물체의 운동 Motion of a Particle

직선운동 위치, 변위(거리) 기준점 x x1 x2 움직임에는 시간이 필요하다! t1 t2 움직이는 입자에 대한 관찰 관측시작위치 관측 종료위치 위치의 차이(변위): 이동거리 = (x2 – x1) 움직임에는 시간이 필요하다! 관측경과시간 = (t2 – t1) t1 t2 관측시작시간 관측 종료시간 움직이는 입자에 대한 관찰 기준점으로부터의 거리 두 값의 차이를 표현할 때 ‘△’ 심볼을 사용한다. 예: 위에서 관측경과시간 (t2 – t1) 은 △t, 물체의 변위 (x2 – x1) 는 △x로 나타낸다.

단위시간(1초) 당 변위(이동한 거리) = 10m / 4초 = 2.5m/초 t1 = 2018년 3월 21일 10시 30분 5초 t2=2018년 3월 21일 10시 30분 9초 관측 시작시간 관측 종료시간 기준점 x 0m x1= 5m x2= 15m 처음위치 최종위치 이동거리(△x) = (x2 – x1) = 15m – 5m = 10m 관측시간(△t) = (t2 – t1) = 2018년 3월 21일 10시 30분 9초 - 2018년 3월 21일 10시 30분 5초 = 4초 단위시간(1초) 당 변위(이동한 거리) = 10m / 4초 = 2.5m/초 평균 속도의 정의 위 물체의 평균 속도 특별한 경우가 아니면 처음위치를 기준위치로(0m)로 정한다. 그러면 최종위치는 자동으로 이동거리가 됨. 특별한 경우가 아니면 관측시작시간을 0초로 정한다. 그러면 최종시간은 자동으로 경과시간이 됨.

시간과 움직이는 물체의 위치관계를 명확히 표현하려면 아래와 같이 평면좌표를 사용한다. 속도 시간과 움직이는 물체의 위치관계를 명확히 표현하려면 아래와 같이 평면좌표를 사용한다. 위치 시간 t1 t2 x1 x2 (t2 – t1) (x2 – x1) 평균속도(v) = 이동거리 / 이동시간 (x2 – x1) / (t2 – t1) 옆의 그래프에서 (t2 – t1) 은 직각 삼각형의 밑변이고, (x2 – x1) 은 직각 삼각형의 높이 이므로 (x2 – x1) / (t2 – t1) 는 직각삼각형의 빗변의 기울기에 해당한다. 따라서 시간에 대한 위치의 그래프에서 두 위치를 연결하는 직선의 기울기가 곧 속도이다. 위치 시간 t1 t2 x1 기울기=0, 속도=0m/초 위치 시간 t1 t2 x1 기울기=2, 속도=2m/초 x2

가속도 기준점 x 속도(v) 움직이는 물체를 세 시점에서 위치를 관측하였다. 0초 1초 3초 A B C 0m 5m 7m 15m 관측시작 기준점 0초 1초 3초 A B C x 0m 5m 7m 15m A,B 구간에서의 평균속도 = (7m-5m)/ 1초 = 2m/초 B,C 구간에서의 평균속도 = (15m-7m) / (3초-1초) = 4m/초 시간과 위치관계로 나타내면 위치 15m 두 직선의 기울기가 다르다는 것은 두 구간에서의 평균속도가 다르다는 의미 A,B구간에서의 평균속도(2m/초)를 B지점의 속도로 보고, 또 BC구간의 평균속도(4m/초)를 C지점의 속도로 본다면. B,C 구간에서 속도가 변화한 것을 알 수 있다. 7m 5m 시간(초) 0 1초 3초 속도(v) 속도(v1)=2m/초 0m 1초 3초 B C 속도(v2)=4m/초 속도의 변화(△v) = (4m/초 – 2m/초) = 2m/초

속도(v) 가속도: 단위시간(초) 당 속도의 변화 속도 v2 가속도(a) = 속도의 변화량 / 이동시간 속도(v1)=2m/초 0m 1초 3초 B C 속도(v2)=4m/초 속도의 변화(△v) = (4m/초 – 2m/초) = 2m/초 위의 관찰에서 2초 사이에 속도가 2m/초 변한 것을 알 수 있다. 이 것은 평균 1초당 1m/초의 속도가 증가했음을 알 수 있다. 이와 같이 단위 시간당 변하는 속도를 움직인 구간 내에서의 평균가속도라고 한다. 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다. (2m/초) / (2초) = (1m/초)/초 = 1m/초2 (이후로 초는 영어로 sec로 표기하겠음) 가속도: 단위시간(초) 당 속도의 변화 속도 시간 t1 t2 v1 v2 움직이는 물체의 속도와 시간의 관계를 그래프로 나타냈을 때 두 속도 사이의 직선의 기울기는 가속도를 나타낸다. 가속도(a) = 속도의 변화량 / 이동시간 (v2 – v1) / (t2 – t1)

등가속도 움직이는 물체의 가속도는 매 순간 변화할 수 있을 것이다. 이렇게 가속도가 변화하는 움직이는 물체의 가속도는 매 순간 변화할 수 있을 것이다. 이렇게 가속도가 변화하는 물체의 움직임은 복잡해서 쉽게 분석하기 어렵다. 그러나 가속도가 변하지 않고 일정하다면 이런 움직임은 꽤 정확히 분석하고 예측할 수 있다. 등가속도 운동의 예: t +x x0 기울기=v 기울기=v0 등가속도 운동에서의 위치, 속도, 가속도의 그래프 시간에 대한 위치의 그래프 +v v0 at v 기울기 = a 시간에 대한 속도의 그래프 +a a 기울기 = 0 시간에 대한 가속도의 그래프

