도 발견되지 않음. 10세기 현존 가장 오래된 <원론> 사본. 유클리드의 원본과 거의 똑같다고 판명됨. 8세기: 아라비아어로 최초의 완전한 라틴어 번역본이 만들어짐. 1120년 : 영국의 영문학자 아델라드(Adelard)가 아라비아 번역본으로 라틴어판 만듦 크레모나의 제라르(Gherardo, 1114-1187)와 캄파누스(Johannes Campanus)에 의해 라틴어 번역본 만들어짐. 1482년 : 베니스에서 <원론>에 대한 최초의 인쇄본 만들어짐. 수학적 결과를 인쇄한 최초의 책. 1572년 : 코만디노(Commandino)에 의해 그리스어로부터 직접 라틴어로 번역한 번역본이 만들어짐. 많은 후속적인 번역본의 기초로 이용됨 1570년 빌링슬리(Billingsley)의 번역본 : <원론> 최초의 완전한 영문번역본

유클리드의 <원론>은 기하학뿐만 아니라 수론과 약간의 (기하학적) 대수의 내용도 담고 있다. 13권의 책, 465개의 명제 수록

제Ⅰ권 : 예비적인 정의, 공준, 공리, 48개의 명제(대부분초기 피타고라스 학파에 의해 연구된 결과) 명제Ⅰ1-Ⅰ26 : 주로 삼각형의 성질과 세 개의 합동정리 명제Ⅰ27-Ⅰ32 : 평행에 관한 이론, 삼각형의 내각의 합이 두 직각과 같다는 것을 증명 명제Ⅰ33-Ⅰ46 : 평행사변형, 삼각형, 정사각형 등의 면적 문제 명제Ⅰ47 : 피타고라스의 정리, 증명은 유클리드가 직접 한 것으로 보임 명제Ⅰ48 : 피타고라스 정리의 역

제Ⅱ권 : 14개의 명제만을 수록. 면적의 변환과 피타고라스 학파의 기하학적 대수를 다루고 있음 제Ⅱ권 : 14개의 명제만을 수록. 면적의 변환과 피타고라스 학파의 기하학적 대수를 다루고 있음. 대수적 항등식과 동치인 몇 가지 기하학의 명제가 나옴 명제Ⅱ12, Ⅱ13 : “ 둔각(예각) 삼각형에서 둔각(예각)의 대변을 한 변으로 하는 정사각형의 면적은 다른 두 변에서 각각을 한 변으로 하는 정사각형의 면적의 합에다가 그 다른 두 변 중 어느 한 변과 그 변을 나머지 한 변에 사영시킨 것을 곱한 것의 두 배를 더한(뺀) 것과 같다.”(‘코사인 법칙’이라고 부르는 피타고라스 정리의 일반화)

제Ⅲ권 : 39개의 명제, 흔히 고등학교 기하학 교과서에 나오는 원, 현, 호의 측정에 관한 눈에 많이 익은 정리들을 담고 있음. 제Ⅳ권 : 3, 4, 5, 6, 15변을 갖는 정다각형을 주어진 원에 자와 컴퍼스를 가지고 내접 또는 외접시키는 작도문제를 논의 제Ⅲ권과 제Ⅳ권에 있는 원에 관한 기하학은 몇 가지만 피타고라스 학파의 연구 결과이고, 대부분은 아마도 초기 소피스트들이나 3대 작도 문제의 연구자들이 만든 결과로 추측

제Ⅴ권 : 에우독소스의 비례론에 관한 훌륭한 해설서, 같은 표준으로 잴 수 있는 크기나 그렇지 않은 크기에 모두 응용될 수 있는 것으로 피타고라스 학파의 무리수의 발견으로 인하여 발생한 ‘논리적 스캔들’을 해결해 줌 에우독소스의 비례론 : “ A, B, C, D가 부호가 붙지 않은 임의의 크기이고, A, B의 단위가 똑같으며(즉 둘 다 선분, 각, 면적, 부피 등), C, D의 단위가 똑같을 때, 임의의 양의 정수 m, n에 대하여 mC⋛nD에 따라서 mA⋛nB이면 A와 B의 비는 C와 D의 비와 같다” 데데킨트(Dedekind)와 바이어슈트라스(Weierstrass)에 의해 개발된 실수계의 기초를 제공해줌.

제Ⅵ권 : 에우독소스의 비례론을 평면기하에 응용한 내용 닮은 삼각형에 대한 기본정리, 제 3 비례항, 제 4 비례항, 비례중항의 작도, 이차방정식의 기하학적 해, 삼각형에서 한 각의 이등분선이 그 대변을 다른 두 변의 비로 나눈다는 명제, 피타고라스 정리의 일반화, 그 밖의 다른 정리들이 실려있음. 제Ⅶ, Ⅷ, Ⅸ권 : 102개의 명제, 초등수론 제Ⅶ권 : 유클리드 호제법으로 불려지는 두 개 이상의 정수의 최대공약수를 찾는 방법을 시작으로 해서 그 방법을 두 정수가 서로 소인지, 아닌지를 알아내는 데 이용하는 내용까지 담고 있음. 피타고라스 학파의 비례에 관한 수치 이론의 해설, 수에 대한 기본적인 많은 성질 제Ⅷ권 : 주로 연속비례와 그와 관련된 등비수열을 다루고 있음 예) 연속비례 a:b=b:c=c:d이면 a, b, c, d는 등비수열을 이룬다.

제Ⅸ권 : 대단히 중요한 정리 수록 명제Ⅸ14: 정수론의 기본정리 “1보다 큰 정수는 꼭 한 가지 방법으로 소인수들의 곱으로 표현될 수 있다.” 명제Ⅸ35: 등비수열의 n항까지의 합에 대한 공식을 기하학적으로 유도 명제Ⅸ36: 완전수에 대한 놀라운 공식을 세움 명제Ⅸ20: 소수의 개수는 무한이다

첫 번째 명제는 실진법(悉盡法, method of exhausition)의 기초가 됨 제Ⅹ권 : 어떤 주어진 선분에 관하여 같은 표준으로 잴 수 없는 선분, 즉 무리수에 관한 것을 다루고 있음. <원론>에서 가장 경탄스러운 책, 피타고라스 3쌍을 만드는 공식 실려있음. 첫 번째 명제는 실진법(悉盡法, method of exhausition)의 기초가 됨 실진법 : “한 크기가 주어졌을 때 여기서 그의 반 이상의 부분을 빼버리고 또 그 나머지로부터 그 나머지의 반 이상의 부분을 빼버리고 이 과정을 계속해가면 마침내 어떤 정해진 크기보다 작은 크기를 얻게 될 것이다.”

제Ⅺ, Ⅻ, ⅩⅢ 권: 입체기하학을 다룸 제Ⅺ권 : 공간에서의 직선과 평면에 대한 정의와 정리, 평행육면체에 관한 정리 제Ⅻ권 : 실진법을 이용하여 부피의 문제를 다룸 제ⅩⅢ권 : 하나의 구에 다섯 개의 정다면체를 내접시키는 작도문제

비례론 “동일한 크기의 높이를 갖는 삼각형의 면적의 비는 그들의 밑변의 비와 같다.”의 증명 비례론 “동일한 크기의 높이를 갖는 삼각형의 면적의 비는 그들의 밑변의 비와 같다.”의 증명 피타고라스 학파의 증명 두 선분이 꼭 같은 표준으로 잴 필요가 없다는 사실이 발견됨으로써 결함을 갖고 있는 것으로 판명 → ‘논리적 스캔들’ 발생

에우독소스의 비례론에 의한 증명 에우독소스의 비례론 : “ A, B, C, D가 부호가 붙지 않은 임의의 크기이고, A, B의 단위가 똑같으며, C, D의 단위가 똑같을 때, 임의의 양의 정수 m, n에 대하여 mC⋛nD에 따라서 mA⋛nB이면 A와 B의 비는 C와 D의 비와 같다” m(BC)⋛n(DE)에 따라 m(△ABC)⋛n(△ADE) 에우독소스의 비례의 정의에 의하여 △ABC:△ADE=BC:DE

고등학교 교과서 증명(미국) BC와 DE가 같은 표준으로 잴 수 있는 경우: 피타고라스의 증명과 같다. DE위에 BR과 크기가 같은 선분을 계속 이어 붙여서 FE<BR이 되는 DE위의 점 F를 얻을 때까지 계속한다. 같은 표준으로 잴 수 있는 경우에 의해서 △ABC:△ADF=BC:DF이다. n→∞하면 DF→DE이고, △ADF→△ADE이다. 따라서, 극한에서 △ABC:△ADE=BC:DE이다.