등가속도 직선 운동 직선상에서 움직이는 물체를 분석하기 위한 식에는 다음과 같은 심볼이 사용된다. 직선상에서 움직이는 물체를 분석하기 위한 식에는 다음과 같은 심볼이 사용된다. 관측 시작시간 t1 을 항상 0으로 표현한다 관측 종료시간 t2 를 임의의 시간의 의미로 첨자 없이 t로 표현한다. 초기 속도 v1 를 v0 로 표현한다. 최종 속도 v2 = v 로 표현한다. 가속도를 a로 표현한다. 이동거리(변위)는 (x2 – x1), 또는 △x로 표현한다. ① a = ( v – v0 ) / t 시간과 속도에 대한 함수로서의 가속도 이 식을 변형하면 … 시간 t 동안에 증가한 속도 ② v = v0 + a t 시간에 대한 함수로서의 속도 을 유도할 수 있으며 이 식은 초기속도와 가속도만 알면 임의의 시점에서의 입자의 속도를 계산하는데 유용하게 사용될 수 있다.

= 등가속 운동에서는 속도가 1차원적으로 변화하므로(앞 에이지의 그래프 참조) 임의의 구간에서의 평균속도는 초기 속도 v0 와 최종속도 v 의 평균 값으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. v = ( v0 + v ) / 2 v = ( v0 + v ) / 2 ( x – x0 ) = ½ (v + v0) t ③ 시간과 속도에 대한 함수로서의 변위 = 아래 위 두 식으로부터 v = ( x – x0 ) / ( t – 0 ) ③번 식에 v = (v0 + a t)를 대입하면 ③번식에 ④ ( x – x0 ) = v0 t + ½ a t2 시간에 대한 함수로서의 변위 v – v0 a t = 를 대입 하면 x – x0 = ½ (v0 + v) v – v0 a = v 2 – v02 2a 혹은 v2 = v02 + 2 a ( x – x0 ) 변위에 대한 함수로서의 속도 ⑤

② Δx = ½ (v + v0) t ③ Δx = v0 t + ½ a t2 ① v = v0 + a t ④ 초 종 거 시 ③ Δx = v0 t + ½ a t2 초 가 거 시 ① v = v0 + a t 초 종 가 시 ④ 초 종 가 거 초: v0 종: v 가: a 시: t 거: Δx 평균속도 1차원 운동의 주요 공식 v2 = v02 + 2 a Δx

평면운동(포물선운동) 물체를 수직으로 던졌다면 물체는 수직으로 올라갔다가 다시 반대방향으로 떨어지는 직선 운동을 할 것이다. θ 물체를 수직으로 던졌다면 물체는 수직으로 올라갔다가 다시 반대방향으로 떨어지는 직선 운동을 할 것이다. 그러나 옆의 그림과 같이 비스듬히 던졌다면 물체는 점선을 따라서 포물선을 그리게 될 것이다. 이와 같은 포물선 운동은 직선상에 그릴 수 없고 두 개의 축(x축, y축)을 포함하는 평면에 그려야 한다(평면운동). 중력가속도는 항상 아래쪽을 향한다. 중력가속도는 수직운동에만 적용된다. (중력가속도의 수평성분은 0이다) 포물선운동은 수직운동과 수평운동의 합으로 이루어져 있다. 따라서: 수직운동은 자유낙하 운동과 같은 규칙이 적용된다. 수평운동은 속도의 변화가 없이(공기저항무시) 초기 수평속도로 등속도 운동을 지속한다. 수평성분 초속도 수직성분 초속도

x = vo cos(20) * t x = vo cos(20) * 0.768 = 7.94 (m) 예제: 수평에 대하여 20도의 각도로 초속 11m/s의 속도로 물체를 쏘아 올렸다 이 물체가 날아간 수평거리는 얼마인가? 이 물체가 도달한 최고 높이는 얼마인가? 풀이: 이 물체가 t초 동안 날아갔다고 하면 t초 후의 x축 상의 위치는 x = vo cos(20) * t 포물선 운동은 가장 높은 점을 기준으로 좌우 대칭이므로 날아간 전체시간은 가장 높은 위치까지 올라가는데 걸린 시간의 두 배이다. 따라서 (11m/s) * sin(20) – (9.8 m/s2) * t = 0 으로부터 t = 0.384 초 날아간 전체시간: 0.384 * 2 = 0.768초 따라서, 0.768초 후의 물체의 x축 상의 위치는 x = vo cos(20) * 0.768 = 7.94 (m) b) 가장 높은 위치까지 도달하는 데 걸린 시간이 0.384 초 이므로 y = vo sin(θ) t - (1/2) g t2 : = 0.722m

y x (17.3)2 + (-31.4)2 = 35.9 m/s 속력은 속도 벡터의 길이: 예제: a) 돌이 땅에 떨어질 때 까지의 시간은 얼마인가? b) 돌이 땅에 부딪히는 순간의 돌의 속력은 얼마인가? c) 돌은 건물로부터 수평으로 몇m 떨어진 곳에 떨어지나? y v0 = 20 m/s 풀이 a) 돌이 땅에 부딪힐 때의 y 값은 -45 따라서 y값이 -45가 될 때의 시간 t는 -45m = (20m/s) sin(30) t – (1/2)(9.8 m/s2) t2 로부터 t = 4.22 초 30° x 45m (x, -45) 풀이 b) vx = 20 * cos(30) = 17.3 (m/s) : 항상 일정한 값 vy = 20 * sin(30) – 9,8 * 4.22 = -31.4 (m/s) 따라서 땅에 부딪히는 순간의 속도: (17.3) i + (-31.4) j 속력은 속도 벡터의 길이: (17.3)2 + (-31.4)2 = 35.9 m/s