정다각형의 작도 유클리드의 <원론>의 제Ⅳ권 : 자와 컴퍼스를 가지고 3, 4, 5, 6, 15변의 정다각형 작도 호의 이등분을 이용하여 2n, 3(2n), 5(2n), 15(2n) 변의 정다각형 작도 1796년 가우스 : ‘소수’개의 변을 갖는 정다각형이 유클리드 도구만을 가지고 작도될 수 있기 위한 필요충분조건은 그 소수가 의 형태임 n=0, 1, 2, 3, 4일 때 f(n)=3, 5, 17, 257, 65537 : 모두 소수이다. 또 다른 값에 대해서 f(n)이 소수가 되는지는 밝혀지지 않고 있다.

원론의 형식 체계 유클리드의 <원론>: 현대 수학형식의 원형으로 간주 공준(公準,postulate) 또는 공리(公理, axiom) : 최초에 가정된 명제, 그 밖의 모든 명제는 이들로부터 논리적으로 추론되어야 한다. 종합기하학

1. 공리: 어떤 사실에 대하여 자명한 것으로 가정된 명제 공준: 어떤 사실에 대하여 자명한 것으로 가정된 작도 <공리와 공준의 구분> 1. 공리: 어떤 사실에 대하여 자명한 것으로 가정된 명제     공준: 어떤 사실에 대하여 자명한 것으로 가정된 작도 공리나 공준은 정리와 작도 문제 사이에 존재하는 것과 같은 상호관계를 갖는다. 2. 공리 : 모든 학문에 공통적인 가정     공준 : 특별한 학문에서의 고유한 가정 3. 공리: 명백하면서 또 학생들이 쉽게 이해할 수 있는 것에 대한 가정    공준 : 반드시 명백할 필요도 없고 또 학생들이 꼭 이해하 기 쉬울 필요도 없는 것에 대한 가정 (아리스토텔레스의 구분) → 현대수학에서는 이 두 개념의 차이를 두지 않음

<공리> A1. 동일한 것과 같은 것들은 모두 서로 같다. A2. 같은 것에 어떤 같은 것을 더하면 그 전체는 서로 같다. A3. 같은 것에서 어떤 같은 것을 빼면 나머지는 서로 같다. A4. 서로 일치하는 것은 서로 같다. A5. 전체는 부분보다 크다. <공준> P1. 한 점에서 또 다른 한 점으로 직선을 그릴 수 있다. P2. 유한직선을 무한히 연장시킬 수 있다. P3. 임의의 점을 중심으로 하고 그 중심으로부터 그려진 임의의 유한직선과 동일한 반경을 갖는 원을 그릴 수 있다. P4. 모든 직각은 서로 같다. P5. 한 직선이 두 직선과 만날 때 어느 한 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작으면 이 두 직선은 무한히 연장될 때 그 쪽에서 만난다.

유클리드의 그 외 저작 <자료론, data>-<원론>의 처음 여섯 권의 자료와 관계가 있음. 자료(datum) : 하나를 제외한 나머지 모두가 주어졌을 때 이들로부터 그 나머지 하나를 구할 수 있는 도형의 부분 또는 관계들의 집합 예) 한 삼각형에서 A가 각이고, a가 그의 대변이고 R가 외접원의 반경이면 A, a, R는 하나의 자료를 이룬다. a=2RsinA로부터 명백 <분할에 관하여, On divisions>: 아라비아 번역본 전해 내려옴 한 도형에 어떤 직선을 그어 그 도형을 주어진 비의 면적을 갖는 두 도형으로 분할하는 작도문제 예) 한 삼각형에서 그 삼각형 안의 주어진 점을 지나서 똑같은 면적을 갖는 두 도형으로 나누라는 문제 <오류론, Pseudaria>, <계론, Porisms>, <원추곡선론, Conics>, <곡면자취론, Surface Loci>, <천문현상론, Phaenomena>, <광학, Optics>, <음악의 원리, Elements of Music>

토론 과제 정육면체 배적 문제를 해결하는 방법 한 가지를 설명하시오. 기울음 문제의 해결 방법을 설명하시오. 종이접기를 통한 각의 삼등분선 원리를 설명하시오. 아르키메데스의 나선을 이용하여 각의 3등분선 작도 원리를 설명하시오. “소수의 개수는 무한이다.”를 증명하시오. 피타고라스 학파의 명제 Ⅵ-1 증명의 결함은 무엇인가?